5.3 Cas particuliers des FMG-P et des sur-paramétrages diago-
5.3.1 Paramétrage par DDLC des FMG-P quasi-uniformes
Si des indices quasi-constants sont choisis, les FMG-P ont une structure particulière. Par exemple, pour des indices Υ rangés par ordre croissant, soit
Υ =�ρ · · · ρ � �� � µ1 fois , ρ + 1 · · · ρ + 1 � �� � µ2 fois � ,
la structure des FMG-P est alors
deg D(s, θ) = ρ ρ+ 1 µ1 µ2 , deg N(s, θ) = ρ ρ+ 1 µ1 µ2 . (5.51)
Nous appelons ces formes des FMG-P quasi-uniformes. Comme toute FMG- P, elles sont équivalentes aux formes échelons décrites à la Section 3.3.2 d’indices de Kronecker Υ. Mais les FMG-P quasi-uniformes présentent un intérêt particulier car on peut montrer qu’elles sont, de façon générique, équivalentes aux FMG pseudo-canoniques décrites à la Section 3.3.3 ayant les mêmes indices Υ. On montre le principe de cette démonstration à travers l’Exemple 5.51. Pour cela, nous introduisons les notations suivantes pour le dénominateur D(s) = � Dµ 1µ1(s) Dµ1µ2(s) Dµ 2µ1(s) Dµ2µ2(s) � , (5.52)
où les Dµiµj(s) notent les blocs de polynômes de degré correspondant aux
indices µi et µj, avec i, j ∈ {1, 2}. D’après la structure en degré définie par l’équation (5.23) (page 93), la matrice unimodulaire U(s) qui permet de transformer la FMG-P quasi-uniforme (5.51) en une forme pseudo-canonique équivalente est de la forme
U(s) = � Uµ1µ1,0 0 Uµ2µ1,0+ Uµ2µ1,1s Uµ2µ2,0 � , (5.53)
où Uµiµj,l désigne les coefficients de degré l des blocs Uµiµj(s) de mêmes
dimensions que Dµiµj(s). Dans la suite de cet exemple, afin de simplifier
les notations, nous adoptons la convention suivante : Dij,l � Dµiµj,l et
Uij,l � Uµiµj,l. De même, on note ¯Dij,l � ¯Dµiµj,l les blocs de coefficients
de la forme pseudo-canonique associée. D’après la structure de la forme pseudo-canonique donnée par l’équation (3.63), trouver les coefficients de
U(s) consiste à résoudre le système d’équations suivant � 0µ2µ1 0µ2µ1 Iµ2 � � �� � B = U21,0� U21,1� U22,0� � � �� � U� 2 D11,ρ 0 0 D11,ρ−1 D11,ρ D12,ρ D21,ρ D21,ρ+1 D22,ρ+1 � �� � A , Iµ1 ���� ˜ B = U11,0 � �� � U1 D11,ρ � �� � ˜ A , (5.54)
où B et ˜B correspondent aux coefficients d’une forme pleine qui doivent
être fixés à 0 ou à 1 pour obtenir une forme pseudo-canonique. Ainsi, on a B � � ¯D21,ρ D¯21,ρ+1 D¯22,ρ+1� et ˜B � ¯D11,ρ. Il s’agit donc de trouver les coefficients U = � vec(U1) vec(U2) � (5.55) qui fixent n2
y − ny coefficients de D(s) à 0 et ny coefficients à 1. Le système d’équations (5.54) possède une telle solution U, c.-à-d., qu’il existe une FMG pseudo-canonique équivalente à la FMG-P (D(s), N(s)), si et seulement si
� A est inversible ˜ A est inversible ⇐⇒ det � D11,ρ D12,ρ D21,ρ+1 D22,ρ+1 � �= 0 det D11,ρ�= 0 . (5.56) En remarquant que � D11,ρ D12,ρ D21,ρ+1 D22,ρ+1 � = Dhl, (5.57)
où Dhl est la matrice des plus haut degrés ligne du dénominateur, on voit que la première condition est vérifiée par hypothèse d’après la Définition 5.1 des FMG-P. En effet, on a supposé les FMG-P réduites par ligne, autrement dit, det(Dhl) �= 0. Il est donc possible de transformer toute FMG-P donnée par l’équation (5.51) en une FMG pseudo-canonique équivalente si et seule- ment si det(D11,ρ) �= 0. Théoriquement, cette condition n’est pas toujours strictement vérifiée. Si elle n’est pas vérifiée, ou si det(D11,ρ) est proche de zéro, cela signifie que la FMG-P identifiée correspond à un système isolé qui n’est pas représentable par la forme pseudo-canonique structurée par des indices rangés par ordre croissant. Dans une telle situation, d’après la Sec- tion 5.1.3 où nous avons montré que l’arrangement des indices de structure n’impacte pas le résultat de l’identification, il est alors possible de modi- fier l’arrangement des indices dans Υ afin de rechercher une autre forme pseudo-canonique. Cela conduit alors à une condition nécessaire et suffisante similaire mais qui dépend de coefficients différents de la FMG-P identifiée.
