Representation de surface dans un espace discret

discret

Les objets qui peuvent ^etre modelises par une image numerique sont limi- tes par plusieurs proprietes intrinseques de l'espace discret dans lequell'image est incluse. Considerons le cas de la grille cubique qui est utilisee majoritai- rement en traitement des images. Le plus petit objet qui peut ^etre represente est un cube elementaire (ou voxel). Il n'est donc pas possible de modeliser des structures plus petites que la taille du voxel comme, par exemple, une surface. De plus, les tentatives de developpement d'une theorie topologique coherente fondee sur le graphe d'adjacence des images ont echoue en raison du celebre paradoxe de connexite [KOVA-94, PAVL-77]. Ce paradoxe peut ^etre evite dans le cas de scenes composees d'un fond et d'objets dont les composantes connexes sont disjointes en utilisant deux connexites distinctes. Mais si la scene est plus complexe et qu'elle contient, par exemple, des objets inclus les uns dans les autres ou des congurations plus compliquees, il est dicile, voire impossible, de se debarasser du paradoxe [LONG-95].

Pour aller au-dela des limites de modelisation imposees par les images classiques, nous allons utiliser une structure d'image fondee sur les complexes cellulaires: le modele cellulaire. Cette structure va nous permettre de repre- senter des objets ayant dierentes dimensions locales (c'est-a-dire composes conjointement de volumes, de surfaces, de structures laires et de points iso- les) au sein d'un m^ememodele. An d'obtenir une structure beneciant d'une topologie coherente, nous nous sommes fondes sur les dierentes approches qui ont ete proposees pour denir une surface dans l'espace tridimensionnel discretZZ [BERT-97, KENM-98] et pour etudier les proprietes topologiques

Vers un modele cellulaire pour representer les images d'une image numerique binaire [BERT-99].

2.1.1

Les graphes d'adjacence

L'approche la plus repandue est fondee sur la theorie des graphes et fut introduite par Kong and Rosenfeld [KONG-89, ROSE-79, VOSS-93]. Dans cette approche, les elements deZZ3 sont lies entre eux par une relation d'ad-

jacence qui permet de denir le graphe reliant l'ensemble des elements. Plu- sieurs auteurs ont propose des caracterisations des surfaces au sein d'une structure de graphe qui se fondent sur les caracteristiques locales de connexite des elements [MALA-93, MALG-94, MORG-81b]. Pour caracteriser les ele- ments correspondant a une surface et les distinguer des autres elements, les proprietes locales d'une surface dans un espace continu sont exprimees dans un voisinage de l'element. C'est donc l'observation d'un element et de son voisinage qui permet de dire s'il est de type surface ou non. Par exemple, dans le cas continu, si l'on considere un voisinage susamment petit centre sur un point appartenant a une surface fermee, il sera separe en deux parties par cette surface. Cela peut s'exprimer dans le cas binaire, ou une image est constituee de voxels noirs ou blancs, en imposant, comme condition ne- cessaire pour qu'un voxel soit de type surface, que son voisinage contienne exactement deux composantes connexes blanches distinctes. Dans ce cadre, une surface est un ensemble de voxels de type surface veriant certaines proprietes de connexite et de topologie. Cette approche est utilisee dans le cadre des images numeriques qui sont constituees de voxels. Les images nu- meriques ne peuvent pas representer des structures plus nes que le voxel qui est la brique de base constituant l'image. Les surfaces denies au sein d'une image numerique ont donc une ((epaisseur)) de l'ordre de la taille du voxel,

ce qui peut poser des problemes quand il est necessaire de modeliser des structures nes. L'approche voxel soure aussi d'inconvenients topologiques. En eet, il n'est pas possible de construire une topologie fondee directement sur une structure de graphe d'ajacence [BERT-82, CHAS-79, CHAS-91]. Cela explique les paradoxes topologique rencontres au sein des images numeriques.

2.1.2

Les ensembles de surfels

Certains auteurs proposent d'utiliser des elements de surface (appeles

surfels de l'anglais surface element) pour representer une surface. Un surfel est une facette situee entre deux voxels voisins. Une surface est represen- tee par un ensemble de surfels [HERM-92, UDUP-93]. On distingue deux approches pour obtenir cet ensemble de surfels. La premiere classe de me-

2.1 Representation de surface dans un espace discret thodes est constituee par les algorithmes de suivi de bords1. Ces methodes

partent d'un objet binaire constitue de voxels et determinent l'ensemble des surfels qui forment sa surface. Il existe dierents algorithmes de suivi de bords [ARTZ-81, GORD-89] qui fournissent des resultats dierents. Ces me- thodes peuvent ^etre developpees de facon intuitive, ce qui permet de me- ner separement l'etude des proprietes topologiques des surfaces obtenues [HERM-83, KONG-92]. D'autres approches detectent la surface sans iden- tier d'objet au prealable [HERM-78, LIU-77]. Ces methodes fournissent des surfaces dont l'interieur et l'exterieur sont bien denis. Les methodes fondees sur les surfels s'appuient sur l'ensemble des voxels pour denir l'ensemble des surfels appartenant a la surface. Ces approches ne permettent donc pas non plus de denir une topologie.

