Dans la suite de ce chapitre, nous introduisons des paramétrages des frac- tions matricielles. On note H(s, θ) le paramétrage d’une fonction de transfert. θ est le vecteur des paramètres, c.-à-d., le vecteur des coefficients non fixés des fractions matricielles et qui doivent être identifiés. La notation H(s) dé- finit quant à elle la valeur du transfert pour une valeur donnée de θ.
3.2.1 Spécification de l’ordre du système
L’ordre nx d’un système représenté par une fraction matricielle est défini par le degré du déterminant de son dénominateur (Kailath, 1980), soit
nx= deg(det(D(s))) . (3.6)
Ainsi, le choix de l’ordre du système n’est pas directement imposé par un choix unique du degré de l’ensemble des polynômes du dénominateur. Afin d’illustrer cela, nous prenons l’exemple d’un dénominateur de dimension
ny = 2 et d’un système d’ordre nx = 1. En fixant des degrés de polynôme
égaux à nx, on obtient un dénominateur de la forme D(s) = � d11,0+ d11,1s d12,0+ d12,1s d21,0+ d21,1s d22,0+ d22,1s � , (3.7)
où l’ordre du système correspondant est donc égal au degré du déterminant de D(s) donné par l’expression
det D(s) = d11,0d22,0− d12,0d21,0
+ (d11,0d22,1+ d11,1d22,0− d12,0d21,1− d12,1d21,0) s + (d11,1d22,1− d12,1d21,1) s2.
(3.8) L’ordre du système sera donc d’ordre égal à 1 uniquement si les conditions suivantes sur les coefficients dij,l sont remplies
�
d11,0d22,1+ d11,1d22,0− d12,0d21,1− d12,1d21,0�= 0 d11,1d22,1− d12,1d21,1= 0
3.2 Contraintes pour le paramétrage des fractions matricielles 37
Cela montre que le choix de l’ordre d’une fraction matricielle n’est pas im- médiat. C’est donc le paramétrage choisi qui doit permettre de fixer un ordre désiré. Nous pouvons ainsi formuler la contrainte suivante pour le paramé- trage des fractions matricielles.
Contrainte 3.1 (Ordre des fractions matricielles). L’ordre de H(s, θ) doit être égal à nx quelles que soient les valeurs de θ.
En reprenant l’exemple précédent, on s’aperçoit que plusieurs choix per- mettent de respecter la Contrainte 3.1. Voici, parmi les nombreux choix possibles, deux choix de paramétrage qui remplissent les conditions (3.9) et conduisent à deux structurations en degré du dénominateur qui imposent un ordre nx = 1 � d11,1= d12,1= d21,1= 0 d11,0= d22,1= 1 =⇒ � 1 d12,0 d21,0 d22,0+ s � , � d11,1= d22,1= −d21,1= −d12,1= 1 d11,0+ d22,0+ d12,0+ d21,0�= 0 =⇒ � d11,0+ s d12,0− s d21,0− s d22,0+ s � . Notons que plus l’ordre et la dimension du dénominateur augmentent, plus le nombre de possibilités augmente. C’est une condition supplémentaire portant sur la « propreté » du système, qui permet la sélection d’une structuration en degré du dénominateur.
3.2.2 Propreté du système
En théorie de la commande des systèmes, une fonction de transfert H(s) est dite propre si son module reste borné lorsque s tend vers l’infini (Kailath, 1980), soit
lim
s→∞|H(s)| < ∞ . (3.10)
Une fonction de transfert est dite strictement propre si son module tend vers 0 lorsque s tend vers l’infini (Kailath, 1980), soit
lim
s→∞|H(s)| = 0 . (3.11)
Pour que la fonction de transfert d’un système mono-entrée soit (strictement) propre, il suffit d’imposer un degré des polynômes du numérateur (stricte- ment) inférieur au degré du dénominateur. Toutefois, cette condition n’est plus suffisante pour les systèmes multi-entrées. Pour l’illustrer, nous prenons l’exemple d’un dénominateur D(s) de degré 1 et deux choix possibles de numérateur de degré 1 D(s) = � 1 + 2s −s −2s 1 + s � N1(s) = � 2 + s 1 − s � N2(s) = � 2 + s 1 + s � . (3.12)
Comme montré par l’équation (3.5), il est possible d’écrire les transferts H1(s) = D−1(s)N1(s) et H2(s) = D−1(s)N2(s) avec un même dénominateur scalaire d(s) = 1 + 3s, soit H1(s) = 1 d(s) � 2 + 7s 1 + 2s � et H2(s) = 1 d(s) � 2 + 7s + 4s2 1 + 4s + s2 � . (3.13)
Bien que les polynômes des numérateurs N1(s) et N2(s) soient de degré égal à celui des polynômes du dénominateur, N2(s) conduit à des termes de degré 2 au numérateur. Le transfert n’est donc pas propre, contrairement au transfert
donné par N1(s). Comme cet exemple permet de le constater, la propreté
d’une fraction matricielle n’est pas immédiate. Ainsi, le respect de ce critère conduit à formuler une contrainte supplémentaire pour le paramétrage des fractions matricielles.
