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O desenvolvimento do pensamento matemático desde o nível elementar até ao ensino superior ou mesmo até à investigação matemática tem sido um importante objecto de estudo. Vários autores se têm debruçado sobre esta problemática evidenciando algumas das suas características essenciais em situações concretas. O trabalho de Tall (1995) desenvolve uma sistematização da evolução do pensamento matemático numa perspectiva cognitivista. Tall começa por separar três componentes da actividade humana: a percepção como entrada, o pensamento como processamento interno e a acção como saída. Esta sequência permite-nos ver as actividades matemáticas como perceber objectos, pensar sobre eles e realizar acções sobre eles.

Se pensarmos apenas em termos de entradas e saídas a matemática elementar começa com a percepção de objectos do mundo real e a acção sobre esses objectos. Os objectos percebidos seguem a teoria de Van Hiele, são primeiro vistos como estruturas visuais- espaciais, mas depois, à medida que são analisados e as suas propriedades são testadas, são descritos verbalmente e submetidos a uma classificação (primeiro em colecções, depois em hierarquias) que corresponde ao início de uma dedução verbal relacionada com as propriedades e ao desenvolvimento sistemático de uma demonstração verbal. Já as acções sobre os objectos, como por exemplo contar, conduzem a um tipo de desenvolvimento diferente. O processo de contar é desenvolvido usando palavras numéricas e símbolos que

serão conceptualizados como conceitos de número. Este é um tipo de desenvolvimento bastante diferente do anterior como pode ser constatado por exemplo pelas teorias anteriormente referidas (teoria da reificação de Anna Sfard, pensamento proceptual de David Tall ou teoria APOS de Ed Dubinsky). Estes dois modos de desenvolvimento que têm por base a percepção e a acção são completamente distintas. No entanto, Tall (1995) considera que em vez de ver a evolução da matemática elementar como um desenvolvimento simples na forma da teoria de estádios neo-piagetiana, prefere uma outra alternativa onde possa ver estes dois desenvolvimentos diferentes a ocorrer ao mesmo tempo. Um é visual-espacial, torna-se verbal e conduz à demonstração, o outro usa os símbolos quer como processos para fazer coisas (tal como contar, adicionar, multiplicar) quer como conceitos para pensar sobre (tal como número, soma, produto).

Como foi referido estes desenvolvimentos podem ocorrer de uma forma completamente independente. Numa perspectiva histórica, Tall refere que podemos admitir que os gregos antigos desenvolveram uma teoria da geometria (incluindo construções geométricas de aritmética) sem nenhum simbolismo para a álgebra e a aritmética e é possível desenvolver a aritmética e a álgebra sem qualquer referência à geometria. No entanto têm sido feitas muitas ligações vantajosas entre os métodos visual e manipulativo simbólico, podendo assim tirar vantagem destas ligações para desenvolver uma abordagem mais versátil que aproveite as principais vantagens de cada uma.

Este tipo de desenvolvimento vai-se tornando cada vez mais complexo, conduzindo ao pensamento matemático avançado que envolve o uso de estruturas cognitivas produzidas por um vasto leque de actividades matemáticas. Estas estruturas servem para construir novas ideias que fundamentam e estendem o sistema crescente de teoremas demonstrados. A figura 2.19 pode assim resumir o desenvolvimento cognitivo do indivíduo, desde o pensamento matemático elementar até ao pensamento matemático avançado. Tall parte da hipótese que este tipo de pensamento começa com a “percepção de” e a “acção sobre” os objectos do mundo externo e é construído através de dois desenvolvimentos paralelos – um que evolui do visual-espacial para o verbal dedutivo e o outro que se baseia num sucessivo capsular de processos em objectos através da manipulação de símbolos – que servem para inspirar um pensamento criativo baseado em objectos formalmente definidos e na demonstração sistemática.

Para melhor compreender a evolução de cada um destes desenvolvimentos e das ligações que se podem estabelecer entre eles, devemos ter em atenção a terceira componente da actividade humana referida anteriormente, o pensamento, que se refere à forma como processamos internamente a informação.

Figura 2.19. Esboço do desenvolvimento cognitivo desde a criança ao matemático investigador (adaptado de Tall, 1995, p. 64).

Esta componente é bastante mais difícil de descrever e analisar, no entanto, podemos conhecê-la através de algumas das suas manifestações como por exemplo o estatuto dos objectos mentais produzidos e das representações desses mesmos objectos. Tall (1995) parte da teoria de Bruner sobre as representações (motoras, icónicas e simbólicas), para fazer a distinção entre matemática elementar onde os objectos são descritos e matemática avançada onde os objectos são definidos. Ele considera que embora em ambos os casos seja usada a linguagem para formular as propriedades dos objectos, na matemática elementar a descrição é construída a partir da experiência com o objecto, na matemática avançada as propriedades dos objectos são construídas a partir da definição. Esta inversão causa grandes dificuldades de acomodação para os principiantes na matemática avançada, sendo necessário recorrer a uma série de tipos de representação diferentes. Tall considera assim que devemos incluir as seguintes representações: motoras (processos físicos), icónicas (processos visuais) e três formas de representação simbólica, a saber, verbal (descrição), formal (definição) e proceptual (dualidade processo-objecto). Na figura 2.20 podemos ver o uso destas diferentes formas de representação aplicadas em tópicos diferentes.

Objectos Percepções de e interacções com o mundo externo Acções Protótipos visuais-espaciais tornando-se sucessivamente mais verbais-dedutivos Acções tornando-se simbolizadas como processos e capsuladas como proceitos

Pensamento Matemático Avançado

Inspirado por conceitos imagem, formalizado por conceitos definição

e deduções lógicas Ligações conceptuais O desenvolver da estrutura cognitiva depende menos das sensações físicas e mais das construções internas

Figura 2.20. Acções e objectos na construção de várias estruturas do conhecimento matemático (adaptado de Tall, 1995, p. 69).