5.3 Cas particuliers des FMG-P et des sur-paramétrages diagonaux
quasi-uniformes 107
Par exemple, on peut montrer que la recherche de la forme pseudo-canonique équivalente ayant des indices de structure décroissants demande la résolution d’un système d’équations qui implique la condition det D12,ρ�= 0. D’après le Théorème 3.2, presque tout transfert dans M(nx) est représentable par une FMG sous forme pseudo-canonique. On peut donc dire que pour presque toute FMG-P, il est possible de trouver une FMG pseudo-canonique équiva- lente. On peut de plus mentionner qu’en pratique, il n’a jamais été observé de cas où les conditions (5.56) ne soient pas vérifiées.
Ainsi, nous avons montré que pour un jeu d’indices Υ quasi-constants ran- gés par ordre croissant, toute FMG-P quasi-uniforme est équivalente presque partout à une FMG pseudo-canonique. Ce résultat peut être étendu à tout ar- rangement possible d’indices. Pour des indices non rangés par ordre croissant, le principe de la démonstration reste le même. Seule la répartition des blocs de coefficients change. Au final, la condition det D11,ρ�= 0 reste la condition nécessaire et suffisante à l’obtention d’une forme pseudo-canonique équiva- lente. Comme montré dans la Section 5.1.3, l’ordre des indices des FMG-P n’a pas d’influence. Le résultat montré ici implique donc que l’ensemble des systèmes représentés par les FMG-P quasi-uniformes d’indices Υ rangés par ordre croissant, noté Vd, englobe les
� ny µ1 � ensembles Vpc Υ. Autrement dit, tous les systèmes représentés par l’ensemble Vd vérifient
Vd⊃ �
|Υ|=nx
Vpc
Υ . (5.58)
De plus, les FMG-P quasi-uniformes étant un cas particulier des FMG-P, le paramétrage par DDLC vu dans la Section 5.2 reste évidemment valable et possède les mêmes propriétés que celles énoncées dans le cas général. Ainsi Vd� VdΥ lorsque les indices de structure sont quasi-constants.
En utilisant les notations introduites dans la Section 5.1.4, l’expression du plan tangent à la classe d’équivalence des FMG-P quasi-uniformes est donnée par ΠF(θΥd) = � Π1 0 0 Π2 � , (5.59) où Π1 et Π2 valent Π1= (Iµ1⊗ F T 1) avec F1 =
F
1 , (5.60) Π2= (Iµ2⊗ F T 2) avec F2 =F
1F
2F
10
0
. (5.61)5.3.2 Sur-paramétrage diagonal des FMG pseudo-canoniques
Le sur-paramétrage diagonal des FMG pseudo-canoniques, que nous avons introduit dans (Vayssettes et al., 2012a), peut être défini de la manière sui- vante.
Définition 5.4 (Sur-paramétrage diagonal des FMG). Soit un transfert
de dimension ny × nu et d’ordre nx. Soit une distribution Υ d’indices de structure définie par les équations (3.57) et (3.59) (p. 53). On appelle sur- paramétrage diagonal des FMG pseudo-canoniques, le paramétrage défini par les équations (3.60) et (3.61) (p. 54) où les coefficients de plus haut degré des polynômes diagonaux de D(s) sont libres.