Contrainte 3.2 (Propreté des fractions matricielles). Le transfert H(s, θ) doit être propre pour toutes les valeurs de θ.
Cette contrainte supplémentaire implique l’ajout de conditions portant sur la structuration en degré du dénominateur et du numérateur. Une pre- mière condition nécessaire de propreté des systèmes est donnée par le lemme suivant (Kailath, 1980).
Lemme 3.1 (Condition nécessaire de propreté des FMG). Si H(s) est un
transfert (strictement) propre et si
H(s) = D−1(s)N(s) , (3.14)
alors chaque ligne de N(s) a des polynômes de degré (strictement) inférieur à ceux de la ligne correspondante de D(s).
Cependant, cette condition porte simplement sur la structure en degré du transfert lorsque celui-ci est propre. Elle ne permet pas, en revanche, d’as- surer la propreté du transfert par un choix de structure. Toutefois, il existe une condition nécessaire et suffisante de propreté des transferts multi-entrées. Celle-ci fait intervenir la notion de réduction par ligne du dénominateur. La définition d’un dénominateur réduit par ligne fait intervenir les degrés des lignes du dénominateur. Avant de rappeler cette définition, précisons ce que nous appelons degré d’une ligne (resp. d’une colonne) d’une matrice polyno- miale : c’est le degré du polynôme de plus haut degré présent sur cette ligne (resp. colonne).
Définition 3.1 (Dénominateur réduit par ligne). En notant ρi le degré de
sa ième
ligne, on dit que le dénominateur D(s) est réduit par ligne si nx=
ny
� i=1
ρi, (3.15)
où ρi ∈ N+. De manière équivalente, D(s) est réduit par ligne si sa matrice des coefficients de plus haut degré ligne, notée Dhl, est de rang plein.
3.2 Contraintes pour le paramétrage des fractions matricielles 39
Si nous reprenons l’exemple (3.12), la matrice Dhl vaut Dhl = � 2 −1 −2 1 � . (3.16)
Dhl n’est pas de rang plein. D’après la Définition 3.1, le dénominateur n’est donc pas réduit par ligne. Nous pouvons désormais introduire la condition nécessaire et suffisante de propreté des systèmes donnée par le Lemme sui- vant (Kailath, 1980).
Lemme 3.2 (Condition nécessaire et suffisante de propreté des FMG). Si
D(s) est réduit par ligne, alors le transfert
H(s) = D−1(s)N(s) (3.17)
est (strictement) propre si et seulement si chacune des lignes de N(s) est de degré (strictement) inférieur au degré de la ligne correspondante de D(s). Remarque 3.1. Une condition nécessaire et suffisante de propreté équiva- lente existe pour les fractions matricielles à droite. Par transposition, celle-ci porte sur les degrés colonnes du dénominateur et du numérateur (Kailath, 1980).
Ainsi, après avoir assuré que le système soit d’ordre nx, le deuxième objectif du paramétrage des fractions matricielles est de définir une structure en degré de D(s) et N(s) qui permette de remplir la condition nécessaire et suffisante de propreté énoncée par le Lemme 3.2.
3.2.3 Contraintes additionnelles pour le paramétrage des frac- tions matricielles
Nous avons vu que le respect des Contraintes 3.1 et 3.2 nécessite une structuration en degré des fractions matricielles. De plus, ne connaissant pas, a priori, le système réel, il est important que la représentativité du paramétrage adopté ne soit pas limitée. En effet, le vrai système doit toujours être représentable par le paramétrage adopté. Ceci conduit à la contrainte supplémentaire suivante.
Contrainte 3.3 (Représentativité des fractions matricielles). Tout système d’ordre nx doit être représentable par H(s, θ).
Enfin, dans la suite, nous allons formuler des méthodes d’identification fondées sur les paramétrages H(s, θ) retenus. Parmi ces méthodes, les mé- thodes d’optimisation telles que l’algorithme de Gauss-Newton nécessitent de dériver H(s, θ) par rapport à θ. Les paramétrages retenus doivent donc être continuement différentiables afin de permettre un bon fonctionnement des méthodes d’optimisation. Ceci conduit à la dernière contrainte pour le paramétrage des fractions matricielles.
Contrainte 3.4 (Différentiabilité des fractions matricielles). Les paramé- trages retenus doivent être continuement différentiables par rapport à θ.