La formation doit être pratique et liée à l’exercice quotidien
V. FORMATION CONTINUE OU LE « LIFE LONG LEARNING » :
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Uma outra perspectiva sobre a construção do conhecimento matemático é defendida por David Tall (1995) e baseia-se na forma como a espécie humana a partir de actividades na interacção com o meio consegue desenvolver conceitos abstractos bastante subtis.
Figura 2.11. Diversos tipos de matemática (adaptado de Tall e outros, 2001, p. 82).
Matemática
Simbólica
Espaço e
Forma
Meio Percepção AcçãoMatemática
Axiomática
sobre o meio do meio ReflexãoEle considera que este desenvolvimento começa com a capacidade de perceber coisas, agir sobre elas e reflectir sobre estas acções para construir teorias. É uma visão onde a percepção, a acção e a reflexão ocorrem segundo várias combinações num dado momento e o foco numa delas pode levar a tipos de matemática muito diferentes (figura 2.11). Tall considera assim três tipos de matemática: Espaço e Forma, Matemática Simbólica e Matemática Axiomática (Tall, 1999; Tall e outros, 2001).
A percepção do mundo inclui o estudo do espaço e forma que conduz à geometria, onde as formulações verbais servem de suporte para uma evolução no sentido da demonstração euclidiana. As acções sobre o mundo, tais como contar, são representadas por símbolos e tornam-se na matemática simbólica de número, aritmética e por consequência na aritmética e álgebra generalizadas. A reflexão na percepção e acção em matemática conduz eventualmente ao desejo de uma teoria axiomática consistente baseada em definições formais e deduções, figura 2.12 (Tall, 1999; Tall e outros, 2001).
Figura 2.12. Desenvolvimento conceptual de determinados conceitos matemáticos (adaptado de Tall e outros, 2001, p. 82).
Com base nesta figura podemos observar diferentes tipos de desenvolvimento conceptual associados aos diferentes tipos de matemáticas. Esta abordagem esquemática parece introduzir alguma simplificação ao considerar que a percepção do meio conduz à forma e espaço, enquanto que a acção sobre o meio conduz à matemática simbólica. Parece ser possível admitir que uma representação geométrica possa ter origem numa acção sobre o meio
Meio
Percepção Acção
Definições formais e demonstração
Demonstração euclidiana
Objectos platónicos Protótipos do mundo real Objectos percepcionados Análise Álgebra Aritmética Contar, medir sobre o meio do meio Reflexão
Matemática
Simbólica
Espaço e
Forma
Matemática
Axiomática
ou, inversamente, o acto de contar, por exemplo, pode ser relacionado com a percepção. Tall não revela uma preocupação excessiva com esta possível origem dos objectos matemáticos, estando essencialmente preocupado com a criação e desenvolvimento de objectos mais abstractos que pertencem ao que ele designa por matemática axiomática. A figura 2.12 mostra assim dois caminhos diferentes para o desenvolvimento conceptual dos conceitos matemáticos. Embora não seja o principal objecto deste trabalho, podemos referir brevemente o desenvolvimento cognitivo na geometria com o objectivo de estabelecer as suas principais diferenças em relação à Matemática Simbólica. Este desenvolvimento tem por base a percepção dos objectos que nos rodeiam sendo inicialmente reconhecidos como formas globais. A maior parte destes objectos são entendidos como protótipos que se aplicam a uma vasta colecção de objectos percepcionados. Na matemática o reconhecimento de conceitos como quadrado, paralelogramo, quadrilátero, polígono, levam tempo a organizar numa hierarquia conceptual cujo desenvolvimento envolve várias reconstruções cognitivas. Por exemplo, nos primeiros estádios, os quadrados e rectângulos são inicialmente considerados pelas crianças mais novas como conceitos disjuntos; um quadrado não pode ser um rectângulo porque enquanto o quadrado tem 4 lados iguais o rectângulo tem apenas os lados opostos iguais. As categorias disjuntas de formas geométricas devem ser reconstruídas para obter hierarquias de formas: um quadrado é um rectângulo, é um paralelogramo, é um quadrilátero. Posteriormente são necessárias novas reconstruções para ver a forma não como um objecto físico, mas como um objecto mental com propriedades perfeitas e assim imaginar a geometria não apenas em termos da geometria euclidiana de duas e três dimensões, mas como uma variedade de geometrias diferentes: afim, projectiva, diferencial, etc. (Tall e outros, 2001). A figura 2.13 descreve de forma sucinta este desenvolvimento.
