Trouver les valeurs de θ qui minimisent
J(θ) =�
f ∈F
� Y (f ) − Y (f, θ) �2W . (4.5)
La notation W signifie la possibilité d’inclure une matrice de pondération des sorties. On considère, dans ce chapitre, uniquement le paramétrage pseudo- canonique présenté au Chapitre 3, c.-à-d., que le vecteur de paramètres contient les coefficients non fixés à 0 ou à 1 des fractions matricielles. Afin de simplifier les notations, on note θ � θΥ
pc. D’autre part, plusieurs algorithmes itératifs sont introduits dans la suite de ce chapitre. Le vecteur calculé à l’itération précédente est noté ˇθ. Pour des raisons de clarté, l’indice f sera utilisé dans la suite afin de noter les valeurs calculées aux fréquences f, soit Hf(θ) � H(f, θ), Df(θ) � D(f, θ), Nf(θ) � N(f, θ). De même, on notera Uf � U(f) et Yf � Y (f). De plus, toujours dans un souci de clarté, les notations sont aussi simplifiées pour exprimer les valeurs calculées avec ˇθ. Ainsi, on notera ˇDf � D(f, ˇθ), ˇNf � N(f, ˇθ) et ˇHf � H(f, ˇθ).
4.2
Méthode de Sanathanan-Koerner (SK)
Cette méthode itérative fut initialement développée par Sanathanan et Koerner (1963) afin d’identifier des fonctions de transfert SISO à temps continu à partir de données d’entrée-sortie fréquentielles. Steiglitz et Mc- Bride (1965) ont développé, quelques années plus tard, une méthode équi- valente pour l’identification de modèles à temps discret à partir de don- nées temporelles discrètes. Plus récemment, des travaux ont été réalisés afin de prouver l’existence de points stationnaires pour cet algorithme (Regalia et al., 1997) et d’exprimer la valeur maximale de la norme 2 de l’erreur du modèle identifié en de tels points (Regalia et Mboop, 1996). Ces résultats montrent que la méthode de Steiglitz-McBride, et donc également la méthode de Sanathanan-Koerner par extension de ces résultats au domaine fréquen- tiel, possède des propriétés d’approximation de systèmes complexes par des modèles d’ordre réduit qui sont particulièrement intéressantes (Regalia et Mboop, 1996). D’autre part, De Callafon et al. (1996) ont généralisé l’algo- rithme SK au cas multivariables en l’adaptant pour l’identification des frac- tions matricielles. Cependant, cette formulation ne permet pas d’identifier des systèmes MIMO à tous les ordres possibles. Dans cette section, nous pro- posons une formulation fondée sur l’utilisation des formes pseudo-canoniques introduites au Chapitre 3. Nous verrons que l’expression de l’algorithme SK alors obtenue, plus générale que celle trouvée dans (De Callafon et al., 1996), nous permettra d’identifier l’ensemble des fonctions de transfert MIMO de systèmes LTI.
tion (4.5), nous cherchons à minimiser le critère d’identification suivant
J(θ) = �
f ∈F
� Yf− Hf(θ) Uf�2W , (4.6)
où Hf(θ) est considérée sous forme d’une FMG. En factorisant ce critère par D−1
f (θ), on peut écrire
J(θ) = �
f ∈F
� D−1f (θ) ( Df(θ) Yf− Nf(θ) Uf) �2W . (4.7) L’expression précédente fait apparaître clairement que le critère à minimiser est non-linéaire par rapport à θ. La minimisation d’un tel critère ne peut donc pas se faire en utilisant une méthode de résolution linéaire telle que les moindres carrés. Afin de linéariser l’expression (4.7), la méthode SK consiste à remplacer le terme D−1
f (θ) par la valeur ˇDf calculée à l’itération précé- dente. Il en résulte l’expression d’un critère légèrement différent du critère d’identification exprimé par
Jsk(θ) = � f ∈F
� ˇD−1
f ( Df(θ) Yf− Nf(θ) Uf) �2W . (4.8)
Remarque 4.1. On peut remarquer que pour une représentation sous forme de FMD, l’équation (4.6) s’écrit
J(θ) =�
f ∈F
� Yf − Nf(θ) D−1f (θ) Uf�2W . (4.9) Il n’est alors pas possible de factoriser le terme de droite par D−1f (θ). De ce fait, lorsque les transformées de Fourier des mesures d’entrée-sortie sont considérées, la méthode SK ne peut s’écrire que pour une représentation sous forme de FMG.
