Fig. 2.6 { Volumes de liquide cephalorachidien (LCR) dans les sillons. Les parties blanches indiquees par des eches correspondent aux composantes connexes isolees (en 3D) obtenues apres un seuillage bas de l'image selec- tionnant le LCR.
2.3
Conclusion
Nous avons montre que l'importance croissante des methodes d'imagerie fonctionnelle necessitait l'obtention de modeles de plus en plus precis des structures cerebrales. L'imagerie electrophysiologique, comme l'electroence- phalographie (EEG) ou la magnetoencephalographie (MEG) permettent un suivi en temps reel des phenomenes cognitifs et sont totalement non inva- sives. Cependant, l'identi cation des zones actives du cerveau a partir de donnees EEG/MEG est un probleme inverse fondamentalement mal pose. Il est donc important, pour regulariser ce probleme, d'obtenir une modelisa- tion des tissus cerebraux. La modelisation du cortex rev^et une importance toute particuliere dans ce probleme car la connaissance de la geometrie cor- ticale permet non seulement de construire un modele anatomique pouvant ^etre utilise dans le probleme direct en EEG/MEG, mais elle peut aussi ^etre utilisee pour regulariser le probleme inverse en contraignant les degres de li- berte des modeles d'activations et en permettant la regularisation anatomo- fonctionnelle du probleme en s'appuyant sur des informations de courbure ou de distances geodesiques entre les sources d'activations.
Plusieurs methodes existent pour obtenir une modelisation tridimension- nelle des tissus cerebraux a partir d'images IRM. Cependant, la complexite geometrique du cortex ainsi que sa grande variabilite, a la fois spatiale et structurelle, entre plusieurs individus emp^echent l'utilisation directe des me- thodes classiques de segmentation pour obtenir un modele de la bande corti- cale. Nous avons presente les methodes recentes qui sont utilisees speci que-
Segmentation du cortex dans les IRM
ment pour analyser la bande corticale a partir d'une image IRM. Chacune de ces methodes a ete developpee dans un but precis comme l'identi cation des sillons ou l'obtention de points de repere pour le recalage. Elles traitent donc toutes le probleme de la segmentation du cortex en fonction de leurs objectifs respectifs et il n'existe pas, a notre connaissance, de methode per- mettant d'obtenir une representation de la surface corticale a partir d'une IRM en prenant en compte la presence et la complexite des sillons profonds, la topologie corticale qui n'appara^t pas directement dans les IRM a cause du volume partiel et la presence de volumes contenant du liquide cephalora- chidien au cur des sillons.
Dans la suite de ce travail nous presentons une methode permettant de segmenter le cortex a partir d'images IRM en prenant en compte l'ensemble des caracteristiques de la surface corticale. Dans la partie II, nous presentons un modele discret pour representer des objets. Ce modele, que nous appelons modele cellulaire, est fonde sur une structure de complexe cellulaire et per- met de representer des objets composes de parties volumiques, surfaciques, laires et ponctuelles. On pourra ainsi representer precisement, au sein d'un m^eme modele, les parties surfaciques separant deux sillons et les volumes de liquide cephalorachidien se trouvant dans les circonvolutions. Dans la suite de cette partie, nous montrons comment, a partir des proprietes topologiques du modele cellulaire, construire un algorithme permettant de deformer ho- motopiquement les objets representes au sein d'un modele cellulaire. Ainsi le modele cellulaire permet de manipuler des objets complexes, comme la sur- face corticale, tout en contr^olant leur topologie. Nous l'utilisons donc, dans la partie III, pour segmenter le cortex au sein d'une image IRM.