Ela mostra-nos o desenvolvimento do visual-espacial para o verbal na geometria, o desenvolvimento proceptual na aritmética e álgebra e as relações entre eles na medida, trigonometria e coordenadas cartesianas. No topo da figura estão os tópicos que iniciam a transição para o pensamento matemático avançado. Tall considera que todos estes tópicos requerem uma reconstrução cognitiva significativa. A demonstração euclidiana necessita de uma organização sistemática continuada e de formas de combinar a dedução verbal para inspirar a demonstração visual (por exemplo o uso de triângulos congruentes). A evolução em direcção à análise tem as dificuldades causadas pelo proceito de limite. O desenvolvimento na direcção da álgebra mais avançada (como os vectores em três e mais dimensões) envolve tópicos como o vector produto que viola a propriedade comutativa da multiplicação ou a ideia de quatro ou mais dimensões que ultrapassa e corta a ligação visual entre equações e a geometria imaginável.

Ao tentar fazer a separação entre os dois tipos de pensamento matemático, Tall começa por admitir que a transição entre o pensamento matemático elementar e o avançado se pode situar no topo da figura 2.20. Todos estes assuntos envolvem dificuldades que requerem uma reconstrução cognitiva considerável e, por várias vezes, na história foram tópicos de

Interacção com o meio (motor) Transição para a Matemática Avançada Matemática Elementar Percepções de objectos Acções sobre objectos Geometria (Icónico) Demonstração Euclidiana (verbal) (baseada no icónico) Aritmética (proceitos operacionais) Algebra (proceitos padrão) Álgebra Avançada (proceitos padrão) Análise (proceitos de limite) (icónico/proceptual) Geometria Algébrica (icónico/proceptual) Medida Trigonometria (icónico/proceptual)

investigação para os matemáticos da época. Na análise e na álgebra avançada também aparece uma quantidade considerável de assuntos que são ensinados na universidade. Parece natural que estes assuntos façam parte da matemática avançada. Ele considera, no entanto, que a geometria euclidiana, a análise e a álgebra avançada devem ser consideradas como pertencendo à matemática elementar, pois embora cada um destes assuntos tenha as suas próprias dificuldades, a mudança cognitiva universal ocorre com a introdução do método axiomático onde os objectos matemáticos têm um novo estatuto cognitivo como conceitos definidos construídos a partir de definições verbais. Esta é uma mudança no estado cognitivo do equilíbrio da convicção visual e manipulação proceptual para objectos definidos e dedução formal. Tall completa assim o esquema da figura 2.20 colocando na zona do pensamento matemático avançado a geometria, análise e álgebra formais apoiadas pelas definições e lógica formais com vista ao desenvolvimento de um pensamento criativo e da investigação.

Embora esta seja a forma que Tall considera a mais adequada para fazer a separação, não deixa de referir que podemos considerar o último nível da matemática elementar como sendo um estádio preliminar do pensamento matemático avançado, uma vez que as ideias elementares são levadas aos seus limites antes da crise teórica que elas geram requerer a reconstrução de uma visão formal. Embora sem grandes consensos, esta também parece ser a opinião do grupo do PME sobre pensamento matemático avançado que reuniu, pela primeira vez, no encontro de 1987 e onde foi acordado que os tópicos onde apareceria o pensamento matemático mais avançado seriam aqueles que eram ensinados nas aulas regulares a partir dos 16 anos.

Segundo Tall (1991) a passagem do pensamento matemático elementar para o avançado envolve uma transição importante: da descrição à definição, do convencer ao provar de uma forma lógica baseada nestas definições. Esta transição requer uma reconstrução cognitiva que se vê durante o início do percurso no ensino superior como uma luta com as abstracções formais como se elas dominassem a aprendizagem nesta fase inicial. É a transição da coerência da matemática elementar para a consequência da matemática avançada, baseada em entidades abstractas que o indivíduo deve construir através de deduções das definições formais.

A sistematização feita por Tall acerca da forma como se desenvolve o pensamento matemático pode ser encarada como redutora quando ele coloca a ênfase na percepção e na acção sobre o meio, donde resultam dois modos de crescimento cognitivo que ele considera poderem desenvolver-se de forma independente. Assim, a percepção do meio conduz ao estudo do espaço e forma levando à geometria, enquanto que a acção sobre o meio conduz a

uma matemática simbólica suportada por um pensamento proceptual. Esta separação entre os dois modos de desenvolvimento parece não ser tão nítida, pois podemos considerar que as representações geométricas podem resultar de uma acção sobre o meio ou que o acto de contar pode, também ele, ser resultado da percepção. Este tipo de relações entre as duas sequências de desenvolvimento referidas por Tall não é tido em conta de forma explícita no seu modelo embora ele admita a existência de algumas ligações conceptuais entre ambos (ver por exemplo a figura 2.29). Por outro lado ele engloba na matemática simbólica vários tipos de pensamento matemático (algébrico, proporcional, estatístico, lógico, etc.) que parecem apresentar características diferenciadas, pelo que seria interessante estudar de forma mais pormenorizada o modo como cada um deles se desenvolve. Esta distinção parece não ter sido realçada por Tall, pois ele está preocupado essencialmente com a construção dos conceitos matemáticos avançados, onde parece considerar que o pensamento proceptual e a intuição visual-espacial podem descrever de forma concisa os diferentes modos de pensamento a partir das definições e da lógica formal.