Figura 2.13. Desenvolvimento cognitivo dos conceitos geométricos.
Formas Geometria prática Geometria euclidiana Geometrias formais Objectos percepcionados Protótipos percebidos (em classes separadas), desenho à mão livre
Objectos do mundo real descritos (em hierarquias)
construções geométricas Objectos platónicos imaginados, Demonstração euclidiana Objectos definidos formalmente Demonstração dedutiva
A linguagem tem um papel bastante importante no desenvolvimento destes conceitos geométricos. As formas prototípicas como uma linha recta, um triângulo ou uma circunferência são descritas verbalmente de forma que nos possibilitam imaginar representações platónicas perfeitas, como por exemplo uma recta perfeita sem espessura que pode ser prolongada em qualquer direcção. A prova euclidiana também utiliza a linguagem como forma de fornecer argumentos verbais que possam suportar as deduções baseadas nos conceitos visuais. Mais tarde com a necessidade de formular axiomas e definições que conduzem à geometria formal, a necessidade da linguagem volta a ser fundamental.
Paralelamente a este desenvolvimento, surge um outro que tem por base a acção sobre o mundo e que conduz ao aparecimento da Matemática Simbólica. É este tipo de desenvolvimento conceptual que interessa estudar aqui com mais pormenor, e que apresenta características bastante diferenciadas do caso da geometria. Dada a natureza deste tipo de desenvolvimento conceptual os símbolos têm um papel fundamental. Eles permitem que o ser humano disponha de uma forma incrivelmente simples de lidar com quantidades para calcular, resolver problemas e fazer prognósticos. De uma forma simples eles servem de charneira entre pensar o símbolo como um conceito (como um número) ou como um processo (como contar). Isto permite-nos pensar sobre os símbolos como entidades manipuláveis para fazer matemática.
São várias as situações em que os símbolos permitem comutar entre processo e conceito. Segundo Tall e outros (2001) o quadro seguinte (quadro 2.2) mostra-nos alguns exemplos:
Quadro 2.2. Símbolos como processos e conceitos.
Símbolo Processo Conceito
5 contar número
4+3 adição Soma
f’(x) diferenciação derivada
∫
f(x)dx integração integralNota: Adaptado de Tall e outros (2001, p.84).
Esta dupla utilização do símbolo como processo e conceito começa muitas vezes com a familiarização com o processo, que resulta normalmente de procedimentos inicialmente realizados passo a passo e, posteriormente, executados sem necessidade de uma atenção consciente para detalhes que, por vezes, são bastante sofisticados. Por exemplo, contar, é um processo complexo de verbalizar uma sequência de números e, ao mesmo tempo, apontar para
objectos numa colecção um a um. Quando uma criança conta um número de maçãs, ela pode dizer “três é uma, duas, três maçãs”. À medida que isto se torna uma rotina a contagem pode ser feita em silêncio, “[uma, duas] três maçãs”, sendo depois comprimido em “… três maçãs”. Desta forma o processo de contar é comprimido no conceito de número.