Deuxieme partie
Modele deformable
homotopique a base de
C H A P I T R E
1
Introduction
Segmenter un objet dans une image revient a l'isoler du reste de la scene et a en obtenir une representation geometrique. Souvent, cette representation s'exprime dans le m^eme espace que celui de l'image. Par exemple, un simple seuillage sur une image fournit un ensemble de voxels, le support geome- trique de cet ensemble de voxels est la representation geometrique de l'objet segmente par seuillage. Pour manipuler directement la representation geome- trique de l'objet a segmenter, il peut ^etre necessaire d'exprimercette derniere dans un espace di erent de celui de l'image. C'est le cas, par exemple, des modeles deformables qui utilisent des courbes, des surfaces ou des volumes parametriques.Chaque espace utiliseau cours de la segmentationdoit ^etre ca- pable de representer correctement la forme de l'objet a segmenter. Cela peut ^etre particulierement dicile pour des objets de forme complexe comme la surface corticale. Il est donc important de veri er l'adequation entre la forme de l'objet a segmenter et les representations geometriques que permettent les espaces utilises au cours de la segmentation. L'etude de l'etendue des re- presentations possibles dans un espace passe par l'observation des proprietes topologiques de cet espace et des objets qu'il peut contenir.
La topologie a pour but d'etudier les proprietes des espaces et des fonc- tions. Il est donc legitime, dans le domaine du traitement des images, de vouloir utiliser la topologie pour conna^tre les proprietes geometriques com- plexes des espaces dans lesquels sont representees les images. Il existe toute- fois de grandes di erences d'approche et de motivation entre la topologie des mathematiques et celle du traitement des images numeriques. La premiere est fortement theorique, elle met l'accent sur la demonstration de resultats generaux et n'est limitee que par les proprietes des espaces qu'elle considere. Ces proprietes permettent de decrire en termes mathematiques une in nite d'espaces dont la complexite intrinseque ne possede pas de limites. La puis- sance de l'abstraction mathematique est telle qu'elle permet la manipulation d'entites in niment complexes a partir d'un ensemble de regles accessibles a l'echelle humaine. C'est precisement dans la complexite des espaces que
Introduction
l'on manipule que se situe la principale di erence entre la topologie des ma- thematiques et celle du traitement des images numeriques qui considere des espaces discrets le plus souvent nis.
En e et, une image numerique est un ensemble ni de points values lies entre eux par une ou plusieurs relations de voisinage. Les valeurs et les voi- sinages sont exprimes sous forme numerique, ils appartiennent donc a des espaces discrets. Cependant, les espaces qui ont servi a engendrer les images ne sont que rarement discrets par nature, la discretisation est, toutefois, une necessite due a la representation numerique permettant d'e ectuer des trai- tements informatiques. Or, la discretisation a pour consequence de modi er la topologie des espaces. Cette modi cation de topologie depend evidemment des espaces consideres. Ainsi, comme nous le verrons dans le chapitre 2, une image classique ne pourra representer que des objets purement tridimension- nels. C'est pourquoi, dans le but de trouver un modele adapte a la topologie de la surface corticale, nous introduirons les modeles cellulaires qui sont une representation fondee sur les complexes cellulaires et qui nous permettront d'accro^tre les possibilites de modelisation des images classiques.
Il peut aussi arriver que les resultats fondamentaux de topologie ne soient pas directement utilisables dans les espaces discrets. C'est pourquoi nous al- lons presenter, dans le chapitre 3, les fondements topologiques de base qui nous permettront de mettre au point, plus loin dans ce m^eme chapitre, une methode permettant de deformer une scene representee par un modele cellu- laire tout en preservant sa topologie initiale.
Si la topologie discrete autorise parfois l'obtention des resultats permet- tant une representation numerique, elle ne s'interesse pas toujours a l'utili- sation de ces resultats dans un environnement informatique. Le monde de l'informatique est doublement ni, a la fois dans l'espace et dans le temps, et impose des contraintes emp^echant parfois l'utilisation d'une theorie dans un probleme concret. Dans le chapitre 4, nous plongerons donc le modele cellulaire et ses deformations dans ce monde informatique en introduisant une structure de donnees en harmonie avec la structure des ordinateurs ac- tuels et permettant ainsi d'implanter ecacement des algorithmes reposant sur les modeles cellulaires comme, par exemple, l'algorithme de deformation homotopique.
C H A P I T R E