6.2 Prise en compte des conditions aux limites
6.2.2 Évaluation sur un exemple de simulation
Afin d’évaluer l’intérêt de prendre en compte les conditions aux limites, nous reprenons ici l’exemple de simulation utilisé au Chapitre 4. On rappelle qu’il s’agit d’un modèle de système d’ordre 4 et de dimension 3 × 2. De plus, l’excitation utilisée est un créneau d’une durée de 0.2 s appliqué successive- ment à chaque entrée du système. Le modèle identifié H(f, Θ) est représenté sous forme d’une FMG-P.
6.2.2.1 Validation sur des données non bruitées
Le cas traité est constitué d’une phase d’excitation du système suivie d’une phase de retour à l’équilibre. Nous utilisons le rapport
Ar= (A/Amax)moyen, (6.50)
entre l’amplitude de l’enveloppe d’un signal en fin d’identification (A) et son
amplitude maximale (Amax) pour évaluer le niveau de retour au repos du
système. La valeur moyenne de ces rapports calculée sur les mesures donne un critère représentatif de l’éloignement du système par rapport à son état de repos. Comme le montre la Figure 6.9, cette valeur est directement liée à la durée d’enregistrement des données, notée dr. La correspondance entre ces deux valeurs est donnée par le Tableau 6.1.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 −0.05 0 0.05 t (s) y(t) d r A A max
Figure 6.9 – Troisième sortie non bruitée du modèle.
La Figure 6.10 présente les valeurs du critère d’identification obtenues sur des données non bruitées pour différents niveaux de retour à l’équilibre du système. Les racines carrés des critères J et J obtenues respectivement avec et sans prise en compte des termes de bord sont utilisées pour comparer le niveau de précision obtenu. Leurs valeurs normalisées par l’énergie des
6.2 Prise en compte des conditions aux limites 135
dr(s) 5 10 15 20 25 50 100 200
Ar 0.37 0.18 0.10 0.07 0.05 8 · 10−3 2 · 10−4 4 · 10−7
Table 6.1 – Correspondance entre la durée d’enregistrement et le rapport d’amplitude Ar = (A/Amax)moyen.
sorties et notées ¯J1/2et ¯J1/2sont considérées de sorte que les résultats soient compris entre 0 et 1.
Ces résultats montrent clairement que considérer les termes de bord en- traîne une diminution systématique de la valeur du critère obtenue sur des données parfaites. Comme le montre la Figure 6.10, cela est vrai quelle que soit la méthode itérative utilisée. Sur des données parfaites, les résultats ob- tenus avec la méthode VI et la méthode de Gauss-Newton étant identiques, le deuxième graphique de la Figure 6.10 montre les résultats pour ces deux méthodes. Les valeurs obtenues sont, dans les trois cas, très proches de zéro. Elles ne sont pas strictement égales à zéro car en pratique le théorème de Nyquist-Shannon n’est jamais strictement vérifié. D’autre part, il est impor- tant de mentionner qu’avec les termes de bord, la convergence est toujours obtenue après seulement deux itérations alors qu’elle nécessite plus d’itéra- tions si ces termes ne sont pas pris en compte.
6.2.2.2 Validation sur des données bruitées
Les résultats présentés dans cette section sont fondés sur une simulation de Monte-Carlo réalisée avec 100 séquences de bruit coloré différentes. Le niveau de rapport signal à bruit (SNR) moyen calculé sur les 20 secondes suivant l’excitation est égal à 23 dB.
Le critère donné par l’équation (6.49), ainsi que le BFR et le VAF définis au Chapitre 4 (p. 74), sont considérés comme indicateurs du niveau global de convergence. Le bénéfice réel de la prise en compte des termes de bord peut être évalué par les rapports entre les valeurs de ces trois indicateurs obtenues avec (J, BFR, VAF) et sans (J, BFR, VAF) leur prise en compte. Plus précisément, l’amélioration relative de chaque indicateur est respectivement considérée et exprimée en pourcentage par
∆ X = 100 ×X − X X (6.51) avec Critère : X = J et X = J , BFR : X = 100 − BFR et X = 100 − BFR , VAF : X = 100 − VAF et X = 100 − BFR , (6.52)
10−6 10−4 10−2 100 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 A/A max Critère d’identification SK 10−6 10−4 10−2 100 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 A/A max Critère d’identification VI − GN
Sans conditions aux limites Avec conditions aux limites
Sans conditions aux limites Avec conditions aux limites
Figure 6.10 – Influence des termes de bord sur la précision de l’identification (sans bruit).
La Figure 6.11 montre les trois valeurs ∆ X obtenues pour chacun des al- gorithmes en fonction de la durée d’identification considérée. Pour le niveau de bruit considéré, les résultats obtenus avec la méthode VI et la méthode de Gauss-Newton sont quasi-identiques. Par conséquent, le deuxième graphique de la Figure 6.11 montre les résultats pour ces deux méthodes. On voit sur
6.2 Prise en compte des conditions aux limites 137 0 10 20 30 40 50 60 −20 0 20 40 60 80 100 d r (s) Amélioration (%) SK 0 10 20 30 40 50 60 −20 0 20 40 60 80 100 d r (s) Amélioration (%) VI − GN Critère BFR VAF Critère BFR VAF
Figure 6.11 – Influence des termes de bord sur la précision
de l’identification en fonction de la durée d’enregistrement(avec bruit).
cette figure que pour une identification réalisée en considérant une durée d’enregistrement dr = 5 s, les valeurs du critère d’identification et du VAF sont améliorées de plus de 80% quel que soit l’algorithme utilisé. La valeur du BFR est améliorée de presque 60% pour la méthode de Sanathanan-Koerner, et de presque 80% pour la méthode VI et pour la méthode de Gauss-Newton. De plus, on constate, comme avec les données non bruitées, que l’améliora- tion induite par les termes de bord décroit avec la durée de l’identification.
Cependant, lorsque les données sont bruitées, cette amélioration peut trou- ver une limite et n’est pas toujours vérifiée. En effet, comme on peut le voir sur la Figure 6.11, pour une durée supérieure à 20 secondes, la prise en compte des termes de bord peut même entraîner une légère détérioration du critère d’identification pour la méthode de Sanathanan-Koerner. Soulignons que, pour l’exemple traité, cet instant correspond au moment où l’ampli- tude de l’information utile, autrement dit les sorties non bruitées, devient globalement inférieure à l’amplitude du bruit de mesure. Les indicateurs BFR et VAF peuvent, quant à eux, être légèrement moins bon au-delà de 40 secondes d’enregistrement. Concernant les méthodes VI et GN, on voit également qu’il n’y a plus vraiment d’amélioration du critère d’identifica- tion au-delà de 20 secondes d’enregistrement. Pour des durées supérieures à 40 secondes les indicateurs BFR et VAF peuvent également être légèrement moins bons lorsque les conditions aux limites sont considérées.
6.2.2.3 Bilan de l’évaluation
Comme nous l’avons vu sur cet exemple de simulation, lorsque les am- plitudes des conditions aux limites sont supérieures aux niveaux de bruit affectant le système, la méthode proposée améliore la précision de l’iden- tification. Lorsqu’elles sont inférieures aux niveaux de bruit, les résultats peuvent toutefois être légèrement détériorés. Nous avons vu que cela est plus particulièrement vrai lorsque la méthode de Sanathanan-Koerner est utili- sée. Cela est certainement dû au fait que les coefficients supplémentaires du modèle « expliquent » alors une partie du bruit et non plus les conditions aux limites.