O símbolo é visto como algo que é percepcionado pelos sentidos. Ele pode ser representado de várias formas, escrito, falado, visto ou ouvido, mas do ponto de vista teórico o que é importante na representação física é a forma como ele é interpretado pelos diferentes indivíduos ou pelo mesmo indivíduo em alturas diferentes. Para Gray e Tall (1994) reveste-se de especial importância o facto de o mesmo símbolo poder ser concebido como representando um processo ou um objecto. São vários os exemplos onde podemos verificar o uso ambíguo dos símbolos:
O símbolo 4x3 pode representar o processo da adição repetida, pode ser executado para obter o produto de quatro por três e designar o número 12,
A notação f(x)=x2-3 serve ao mesmo tempo para calcular o valor da função para um valor particular de x e encerra em si o conceito de função para um valor geral de x. Os matemáticos raramente falam sobre esta ambiguidade. No entanto Gray e Tall consideram que a ambiguidade na interpretação do simbolismo de uma forma flexível está na raiz do pensamento matemático com sucesso (1994). Os autores colocam mesmo a hipótese de a falta desta ambiguidade levar à utilização, de forma absurda, de procedimentos que precisam de ser lembrados como instrumentos separados no seu próprio contexto (por exemplo: fazer a multiplicação antes da adição, o produto de dois negativos dá um positivo ou somar a mesma quantidade de ambos os lados). Tall e Gray (1994) admitem como conjectura que a dualidade na utilização da notação como processo e conceito habilita os mais capazes a tratar os processos matemáticos com base numa relação de sujeição aos conceitos. Para os matemáticos, em vez de terem de lidar conscientemente com esta dualidade de conceito e processo, usam esta forma ambígua sobre o simbolismo para os processos e os produtos. Eles parecem simplificar o assunto substituindo a complexidade cognitiva da dualidade processo- conceito pela conveniência das notações da ambiguidade processo-produto.
Gray e Tall (1994) consideram assim que a ambiguidade do simbolismo expressa na dualidade flexível entre processo e conceito não é completamente utilizada se a distinção entre ambos se mantiver sempre presente. É necessário que haja uma combinação cognitiva de processo e conceito com a sua terminologia própria. Para tal, os autores recorrem à palavra proceito (procept) para se referirem ao conjunto de conceito e processo representados pelo mesmo símbolo. Um proceito elementar será pois uma amálgama de três componentes: um
processo que produz um objecto matemático e um símbolo que representa ao mesmo tempo o processo e o objecto.
Para reflectir esta crescente flexibilidade de uma dada noção e a versatilidade dos processos de pensamento, Gray e Tall apresentam aquilo a que chamam uma extensão da definição: Um proceito consiste numa colecção de proceitos elementares que têm o mesmo objecto. Como exemplo podemos falar por exemplo do proceito 6. Ele inclui o processo de contar 6 e a colecção de outras representações tais como 3+3, 2+4, 4+2, 3x2, 8-2, etc. Todos estes símbolos podem ser considerados para representar o mesmo objecto indicando ainda a forma flexível de como o 6 pode ser decomposto ou recombinado usando diferentes processos.
Podemos também considerar que matematicamente há uma relação de equivalência entre proceitos elementares, basta para tal que eles representem o mesmo objecto e assim sendo podemos definir uma classe de equivalência de proceitos elementares. Os autores consideram, no entanto, que este tipo de precisão só vem complicar a realidade cognitiva. Segundo eles a natureza do proceito depende do crescimento cognitivo do indivíduo. Um proceito elementar é visto como um primeiro estádio num crescimento dinâmico do proceito em vez de um elemento de uma classe de equivalência. Podemos considerar inicialmente o número como um proceito elementar. Por exemplo o símbolo 3 pode recordar o processo de contar “um, dois, três” e o próprio número. A palavra três ou o seu símbolo pode ser falada, ouvida ou escrita. Estas formas de comunicação em conjunto com as operações da aritmética permitem a partilha do símbolo de tal forma que, mesmo tratando-se de um conceito abstracto, ele desempenha um papel real como um objecto físico. Os proceitos são assim considerados como a raiz da capacidade humana para manipular ideias matemáticas em aritmética, álgebra e outras teorias que envolvam a manipulação de símbolos (Gray e Tall, 1994; Tall e outros, 2001).
