La distance cellulaire

L'introduction d'une distance et d'une direction dans un modele cellu- laire peut se faire en choisissant le centre de gravite de chaque cellule comme representant de la cellule. Ainsi, chaque deplacement entre deux cellules voi- sines correspond au vecteur reliant leurs centres de gravite, on a donc pour chaque paire de voisins, une distance et une direction (gure 4.7). Encore une fois, nous nous retrouvons dans une situation similaire a celle des images classiques, nous avons une trame constituee d'un ensemble de points dans IR3 (les centres des cellules) relies entre eux par des segments (les relations

de voisinage), ce qui nous permet de denir la longueur d'un chemin 2;E

comme etant la somme des longueurs des segments joignant les centres des cellules du chemin. La distance cellulaire entre deux cellules est alors la lon- gueur du plus court chemin joignant les deux cellules.

Fig. 4.7 { Exemples bidimensionnels de distances locales entre les cellules d'un modele cellulaire.

En s'appuyant sur cette denition, il est possible de denir la distance geodesique entre deux points s1 et s2 appartenant a la m^eme composante

connexe d'un objetO commela longueur du plus court cheminde ;Ojoignant

s1 as2. Cette distance peut ^etre calculee en utilisant un algorithme classique

de propagation de front: liste=fs

1 g

Marquers1

Tant que

liste6=;

depilers de liste

Pour

chaques0 voisin non marque de

s dans O

Si

s0 6 =s2 Marquers0 Ajouter s0 a liste Precedent(s) =s

4.3 Conclusion

Sinon

Le plus court chemin passe par s0 et par tous ces prede-

cesseurs (Precedent(s0), puis

Precedent(Precedent(s0)),

etc.) jusqu'a s1

Fin si

Fin pour

Fin tant que

s1 ets2 ne sont pas connexes dans O

L'existence d'une distance entre les cellules d'un complexe cellulaire per- met la construction d'algorithmes prenant en compte les positions relatives entre les cellules. Par exemple, il est possible de construire des elements structurants se rapprochant d'une sphere de rayonR en considerant tous les voisins d'une cellule dont la distance a cette derniere est inferieure a R. La possibilite d'etudier les dimensions et les formes des elements structurants permet la mise au point d'algorithmes de morphologie mathematique, de l- trage lineaire, etc.

4.3

Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons montreque l'implantationinformatiqued'un modele cellulaire ne pose pas de probleme majeur, et nous avons propose une structure de donnees qui permet d'utiliser des techniques de program- mation bien connues en traitement des images. Nous avons presente une distance discrete applicable aux modeles cellulaires et nous avons montre qu'un grand nombre de methodes classiques de traitement des d'images pou- vaient ^etre adaptees aux modeles cellulaires comme, par exemple, le calcul d'histogramme, le ltrage lineaire, la croissance de regions ou la morphologie mathematique. Nous avons introduit un algorithme mettant en uvre des deformations homotopiques sur des modeles cellulaires. Nous avons precise quels etaient les points importants pour mener a bien une realisation d'un tel algorithme et mis en lumiere certaines possiblites d'optimisation.

C H A P I T R E

5

Conclusion

La modelisation d'une scene avec un modele cellulaire permet de repre- senter des objets ayant des dimensions locales variables. En particulier, il est possible de combiner, au sein du m^eme modele, des volumes et des sur- faces purement bidimensionnelles. Une telle modelisation n'est pas possible en utilisant des images classiques car elles reposent sur une decomposition de l'espace en voxels et ne permettent donc pas d'obtenir des structures vrai- ment bidimensionnelles. Cet avantage de modelisation est obtenu sans faire de compromis sur la qualite des images modelisables car le modele cellulaire respecte la structure de la grille cubique et ne necessite donc pas de re- echantillonnage de l'image pour la modeliser. De plus, en prenant en compte, au sein de notre modele, les elements de dierentes dimensions constituant la grille cubique nous nous sommes debarrasses de certains paradoxes to- pologiques existant dans les images classiques et necessitant d'utiliser deux connexites duales pour contourner ces paradoxes. Nous avons montre que cette absence de paradoxe topologique permettait la modelisation de scenes complexes comprenant plus de deux objets s'entrecroisant, ce qui est im- possible avec les images classiques. Le modele cellulaire ore donc une plus grande souplesse de modelisationsans pour autant compliquerles algorithmes qui lui sont applicables. Au contraire, le fait d'avoir une structure de graphe dont la connexite ne depend pas des etiquettes des nuds peut, dans certains cas, simplier les manipulations des images.