2.1.3

Les varietes combinatoires

L'approche combinatoire s'inscrit dans le domaine de la topologie combi- natoire [ALEK-56]. Une surface est decrite comme une structure [FRAN-95, KENM-96, MCAN-93], independammentde toute representation geometrique. Par exemple, Francon [FRAN-95] denit une surface comme une variete com- binatoire2 dont voici la denition:

Denition 2.1

: Soit G un graphe. Une boucle orientee de G est une per- mutation circulaireL = (v0;v1;:::;vk;1), k > 2, de sommets de G telle

que, pour touti, vi est adjacent avi+1 (les indices sont pris modulo k)

et vi 6= vj si i 6= j ; une boucle de G est une boucle orientee a l'orien-

tation pres. Un sommet vi d'une boucle est dit adjacent a la boucle;

l'arc oriente (vi;vi+1) (respectivement l'arc fvi;vi

+1

g) est dit adjacent

a la boucle orientee (respectivement a la boucle). Deux boucles ayant un arc en commun sont dites adjacentes.

Denition 2.2

: Une variete combinatoire bidimensionnelle (fermee) M = [G;F] est un graphe G avec un ensemble F de boucles de G appelees

facesou 2-cellules deM, tel que:

1. tout arc de G est adjacent a exactement deux faces, et

2. pour chaque sommetv, l'ensemble des faces adjacentes a v peut ^etre mis sous la formed'une permutation circulaire(f0;f1;:::;fk;1),

k > 1 appelee l'ombrelledev, telle que, pour tout i, fiest adjacent

a fi+1 (les indices sont pris modulo k). 1: Traduction de :boundary tracking

Vers un modele cellulaire pour representer les images

Ce type de denition permet, tout en restant dans un espace discret, d'etudier les proprietes de l'ensembledes surfaces qui permettentcette forma- lisation. L'approche combinatoire fournit donc un niveau d'abstraction sup- plementairepar rapport aux approches fondees sur les graphes et a celles fon- dees sur les voxels. Les principaux types de surfaces discretes appartiennent d'ailleurs a la famille des varietes combinatoires [BERT-97].

2.1.4

Les complexes cellulaires

L'approche fondee sur les complexes cellulaires [GODB-71, MUNK-84] re- presente des objets comme un ensemble d'elements de dierentes dimensions relies entre eux par une relation de borne. Nous donnons ici la denition des complexes cellulaires de Kovalevsky [KOVA-89].

Denition 2.3

: Un complexe cellulaire C = (E;B;dim) est un ensemble E d'elements, appelescellules, muni d'une relation binaireB EE

antisymetrique et transitive, appelee relation de borne3 et muni d'une

fonction dimension de E dans IN, tels que dim(e0) < dim(e00) pour

toute paire (e0;e00) 2B.

La relation de borne B est une relation d'ordre partiel sur E. Elle indique les paires ordonnees (e0;e00) telles que e0 borne e004. Une cellule e0 borne une

cellule de dimension superieure e00 si e0 fait partie de la frontiere de e00. Par

exemple,un triangle peut ^etre un element bidimensionnel de la frontiere d'un tetraedre, un segment de droite peut ^etre un element monodimensionnel de la frontiere d'un triangle ou d'un tetraedre. La relationB peut ^etre re exive, dans ce cas, (e0;e00)

2B implique dim(e 0)

dim(e 00).

La structure de complexecellulairepresente un double inter^et.D'une part, comme l'a remarque Kovalevski [KOVA-89], il est possible de construire une topologie a partir d'un complexecellulaire(voir aussi [BERT-99, HERM-90]); les representations fondees sur les complexescellulaires s'inscrivent donc dans un cadre topologique coherent ne sourant pas des paradoxes des images nu- meriques. De plus, l'utilisation de cellules de dierentes dimensions munies d'une relation locale permet de representer des objets complexes constitues de parties ayant dierentes dimensions locales tout en conservant une repre- sentation proche de celle des images classiques. Dans le chapitre 2.2, nous construisons un modele d'image fonde sur les complexes cellulaires et per- mettant d'utiliser les capacites de modelisation des complexes cellulaires ainsi que leurs proprietes topologiques, tout en conservant une structure de graphe d'adjacence sur des cellules incluses dans la grille cubique.

3: Traduction de :bounding relation

Dans le document Modélisation homotopique et segmentation 3D du cortex cérébral à partir d'IRM pour la résolution des problèmes directs et inverses en EEG et en MEG (Page 52-56)