où uk et yk sont les mesures temporelles échantillonnées. Les relations entre les matrices de la représentation continue et les matrices de la représen- tation discrète, sous l’hypothèse d’un bloqueur d’ordre zéro, sont données par (Ljung, 1999) Ad= eA∆t, Bd= � ∆t 0 B eAtdt , Cd= C , Dd= D . (2.28)
2.4
Essais de flottement
Les essais en vol de flottement d’un avion constituent un contexte opé- rationnel particulièrement exigeant pour l’analyse modale (Pickrel et White, 2003; Brenner et al., 1997). La réduction de la durée des essais y étant un enjeu majeur (Vacher et al., 2009; Cooper, 2002), ils font partie du type d’ap- plications visées par ces travaux. Afin de définir un ensemble de spécifications générales que doivent respecter les méthodes d’identification que nous allons développer, nous présentons dans cette section le contexte opérationnel des essais de flottement.
2.4.1 Phénomène de flottement
Toute structure étant sujette à des modes naturels de vibration, lors- qu’une structure est placée dans un fort écoulement d’air, les oscillations de la structure extraient de l’énergie du flux d’air. On parle de couplage aéroé- lastique entre l’air et la structure (Bisplinghoff et Ashley, 1962). Cette énergie procurée par les forces aérodynamiques modifie les caractéristiques naturelles des modes de vibrations de la structure. Si l’énergie extraite du flux d’air est plus importante que l’amortissement naturel du système, le niveau des vibra- tions augmente et rend la structure instable. Dans le domaine aéronautique, cette instabilité dynamique est appelée flottement (Bisplinghoff et Ashley, 1962). Le flottement peut apparaître de manière très soudaine et causer la destruction de l’avion (Garrick et Reed III, 1981). Parmi les phénomènes qui peuvent se produire durant un vol, le flottement est, par conséquent, l’un des plus critiques.
L’aéroélasticité concerne, dans le domaine aéronautique, l’étude du com- portement des structures d’avion exposées à des forces aérodynamiques. La modélisation physique du comportement aéroélastique d’un objet y est pri- mordiale. Elle est fondée sur une modélisation des dynamiques de la struc- ture et des actions irrégulières des forces aérodynamiques. Pour des systèmes complexes tels qu’un avion, une modélisation exacte de tous les aspects de la structure dans toutes les conditions de vol possibles n’est pas réalisable. Par conséquent, la réalisation d’un nombre important de tests en vol combinés à
l’utilisation de méthodes d’identification des systèmes est le seul moyen de garantir qu’un avion n’est pas sujet au flottement sur son domaine de vol.
2.4.2 Contexte opérationnel des essais de flottement
Actuellement, les essais en vol sont souvent constitués de séries de tests réalisés lorsque l’avion est stabilisé en un point de vol, c.-à-d., à une vitesse et une altitude constantes (Pickrel et White, 2003; Vacher et al., 2009). Le flottement étant par nature plus enclin à apparaitre avec l’augmentation de la vitesse, ces points de vols sont explorés, pour une altitude donnée, en augmentant la vitesse de vol. A chacun de ces points de vol, des modèles LTI sont identifiés. Pour cela, plusieurs tests d’identification sont réalisés pour différentes excitations appliquées à la structure. Les mesures de la réponse de la structure sont ensuite utilisées pour estimer les facteurs d’amortissement, notés ξ. Ceux-ci, obtenus pour chaque point de vol stabilisé, établissent une tendance en fonction de la vitesse de vol, notée Vc. Cette tendance sert à évaluer la stabilité de la structure de l’avion pour le point de vol suivant avant d’y emmener l’avion (Vacher et al., 2009).
Vitesses d´ej`a test´ees Vitesse `a tester
Figure 2.2 – Surveillance des modes.
Les mouvements de la structure sont mesurés en plusieurs points selon les trois directions de l’espace. Plus de cent capteurs peuvent être disposés sur l’ensemble de la structure. La Figure 2.3 montre un exemple de confi- guration d’essais en vol de flottement où les mesures sont effectuées par des accéléromètres. Les directions des mesures sont indiquées par les lettres X, Y et Z.
Les données mesurées étant très perturbées par les déplacements d’air le long de la structure, les conditions d’essais en vol ne sont pas des condi- tions favorables pour la réalisation d’identifications précises (Cooper, 2002; Pickrel et White, 2003). En moyenne, les mesures ne sont donc pas de bonne qualité et présentent de faibles niveaux de rapport de signal à bruit. Tou-
2.4 Essais de flottement 21
Figure 2.3 – Exemple de configuration des mesures pour les
essais de flottement d’un avion commercial.
tefois, de grandes disparités entre les mesures sont généralement observées. Certaines sont en effet inutilisables alors que d’autres peuvent être d’assez bonne qualité.
Les surfaces de contrôle de l’avion sont utilisées pour exciter l’avion. Le positionnement de ces surfaces de contrôle est montrée sur la Figure 2.4. Actuellement deux types de signaux sont utilisés : des balayages fréquentiels (sweep en Anglais) et de simples créneaux (pulse en Anglais). Bien que ces derniers permettent une moins bonne excitation des modes, les avionneurs souhaitent les utiliser de plus en plus car ils sont beaucoup plus courts. Typiquement, ils ne durent que quelques secondes contre parfois plusieurs minutes pour un balayage fréquentiel.
2.4.3 Réduction de la durée des essais
Plusieurs milliers de tests étant effectués durant une campagne d’essais de flottement, diminuer la durée de chaque test est un enjeux économique important pour les avionneurs. Supprimer, ou au moins diminuer la part des essais balayages au profil des essais pulses donne donc la possibilité aux avionneurs de diminuer considérablement la durée des essais. Pendant de nombreuses années, les avionneurs tels qu’Airbus ou Boeing n’utilisaient que des signaux d’excitation mono-entrée (Vacher et al., 2009; Pickrel et White,
Aileron droit Aileron gauche Gouverne de direction Gouverne de profondeur droite gauche Gouverne de profondeur
Figure 2.4 – Surfaces de contrôle utilisées pour l’identification.