D’après l’équation (5.23) (p. 93), la structure des matrices unimodulaires qui ne modifient pas la structure de ces FMG est donnée par
deg U(s) = 0 −∞ ... −∞ 0 . (5.62)
Cette structure décrit un sous-ensemble de l’ensemble UΥ des matrices uni- modulaires qui maintiennent la structure des FMG-P. Cela correspond, en effet, à l’ensemble des matrices de UΥ dont les coefficients hors diagonaux sont tous nuls. On note θΥ
s le vecteur des coefficients non fixés d’une FMG
sur-paramétrée diagonale d’indices de structure Υ. Le nombre de coefficients non fixés est donc égal à Nmin+ ny. De manière analogue au cas général des FMG-P, l’ensemble des vecteurs de paramètres des FMG sur-paramétrées équivalentes est défini par
˜
θsΥ= θΥs + ¯ΠF(θΥs) ¯U . (5.63)
Ici, ¯ΠF(θsΥ) ∈ R(Nmin+ny)×ny et ¯U ∈ R ny
∗ sont les matrices construites
comme indiqué à la Section 5.1.4 d’après la structure des matrices unimodu- laires (5.62).
Comme nous l’avons montré dans le cas général des FMG-P, de cette forme sur-paramétrée diagonale découle un paramétrage par coordonnées lo- cales. Celui-ci est engendré par le complément orthogonal au plan tangent
¯
ΠF(θsΥ). De même que le paramétrage par DDLC des FMG-P, ce paramé-
trage est un homéomorphisme qui associe un sous-ensemble, noté Vs
Υ, de M(nx) à un sous-ensemble ouvert et dense, noté PsΥ, de RNmin. L’ensemble des paramètres Ps
Υest ainsi de dimension égale à l’ensemble des paramètres, noté Pd
Υ, lorsqu’un paramétrage plein est adopté. Cependant, ¯ΠF(θsΥ) ayant un nombre de lignes inférieur à ΠF(θΥ), l’espace des coefficients non fixés est de dimension inférieure. Il s’agit du sous-espace de TΥ qui ne contient que les directions des coefficients non fixés à zéros. Ceci implique que l’ensemble Vs
Υdes systèmes représentables est inclus dans VdΥ. De même, l’ensemble V pc Υ
5.4 Bilan 109
des systèmes représentables par les formes pseudo-canoniques est inclus dans Vs
Υ. D’après ces remarques, on peut ainsi exprimer les relations suivantes Vd⊇ VsΥ⊇ Vpc
Υ . (5.64)
Par conséquent, on voit que plus la forme choisie contient de para- mètres supplémentaires, plus l’ensemble des systèmes représentables par le paramétrage par coordonnées locales qui en découle est important. En ce sens, les formes sur-paramétrées diagonales permettent d’obtenir des paramé- trages par DDLC intermédiaires entre les paramétrages des formes pseudo- canoniques et ceux des formes pleines. Ces observations peuvent être géné- ralisées à toute autre forme sur-paramétrée. En effet, les FMG-P étant les formes contenant un nombre maximal de paramètres (cf. Remarque (5.1)), toute autre forme sur-paramétrée respectant l’ordre et la propreté des FMG induirait un paramétrage par coordonnées locales qui serait intermédiaire entre le paramétrage par DDLC des formes pleines et le paramétrage pseudo- canonique.
Par ailleurs, il est important de mentionner que contrairement aux FMG- P quasi-uniformes, deux arrangements différents des indices de structure ne conduisent pas à des formes sur-paramétrées diagonales équivalentes. Le nombre de systèmes de coordonnées locales qui permet de couvrir l’ensemble des transferts M(nx) est donc plus important que pour les formes pleines. De plus, l’incertitude liée du choix de l’ordre des indices subsiste donc dans le cas des des formes sur-paramétrées diagonales.
5.4
Bilan
Dans ce chapitre, nous avons défini les fractions matricielles pleines. D’un point de vue analytique, ces formes pleines permettent de réduire l’effort de structuration des fractions matricielles à son minimum. En effet, seul un choix des degrés des lignes (FMG-P) ou des colonnes (FMD-P) doit être effectué. D’un point de vue pratique, l’implémentation de fonctions de cal- cul est également facilité par la gestion de ces structures simplifiées. L’étude des classes d’équivalence des FMG-P a ensuite permis de formuler un pa- ramétrage par coordonnées locales guidées par les données. Comme nous le verrons dans le Chapitre 6, ce paramétrage va permettre d’améliorer les propriétés de convergence des méthodes d’optimisation par rapport aux ré- sultats obtenus avec les paramétrages présents dans la littérature. Comme nous l’avons vu ce paramétrage est fondé sur l’utilisation de coordonnées locales qui, lors d’une utilisation itérative, sont mises à jour à chaque ité- ration de l’algorithme. On peut mentionner qu’une approche similaire mais fondée sur un type de paramétrages différents a été développée dans la lit- térature (Fulcheri et Olivi, 1998). Ces travaux sont fondés sur l’utilisation de paramétrages par interpolation des fonctions rationnelles qui engendrent
également des systèmes de coordonnées locales. Fondé sur l’utilisation de ces paramétrages, un algorithme de type quasi-Newton qui utilise des change- ments de systèmes de coordonnées locales a été développé et semble donner de bons résultats (Olivi et al., 2013). Il serait intéressant d’étudier les liens possibles entre cette approche et l’approche développée dans ce mémoire et de comparer les résultats obtenus dans les deux cas.
