Deformations simples et ensembles d'homotopie

Etant donne un grapheG = (E;V ), un objet du graphe est deni comme un element d'une partitionP de E. Ainsi, P represente une scene complete. Nous denissons la deformation d'une scene comme une bijection entre deux partitions de E. Dans ce cadre, une deformation ((minimale))consiste a de-

placer un element d'un objet A vers un objet B. Une telle deformation sera appelee une (A;B)-deformation. Une (A;B)-deformation est dite simple si elle ne change la topologie ni de A, ni de B ; elle est dite A-simple si elle change uniquement la topologie de B ; elle est dite B-simple si elle change uniquement la topologie deA et elle est dite non simple si elle ne preserve la topologie ni deA, ni de B (gure 3.15).

(a) (b) (c) (d) (e)

B A B A B A B A B A

Fig. 3.15 { Les dierents types de (A;B)-deformations. (a) Les objets A et

B. (b) Deformation simple. (c) Deformation A-simple. (d) Deformation B- simple. (e) Deformation non simple. (Pour simplier les illustrations, nous utilisons une representation sous forme de pixels et, quand il n'y a pas d'am- bigute topologique, nous supposons que tous les objets sont 8-connexes.)

Construction d'un modele cellulaire homotopiquement deformable

gie de tous les objets de la scene. Donc, l'ensemble des (A;B)-deformations simples pour tout A et B represente l'ensemble des deformations homoto- piques elementaires. L'ensemble de toutes les deformations homotopiques elementaires applicables a un element de E peut ^etre utilise pour denir les elements simples dans une scene composee de plusieurs objets:

Denition 3.17

: Etant donnes G = (E;V ) un graphe, P une partition E et Q un sous-ensemble non vide de P, alors un element e 2 E est dit

Q-simple si pour tout (A;B) 2QQ, toute (A;B)-deformation de e

est simple (gure 3.16).

A C B (b) (a) points {A,B}-simple points {A,C}-simple points {B,C}-simple points {A,B,C}-simple

Fig. 3.16 { Les points simples dependent de plusieurs objets. (a) Une scene avec trois objets. A et B sont consideres en 4-connexite (pour simplier l'illustration) et C est considere en 8-connexite. (b) Les points simples de la scene.

Comme Q est un sous-ensemble d'une partition P de E, il represente un ensemble d'objets. En d'autres mots, la denition 3.17 indique qu'un element de E est Q-simple si le faire appartenir a n'importe quel objet de Q ne modie pas la topologie de la scene. Une consequence immediate de cette denition est que l'union et l'intersection d'ensembles d'objets preservent la

((simplicite)):

Proposition 3.18

: 8e 2 E, 8Q  P, 8R  P, si e est Q-simple et e est

R-simple, alors e est (Q[R)-simple et e est (Q\R)-simple.

L'union de tous les ensembles Q  P (c'est-a-dire l'ensemble maximal)

tels que e est Q-simple, est appele l'ensemble d'homotopie de e et note He.

Cet ensemble denit entierementles proprietes d'homotopie d'un elementpar rapport a la scene completecar il contientexactementtous les objets auxquels e peut appartenir sans que la topologie de la scene ne soit modiee:

Proposition 3.19

: Etant donnes G = (E;V ) un graphe, P une partition de E et A et B deux elements de P, alors une (A;B)-deformation d d'un elemente A est simple si et seulement si B appartient a He.

3.3 Deformations homotopiques d'une scene composee de plusieurs objets

Preuve

: Sid est simple, alors e est fA;Bg-simple etB est donc dans He.

Reciproquement, supposons que B 2 He. Comme d est une (A;B)-

deformation,alorse2A avant la deformation car une (A;B)-deformation

deplace un elementdeA vers B. Une (A;A)-deformation ne modie pas la scene et preserve donc sa topologie. En consequence,He contientA.

Donc,A et B appartiennent a He. Ce qui implique,d'apres la denition

3.17, qued est simple car e est He-simple. 2

L'ensemble d'homotopie d'un element contient tous les objets auxquels un element peut appartenir sans changer la topologie de la scene. Ainsi, il contient au moins l'objet auquel il appartient dans la scene. S'il ne contient pas d'autres objets, aucune deformation homotopique ne peut ^etre appliquee a l'element. Au contraire, s'il contient plus d'un objet, l'element peut ^etre deplace vers n'importe lequel de ces objets sans changer la topologie de la scene. Donc, l'ensembled'homotopie d'un elementpeut ^etre utilisepour trou- ver toutes les deformations homotopiques de cet element. En consequence, les ensembles d'homotopie de tous les elements denissent l'ensemble des de- formations homotopiques applicables a la scene. Comme pour les elements simples dans une scene constituee de deux objets, la modication de la scene change ses proprietes d'homotopie et peut donc modier les ensembles d'ho- motopie de la scene. Il n'est donc pas possible, dans le cas general, de modi- er deux elements en parallele. Une deformation homotopique globale d'une scene doit ^etre faite en lui appliquant successivement des deformations homo- topiques elementaires. Deux scenes sont homotopiquement equivalentes s'il existe une suite de deformations homotopiques elementaires transformant la premiere scene en la seconde. Ainsi, les (A;B)-deformations simples sont la base de l'equivalence topologique. Comme il existe une equivalence entre l'ensemble de toutes les (A;B)-deformations simples et les ensembles d'ho- motopie (proposition 3.19), les deux peuvent ^etre utilises dans le cadre des deformations homotopiques. L'avantage de l'ensemble d'homotopie d'un ele- mente est qu'il permet de caracteriser toutes les deformations simples de e sans utiliser explicitement l'objet auquele appartient.

Les ensemblesd'homotopiesont plus generaux que les (A;B)-deformations simples car l'ensemble d'homotopie d'un elemente permet de trouver toutes les deformations simples dee, mais le contraire n'est pas vrai.

Dans le cas binaire, il est possible de caracteriser localement les elements simples. Ces derniers correspondent aux deformations homotopiques elemen- taires applicables a une scene composee de deux objets. Nous montrons dans le chapitre suivant qu'il est possible d'etendre la caracterisation locale des elements simples dans le but de caracteriser localement les deformations ho- motopiques elementaires ainsi que les ensembles d'homotopie d'une scene.

Construction d'un modele cellulaire homotopiquement deformable

Dans le document Modélisation homotopique et segmentation 3D du cortex cérébral à partir d'IRM pour la résolution des problèmes directs et inverses en EEG et en MEG (Page 82-85)