Le critère (4.8) est linéaire en θ et approche le critère d’identification lorsque ˇD−1
f ≈ D−1f (θ). Ainsi, la méthode SK permet de minimiser le cri- tère d’identification de manière itérative sans recourir à une méthode d’op- timisation non linéaire. De plus, cette méthode ne requiert pas de modèle initial puisqu’elle peut être initialisée, sans information a priori, en fixant ˇ
D−1
f = I à la première itération. Le critère Jsk(θ) étant linéaire en θ, mini- miser l’équation (4.8) revient à résoudre un problème des moindres carrés à chaque itération. Afin d’exprimer ce problème sous une forme matricielle du type � A x+B �2, nous développons l’expression (4.8). Ce développement est fondé sur l’utilisation du paramétrage pseudo-canonique des FMG présenté au Chapitre 3. Celui-ci implique que la matrice des coefficients de plus haut degré ligne (cf. p. 38) est fixée à l’identité, notée I. D’après la structure du
4.2 Méthode de Sanathanan-Koerner (SK) 65
dénominateur donnée par l’équation (3.63) (p. 54), pour un choix d’indices Υ = �ρ · · · ρ ρ + 1 · · · ρ + 1�, les termes fixés peuvent être isolés en écrivant
Df(θ) = D
f(θ) + ¯Df . (4.10)
¯
Df désigne les termes de plus haut degrés du dénominateur définis par ¯ Df = I × diag�(j2πf )ρ · · · (j2πf )ρ � �� � µ1fois (j2πf )ρ+1 · · · (j2πf )ρ+1 � �� � µ2 fois � , (4.11) et Df(θ) désigne l’ensemble des autres termes du dénominateur. En utilisant l’expression (4.10), le critère (4.8) peut donc s’écrire
Jsk(θ) = � f ∈F
� ˇD−1
f ( Df(θ) Yf − Nf(θ) Uf) + ˇD−1f D¯fYf�2W . (4.12)
On peut remarquer que le cas particulier nx = ρ ny, correspondant à fixer Dρ= I, conduit à ¯Df = I × (j2πf )ρ. Ce cas particulier permet de retrouver l’écriture de cette méthode telle que rencontrée dans la littérature (De Calla- fon et al., 1996). Cependant, à la connaissance de l’auteur, la généralisation de cette expression, donnée par l’équation (4.12), n’existait pas.
En regroupant les termes de cette équation pour les nf fréquences consi- dérées, on peut construire une matrice Msk∈ Cnynf×nθ et un vecteur Zsk∈ Cnynf définis par ... W ˇD−1 f ( Df(θ) Yf− Nf(θ) Uf) ... = Mskθ , (4.13) ... W ˇD−1 f D¯fYf ... = Zsk. (4.14)
Le produit Mskθ s’obtient en vectorisant (Golub et Van Loan, 1996) les
combinaisons linéaires de θ. L’obtention des termes de Msk par le biais de cette opération relève uniquement d’un problème d’arrangement de données qui n’est pas détaillé ici. Le lecteur intéressé peut, par exemple, se référer à (De Callafon et al., 1996) qui détaille la construction de la matrice Msk.
Minimiser l’équation (4.8) revient donc à résoudre le problème des moindres carrés suivant1
Jsk(θ) = � Mskθ + Zsk�2, (4.15)
1Notons que dans cette expression, la norme n’est plus pondérée car les pondérations sont incluses dans Msk et Zsk
Afin qu’une solution θ soit trouvée, le problème doit être sur-déterminé, c.- à-d., que le nombre de lignes de la matrice Msk doit être supérieur ou égal au nombre de paramètres composant θ, ce qui implique
nf ≥ nθ ny
. (4.16)
Par conséquent, la matrice Mskest généralement rectangulaire avec un nombre de lignes supérieur au nombre de colonnes.
En pratique, la matrice Mskest toujours de rang plein. En effet, d’après l’équation (4.12), on peut remarquer que les colonnes de Msk ne sont linéai- rement dépendantes que si θ correspond au vecteur des paramètres exacts du système. Le problème des moindres carrés (4.15) possède donc toujours une solution θ unique. La matrice Mskétant construite avec des valeurs com- plexes, cette solution est complexe. Toutefois, une solution réelle est obtenue en résolvant le problème (4.15) pour les parties réelles et imaginaires de Msk et Zsk. En notant respectivement ¯Msk et ¯Zsk la matrice réelle et le vecteur réel définis par
¯ Msk= � Re{Msk} Im{Msk} � et ¯Zsk= � Re{Zsk} Im{Zsk} � , (4.17)
la solution réelle à chaque itération de l’algorithme SK est alors donnée par θ = −( ¯M�skM¯sk)−1M¯�skZ¯sk. (4.18) Remarque 4.2. Nous avons introduit l’algorithme SK comme une méthode permettant de linéariser le problème d’identification en erreur de sorties. Une autre vision trouvée dans la littérature considère la résolution du problème posé à chaque itération SK comme le choix d’un paramétrage particulier du bruit (Söderström et Stoica, 1989). Rappelons que la formulation du problème en erreur de sortie suppose les sorties mesurées Yf égales à la somme des sorties déterministes du système et d’un terme de bruit noté �, soit
Yf = Hf(θ) Uf + �f , (4.19)
où �f est la composante du bruit de fréquence f . Ainsi, la minimisation du critère initial (4.6) revient à minimiser l’effet du bruit �f sur les mesures. Dans ce cas, aucune hypothèse sur la représentation du bruit n’est formulée. En revanche, la minimisation du problème (4.8) se justifie en supposant que le bruit est de la forme �f = D−1f (θ)�bf où �bf est un bruit blanc. Si cette hypothèse est vérifiée, une résolution par moindres carrés linéaires donne une solution θ non biaisée qui vérifie
Df(θ) Yf− Nf(θ) Uf = �bf. (4.20)
On parle, dans ce cas, d’un paramétrage ARX (Auto Regressive model with eXogenous inputs) du bruit (Söderström et Stoica, 1989). D’après l’équa- tion (4.8), on voit que la méthode SK consiste à résoudre à chaque itération