Plus spécifiquement, nous avons vu que les FMG-P quasi-uniformes sont liées aux formes pseudo-canoniques. Elles présentent donc un intérêt parti- culier pour l’identification. L’ordre des indices de structure pour les FMG-P n’ayant pas d’influence sur les résultats de l’identification, elles permettent, de plus, d’éviter un choix arbitraire de répartition des indices comme c’est le cas avec toute autre forme paramétrée. Du fait de ces avantages, l’utilisation des FMG-P quasi-uniformes sera privilégiée et généralement adoptée. Tou- tefois, si au cours de l’identification cela s’avérait nécessaire, un changement d’indices de structure pour basculer sur une forme non quasi-uniforme reste possible.
Nous avons également présenté, dans ce chapitre, le cas particulier des formes sur-paramétrées diagonales. Ces formes conduisent également à un pa- ramétrage par DDLC qui, comme nous le verrons au Chapitre 6, permettent d’améliorer la convergence des méthodes d’optimisation par rapport aux pa- ramétrages existants. Les formes sur-paramétrées diagonales sont un sur- paramétrage intermédiaire entre les formes pseudo-canoniques et les formes pleines. Il va nous permettre de caractériser, au Chapitre 6, l’influence du nombre de coefficients non-fixés sur la convergence de l’algorithme de Gauss- Newton.
Chapitre 6
Améliorations des algorithmes
itératifs d’identification fréquentielle
de transferts MIMO
Dans ce chapitre, nous présentons un nouveau schéma de convergence de l’algorithme de Gauss-Newton. Celui-ci est fondé sur l’utilisation des para- métrages par DDLC de fractions matricielles introduits au Chapitre 5. Fon- dée sur des simulations de Monte-Carlo, une analyse de la convergence est ensuite présentée afin d’étudier les propriétés de l’algorithme lorsque ces pa- ramétrages sont utilisés. Ensuite, nous proposons une nouvelle formulation du problème d’identification afin de prendre en compte les conditions aux limites d’intégration. L’objectif étant de proposer une solution valable pour l’ensemble des méthodes itératives présentées au Chapitre 4 afin de réduire la durée d’identification tout en évitant que les effets transitoires ne biaisent les résultats obtenus.
Sommaire
6.1 Nouveaux schémas de convergence de l’algorithme de Gauss-Newton . . . 112 6.1.1 Expression de la méthode de Gauss-Newton pour
les formes pleines . . . 112 6.1.2 Explication des blocages numériques de la conver-
gence . . . 113 6.1.3 Sur-paramétrage et solution par pseudo-inverse . . 115 6.1.4 Paramétrage par DDLC des fractions matricielles . 116 6.1.5 Indépendance de la solution par rapport à la base
de résolution . . . 118 6.1.6 Analyse en simulation de l’influence du paramé-
trage sur la convergence . . . 122 6.2 Prise en compte des conditions aux limites . . . 131 6.2.1 Intégration des conditions aux limites . . . 131 6.2.2 Évaluation sur un exemple de simulation . . . 134 6.3 Bilan des améliorations proposées . . . 138
6.1
Nouveaux schémas de convergence de l’algo-
rithme de Gauss-Newton
Nous présentons dans cette section des schémas de convergence de l’algo- rithme de Gauss-Newton fondés sur l’utilisation des formes sur-paramétrées pleines et diagonales présentées au Chapitre 5. Afin de simplifier les expres- sions mathématiques, nous reprenons ici les notations introduites au Cha- pitre 4, à savoir ˇθ pour exprimer le vecteur de paramètres calculé à l’itération précédente et ˇDf � D(ˇθ, f ), ˇNf � N(ˇθ, f ) et ˇHf � H(ˇθ, f ). Le vecteur de paramètres considéré est formé des coefficients non-fixés des formes pleines. Toujours dans le but de simplifier les notations, on note θ � θΥ.
6.1.1 Expression de la méthode de Gauss-Newton pour les