2003). Pour cette raison, plusieurs tests devaient nécessairement être réalisés à chaque point de vol afin d’exciter l’ensemble des modes. Depuis quelques années, de nouveaux outils permettent aux avionneurs de générer simulta- nément plusieurs signaux d’entrée pour les gouvernes de l’avion (Cooper, 2002; Vacher et al., 2009). Ce type de système permet une large améliora- tion de l’utilisation des essais pulses. L’ensemble des modes de la structure peuvent désormais être excités en un seul test. De plus, en utilisant plu- sieurs gouvernes simultanément, cette avancée permet d’augmenter l’énergie d’excitation de la structure. Rendant plus favorables les rapports de signal à bruit, cela favorise une identification plus précise des paramètres modaux et permet d’envisager une utilisation plus massive des essais pulses. Enfin, la possibilité de réaliser des essais multi-entrées permet également de diminuer la durée totale des essais en diminuant le nombre de tests à réaliser à chaque point de vol. Du point de vue de l’identification, cela implique, en revanche, l’utilisation de méthodes adaptées au traitement de tels essais, c.-à-d., des méthodes capables de traiter des essais multi-entrées avec des excitations de courte durée.
Comme le montre la Figure 2.5, pour une excitation de courte durée, la réponse du système est ensuite composée d’une phase de retour à l’équilibre. Cette phase dure plus ou moins longtemps en fonction de l’amortissement du système. Dans le cas de larges structures, dont les amortissements sont souvent très faibles, ces durées peuvent atteindre l’ordre de la minute. Un troisième moyen de réduire la durée des essais est de ne considérer que les données enregistrées durant les premières secondes après l’excitation pour effectuer l’identification. Ce faisant, les traitements peuvent être accélérés et les tests enchainés plus rapidement. De plus, en considérant la zone tempo- relle qui contient le niveau le plus important de signal, cela doit également permettre d’améliorer la précision de l’identification.
2.4 Essais de flottement 23 0 5 10 15 20 25 −1 −0.5 0 0.5 1 t(s) Amplitude u(t) y(t)
Figure 2.5 – Réponse après une excitation pulse.
Bien qu’illustré ici à travers l’application particulière des essais de flot- tement, cet objectif de réduction de la durée des essais d’identification est partagé par l’ensemble des industriels pour lesquels réduire la durée des es- sais implique une diminution significative des coûts impliqués. Les méthodes développées et présentées dans ce mémoire afin de répondre à cet objectif ont donc une visée plus large que l’application unique aux essais de flottement.
2.4.4 Spécifications pour les algorithmes d’identification
Comme nous l’avons mentionné précédemment, les essais en vol ne sont pas un contexte favorable à une identification précise. Plus généralement, l’identification de systèmes en conditions de fonctionnement opérationnel doit souvent faire face à ce type de contexte peu favorable. Dans de tels cas, l’objectif des méthodes d’identification est donc de fournir le meilleur modèle possible d’après les données mesurées disponibles. Afin d’atteindre cet objectif, il est préférable que les méthodes d’identification satisfassent plusieurs spécificités que nous pouvons énoncer en nous inspirant du contexte des essais en vol.
Premièrement, en analyse modale, on s’intéresse généralement aux carac- téristiques modales dans une bande de fréquence donnée. Une identification dans le domaine fréquentiel est donc bien indiquée car elle permet de sélec- tionner directement une bande de fréquence d’intérêt (Pintelon et Schoukens, 2001). Plus généralement, il sera donc préférable de choisir une méthode of- frant la possibilité de sélectionner précisément une bande de fréquence.
Deuxièmement, l’analyse modale de structures de grande dimension im- plique un nombre important de mesures et donc un important volume de données à traiter. Ainsi, il est important de réussir à diminuer la quantité de ces données afin d’améliorer la rapidité des traitements. Dans la littéra- ture, deux approches présentent cette caractéristique : les méthodes fréquen- tielles (Pintelon et Schoukens, 2001) et les méthodes fondées sur les fonctions de covariance des signaux mesurés (Juang, 1994; Miller et al., 2012).
Troisièmement, les données étant bruitées et n’ayant pas de connaissance a priori sur le bruit, un paramétrage du problème d’identification en erreur
de sortie est alors bien indiqué (Ljung, 1999). Cette formulation du problème n’étant pas linéaire en fonction des paramètres, elle implique, soit l’utilisation de méthodes itératives d’optimisation, soit l’utilisation de méthodes sous- espaces.
Quatrièmement, l’objectif étant d’obtenir les estimations les plus précises possibles à partir d’essais de courte durée, la durée des signaux d’entrée peut être trop courte pour estimer convenablement les fonctions de réponses fré- quentielles (Welch, 1967). Ainsi, comme souligné dans (Verboven, 2002, Cha- pitre 6), l’utilisation d’excitations de courte durée rend difficilement utilisable une des approches classiques en analyse modale qui consiste à identifier les modes d’après les fonctions de transfert estimées (Pintelon et al., 1994). Dans le domaine fréquentiel, il est donc préférable que l’identification soit menée directement à partir des transformées de Fourier des signaux d’entrée-sortie. En résumé, afin d’être adaptées au contexte traité par cette thèse, il est souhaitable que les méthodes développées s’appuient sur une formulation du problème d’identification en erreur de sortie. De plus, nous privilégierons des méthodes fondées sur l’utilisation des transformées de Fourier ou sur l’utilisation des fonctions de covariance des mesures.