Para explicar o desempenho nos processos matemáticos Gray e Tall (1994) partem da natureza das actividades matemáticas onde os termos procedimento, processo e proceito representam uma sequência no desenvolvimento cada vez mais sofisticada. Assim, o termo procedimento é usado para exprimir uma sequência específica de passos que conduzem a outro passo. Podemos dizer que se trata de um algoritmo específico para implementar um processo. Por exemplo contar para a frente5 pode ser visto como um procedimento para
5
O procedimento contar para a frente (count-on) refere-se à forma como a criança pode realizar a contagem de dois conjuntos de objectos. Supondo que ela está perante dois conjuntos, um com três e outro com dois objectos, este procedimento pressupõe que ela considera o grupo dos primeiros três seguindo depois a contagem dos restantes dois como sendo o quarto e o quinto.
realizar o processo de adição. O termo processo é usado num sentido mais geral e inclui qualquer número de procedimentos que têm o mesmo efeito. Ele não tem que ser executado no pensamento quando o referimos e pode ser realizado de várias formas. Por exemplo o processo de derivação da função 2
2 1
x x +
pode ser feito por vários procedimentos como a regra
do quociente, a regra do produto
(
)
× + 2 12 1 xx ou a simplificação para x−2+1 antes da derivação. Assim, segundo Tall e outros (2001) com o conhecimento de um procedimento específico o indivíduo pode fazer um cálculo ou uma manipulação. Se tiver uma ou mais alternativas possíveis permite-lhe uma maior flexibilidade e eficiência para escolher o caminho mais apropriado para um dado propósito. Mas ser capaz de pensar sobre o simbolismo como uma entidade permite entender a matemática de uma forma comprimida e manejável, movendo-se facilmente entre processo e conceito. Esta abordagem pode ser esquematicamente traduzida pela figura 2.14, onde é possível observar uma crescente sofisticação do desenvolvimento proceptual com o tempo.
Figura 2.14. Desenvolvimento na execução dos processos matemáticos (adaptado de Tall e outros, 2001, p. 89).
No topo da figura podemos considerar representado um espectro de realização no qual é possível, em certos estados, ter alunos com diferentes capacidades a realizar com sucesso um
Fazer procedimentos matemáticos de modo exacto Realizar matemática de forma flexível e eficiente Pensar sobre a matemática simbolicamente Te m p o Procedimento Processo Procedimento(s) Proceito Processo(s) Procedimento(s) Sofisticação do desenvolvimento
dado problema rotineiro, ainda que o possível desenvolvimento futuro seja bastante diferente. Estes autores consideram que os alunos que estão mais orientados para o desenvolvimento de procedimentos focam a sua atenção nos passos (dos procedimentos) enquanto que os que vêem o simbolismo como processos ou conceitos têm um processamento cognitivo mais eficiente. Ao longo do tempo, com o encontro de novas tarefas, vai havendo cada vez mais tendência para o pensamento processual. Isto significa que aqueles que focam a sua atenção essencialmente no processual têm cada vez mais dificuldades em aprender novos conceitos matemáticos, enquanto que os mais capazes se focam principalmente nas qualidades essenciais do simbolismo que consiste em vê-lo como processo e conceito ao mesmo tempo.
Se pensarmos por exemplo no símbolo 3 verificamos que ele enriquece o seu significado através da ligação a aspectos relativos a procedimentos, tais como o de contar e a aspectos conceptuais onde o mesmo objecto é representado por diferentes símbolos como 2+1 ou 4-1 que fazem parte do proceito 3. Estas diferentes formas de combinar e dar riqueza à estrutura conceptual do símbolo 3, que vem da combinação dos pensamentos conceptual e processual, é designada por Gray e Tall (1994) como sendo o pensamento proceptual (proceptual thinking).
É também importante salientar que é possível observar uma certa dicotomia entre procedimento e conceito. Por vezes, ao tentar melhorar o desempenho dos alunos faz-se a distinção entre os procedimentos que eles precisam de adquirir para poder fazer determinadas coisas e os conceitos ou factos que se espera que eles conheçam para operarem com os procedimentos. Podemos dizer que se trata de uma dicotomia entre as coisas para fazer e as coisas para saber. Segundo Gray e Tall (1994) esta dicotomia deve ser vista de uma perspectiva diferente. Uma vez que os aspectos dos procedimentos matemáticos se centram na manipulação rotineira de objectos que são representados por materiais concretos, símbolos escritos ou imagens mentais é relativamente fácil de avaliar se estes procedimentos estão a ser executados de forma adequada e o desempenho em tarefas similares serve, por vezes, como medida do conhecimento destas habilidades. O conhecimento conceptual é por sua vez mais difícil de aceder. Podemos no entanto admitir que ele é bastante rico em relações, sendo por vezes comparado a uma rede onde os procedimentos podem ter um papel preponderante na sua formação (Hiebert e Carpenter, 1992). Um pensamento flexível usando o conhecimento conceptual revela-se bastante diferente de um pensamento baseado em procedimentos rígidos, pelo que em termos cognitivos o que é importante é a mudança dos processos matemáticos para objectos mentais manipuláveis.