Nous avons utilise le modele cellulaire pour construire un modele homoto- piquement deformable, c'est-a-dire qui se deforme en preservant sa topologie initiale. Cette methode permet de benecier de la puissance de representation du modele cellulaire au sein d'un modele deformable. Il est donc possible de deformer conjointement et homotopiquementdes volumes, des surfaces et des structures laires. L'element de base de la deformation homotopique est la deformation homotopique elementairequi, par denition, ne change pas la to- pologie de la scene. Nous avons montre que la seule chose qu'il est necessaire

Conclusion

de conna^tre pour decider si une cellule etait homotopiquement deformable ou non est le voisinage de cette cellule. Nous avons ainsi obtenu un critere local de detection des deformations homotopiques elementaires qui est facile a implanter et rapide a calculer sur un ordinateur. Comme un modele cel- lulaire necessite de representer plus d'informations qu'une image classique, nous avons construit une structure informatique economique qui ne necessite pas de faire de compromis sur les performances des algorithmes en termes de temps de calcul. Le modele cellulaire homotopiquement deformable peut donc ^etre utilise dans toute application reelle ou l'on est confronte a des objets ayant des structures topologiques complexes comme, par exemple, la segmentation de la surface du cortex.

Pour utiliser le modele cellulaire homotopiquement deformable dans une application pratique, il est necessaire de le guider d'une condition initiale vers un resultat desire. Une maniere possible de guider le modele est d'utili- ser conjointement des informations provenant de l'image a segmenter et des informations sur la geometrie du modele pour le deformer vers le resultat desire. Nous avons mis au point une telle methode pour segmenter la surface corticale. La presentation de cette methode fait l'objet de la partie suivante.

Troisieme partie

Segmentation de la surface

corticale par modele cellulaire

C H A P I T R E

1

Introduction

Nous presentons dans cette partie la methode que nous avons mise au point pour modeliser et segmenter le cortex a partir d'une image IRM de la t^ete. Comme nous l'avons vu dans la partie I, le cortex joue un r^ole im- portant dans le traitement des donnees d'electroencephalographie (EEG) et de magnetoencephalographie (MEG); dans ce cadre, la methode que nous proposons vise plusieurs objectifs:

{ nous souhaitons obtenir une modelisation precise de la surface corticale prenant en compte les parties tres nes se trouvant dans les sillons et les((poches))de liquide cephalorachidien (LCR) a l'interieur des sillons;

{ pour permettre le positionnement et l'orientation des dip^oles interve- nant dans le probleme inverse en EEG/MEG en s'appuyant sur la geo- metrie profonde de la bande corticale;

{ fournir un modele qui autorise le calcul de distances geodesiques le long de la surface corticale an de permettre d'introduire des termes de regularisation dans le probleme inverse en calculant cette distance entre les dip^oles.

Pour produire un modele qui puisse atteindre ces objectifs, nous devons aronter plusieurs dicultes (voir partie I):

{ le cortex possede une structure geometrique complexe presentant de nombreux sillons qui ont une forte variabilite geometrique, notre me- thode doit donc ^etre capable de s'adapter aux geometries des dierents sillons;

{ les sillons forment une sorte d'arborescence de surfaces a l'interieur du cerveau, le modele que nous obtenons doit donc re eter l'arborescence profonde des sillons;

Introduction

{ les eets de volume partiel occultent, par endroits, la surface corticale quand les sillons sont tres etroits, nous devons donc mettre au point une methode permettant de detecter ces sillons etroits et ainsi construire um modele topologiquement correct de la surface corticale;

{ il n'y a pas que des structures surfaciques a l'interieur des circonvo- lutions, les sillons sont composes de surfaces (aux endroits ou les plis corticaux sont tres serres) et de volumes contenant du LCR; il nous faut donc, pour segmenter precisement la surface corticale, un modele qui puisse representer conjointement des structures ayant dierentes dimensions locales.

Nous presentons, dans le chapitre 2, les grandes lignes de la methode de segmentation que nous utilisons ainsi que les choix que nous avons faits pour traiter les dicultes posees par la segmentation du cortex et pour atteindre nos objectifs.

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2

Presentation de la methode

Dans le document Modélisation homotopique et segmentation 3D du cortex cérébral à partir d'IRM pour la résolution des problèmes directs et inverses en EEG et en MEG (Page 99-108)