4.6 Performances des méthodes en simulation
5.1.2 Respect des conditions essentielles pour l’identification
L’ordre de (D(s), N(s)) est égal à nx pour toutes les valeurs de Υ
et θΥ∈ TΥ. D(s) étant supposé réduit par ligne, d’après la Définition 3.1, l’ordre de toute FMG-P de l’ensemble H(nx) est égal à nx pour toutes les valeurs de Υ et de θΥ ∈ T
Υ.
Le transfert (D(s), N(s)) est propre pour toutes les valeurs de Υ et θΥ ∈ TΥ. D’après le Lemme 3.2, D(s) étant réduit par ligne, la structure donnée par l’équation (5.2) définit un transfert propre pour toutes les valeurs de θΥ∈ T
Υ et tout choix possible de Υ.
Le transfert (D(s), N(s)) est continûment différentiable par rapport à θΥ. Les FMGP sont des fractions rationnelles définies lorsque D(s) est inversible. Dans le cas général, les FMG-P sont donc continûment différen- tiables pour toutes les valeurs de θΥ et pour toutes les valeurs complexes de s sur l’axe imaginaire. Dans le cas particulier où D(s, θ) possède des pôles imaginaires purs, les FMG-P ne sont pas différentiables pour les pulsations
ω = 2πf égales à la valeur de ces pôles. Cela correspond à des systèmes
non-asymptotiquement stables qui ne seront pas rencontrés dans notre cas.
1On rappelle que l’ensemble S
i(nx) est l’ensemble des FMG irréductibles d’ordre nx défini à la page 41.
De plus, au cours de l’optimisation, la probabilité qu’un pôle imaginaire pur soit atteint est très faible (pour ne pas dire impossible). Cela supposerait, en effet, que la valeur d’un pôle atteint au cours des itérations soit exactement égale à 0 alors que l’optimisation ne cherche pas à converger vers une telle valeur. Par conséquent, H(s, θ) est donc continûment différentiable à de très rares exceptions près qui ne seront pas rencontrées en pratique.
Tout système d’ordre nxpeut être représenté par (D(s), N(s)). Nous
devons montrer que tous les systèmes d’ordre nx peuvent être représentés par une FMG-P de l’ensemble H(nx). Pour cela, nous nous appuyons sur la forme canonique échelon. En effet, d’après (Kailath, 1980), tout dénomina- teur réduit par ligne d’une FMG peut être mis sous forme échelon par une multiplication unimodulaire à gauche. Or, par définition, toute FMG-P a un dénominateur réduit par ligne. Pour tout dénominateur D(s) d’une FMG-P, il existe donc une matrice unimodulaire Ue(s) telle que
De(s) = Ue(s) D(s) , (5.11)
où De(s) est sous forme échelon. On peut alors distinguer deux cas de figure : (i) Si les degrés lignes ρi de D(s) sont rangés par ordre croissant, d’après (Kailath, 1980, Lemme 6.3.14), De(s) possède les mêmes degrés lignes que D(s). Le numérateur Ne(s) sous forme échelon possède donc, dans ce cas, d’après la structure en degré de la forme échelon, la même structure générique que le numérateur N(s) de la FMG-P. Il existe donc, dans le cas d’indices rangés par ordre croissants, une forme échelon équivalente à toute FMG-P et qui possède la même distribution Υ. (ii) Si les degrés lignes ρi de D(s) ne sont pas rangés par ordre croissant,
alors on peut trouver une matrice de permutations des lignes (cf. Sec- tion 3.3.2.2) qui ré-arrange cette FMG-P en une FMG-P équivalente définie par des indices de structure rangés par ordre croissants. On est alors ramené au cas précédent.
De plus, comme nous l’avons vu dans la Section 3.3.2, les paramétrages éche- lons sont des paramétrages canoniques spécifiés par les indices de Kronecker obtenus en parcourant la matrice de Hankel des paramètres de Markov. Si les indices ρi de la FMG-P sont rangés par ordre croissant, ils sont donc identiques (d’après (i)) aux indices de Kronecker. Si la FMG-P possède des indices rangés différemment, les indices de Kronecker du transfert représenté sont les mêmes indices rangés par ordre croissant (d’après (ii)).
Réciproquement, tout système d’ordre nx peut s’écrire sous une forme canonique échelon. Ainsi, tout système d’ordre nx peut être représenté par une FMG-P de l’ensemble H(nx).
5.1 Fractions Matricielles à Gauche Pleines (FMG-P) 91
Ainsi, nous avons montré que la forme pleine respecte les Exigences 3.1 à 3.4 essentielles pour l’identification. Cet ensemble de fractions matricielles peut donc être utilisé pour formuler des méthodes d’identification.
5.1.3 Choix de l’arrangement des indices de structure
On va ici mener une analyse similaire à celle réalisée sur les formes pseudo-canoniques dans la Section 3.3.3.2. Cette analyse nous a permis de mettre en évidence que c’est la structuration des lignes de la matrice adjointe du dénominateur qui entraine, dans le cas pseudo-canonique, des résultats mathématiquement différents selon l’arrangement des indices.
On considère ici un jeu d’indices ρi donné. Selon le choix effectué pour l’arrangement de ces indices dans Υ, plusieurs FMG-P peuvent être définies. Celles-ci seront différenciées par un arrangement différent de leurs lignes. On considère un de ces choix qu’on note Υ =�ρ1 ρ2 . . . ρny�. Pour ce choix
particulier, on exprime H(s) au moyen de l’ajointe du dénominateur, soit
H(s) = 1
det(D(s)) × adj(D(s)) N(s) . (5.12)
Les valeurs du transfert dépendent du produit des lignes de adj(D(s)) et des colonnes de N(s). Ces valeurs dépendent de la structure de ces deux matrices. D’après le calcul de la matrice adjointe, dans le cas générique, c.-à-d., sans annulation due à des valeurs particulières de coefficients (cf. p. 55), cette structure est donnée par
deg(adj(D(s))) = � κ1 κ2 . . . κny � et deg(N(s)) = ρ1 ρ2 ... ρny , (5.13) avec de manière générique κi = nx− ρi. A ce niveau, on peut voir qu’une permutation des lignes de D(s) revient à une permutation identique des co- lonnes de adj(D(s)). Ainsi, au niveau de la structure en degré, une permu- tation d’indices, c.-à-d., une permutation des lignes de D(s) et N(s), revient à permuter les colonnes de adj(D(s)). Au niveau de la structure en degré, l’arrangement des colonnes de D(s) (c.-à-d. des lignes de adj(D(s))) reste identique, ce qui conduit à un résultat mathématiquement équivalent pour l’identification. Pour un choix d’indices ρi donné, leur arrangement n’a donc pas d’influence sur les résultats de l’identification lorsqu’un paramétrage sous forme FMG-P est utilisé. Par rapport aux paramétrages des formes pseudo- canoniques, cela offre donc l’avantage de supprimer l’incertitude portant sur ce choix d’arrangement des indices. Par convention, et sans aucune restric- tion, nous choisissons, dans la suite de ce chapitre, de ranger par défaut les
indices définissant la structure des FMG-P par ordre croissant, soit
ρ1 ≤ ρ2≤ · · · ≤ ρny. (5.14)