Ao observarem os alunos com idades compreendidas entre os 7 e os 12 anos a trabalhar em aritmética elementar estes autores notaram que havia diferenças na forma de pensar dos
vários alunos. Assim, enquanto os mais capazes usavam o pensamento proceptual, os menos capazes usavam um pensamento mais processual. Como foi referido anteriormente, o pensamento proceptual pode ser caracterizado pela habilidade de comprimir fases na manipulação dos símbolos por forma a que estes sejam vistos como objectos que podem ser decompostos e recombinados de forma flexível; enquanto que o pensamento processual pode ser caracterizado por se focar no procedimento e na ajuda física ou quase física que o suporta. Este pensamento é limitado porque dá à criança uma visão mais fechada do simbolismo, ou seja, os números são apenas usados como entidades concretas para ser manipuladas através de um processo de contagem. A ênfase no procedimento reduz a atenção na relação entre entrada e saída, levando, por vezes, a extensões do procedimento de contar, muito próprias do indivíduo e que não podem ser generalizadas (Gray e Tall, 1994). O desempenho dos alunos apresentava no entanto algumas diferenças mais subtis. Os mais capazes usavam estratégias flexíveis para produzir novos factos a partir dos antigos, os menos capazes tinham apenas um procedimento de contagem que crescia, cada vez mais lentamente, à medida que os problemas se tornavam mais complexos e entre estes extremos os menos capazes, que tentavam produzir novos factos de um conjunto limitado de factos conhecidos, acabavam por seguir um caminho inventivo, mas tortuoso que apenas tem sucesso com um esforço muito grande. O alto risco que os alunos correm neste processo leva-os a voltar aos procedimentos de contagem anteriores. Gray e Tall (1991, 1994) consideram então que aquilo que podia ser um espectro contínuo de realização tende a ser uma dicotomia em que os que começam por falhar acabam por permanecer no pensamento processual. Esta bifurcação de estratégia (entre o uso flexível do número como objecto ou processo e a fixação na contagem processual) é considerada pelos autores como um dos factores mais significantes na diferença entre o sucesso e o insucesso e é considerada como a bifurcação proceptual (proceptual divide).
A bifurcação proceptual pode ter um efeito cumulativo e tornar-se numa fonte de problemas para o desenvolvimento proceptual. O capsular proceptual, que corresponde à transformação de um processo num conceito, ocorre em várias fases criando uma complexa hierarquia de relações. Por exemplo na aritmética elementar podemos considerar que a contagem repetida torna-se adição, a adição repetida torna-se multiplicação, etc.. Gray e Tall (1991, 1994) representam este processo pela figura 2.15 e consideram que os alunos menos capazes que se fixam nos processos apenas podem resolver problemas no nível superior pela coordenação sequencial dos processos, o que se torna uma tarefa bastante difícil para eles. Os mais capazes têm a tarefa mais simplificada.
Figura 2.15. Capsular de ordem superior (Gray e Tall, 1994, p. 136).
Os símbolos para soma e produto representam números de novo. Assim contar, somar e multiplicar operam sobre o mesmo proceito, que pode ser decomposto em processos quando necessário. Uma visão proceptual que confunde o processo e o conceito através do uso da mesma notação pode desfazer a hierarquia para um nível único em que as operações aritméticas (processos) actuam sobre os números (proceitos) (figura 2.16).
Figura 2.16. Colapso da hierarquia nas operações com números (Gray e Tall, 1994, p. 136).
Segundo os autores esta é a forma como os mais capazes desenvolvem uma compreensão relacional flexível em matemática, que é vista como uma relação significativa entre noções no mesmo nível, enquanto que os menos capazes são confrontados com uma progressão hierárquica que é mais difícil de realizar.