Représentations spatiale et temporelle

Le fluide parcourant la boucle peut être représenté selon deux façons:

• soit spatiale : c’est un point vue Lagrangien, on suit une particule de fluide le long du circuit selon l’axe x. A un instant donné, on est capable de donner toutes les valeurs de température suivant x. Ce point de vue est inaccessible en expérience puisqu’il nécessiterait un nombre infini de capteurs et ne peut être réalisé qu’en simulation.

• soit temporelle : c’est un point de vue Eulérien, on observe à un endroit donné du circuit la valeur locale de la température. On peut avoir accès, pour une position donnée, à l’historique de la température en ce point. Expérimentalement c’est le seul point de vue accessible aux travers des mesures thermométriques mais cependant seulement pour un nombre réduit de positions données.

Le passage d’une représentation à l’autre n’est pas trivial et dépend des évènements transitoires. Mais de manière générale, la lecture de l’axe temporel sera inversée par rapport à l’axe spatial comme illustré sur la Figure IV.4. Pour reconstituer le profil temporel à partir d’une abscisse de mesure, on s’oriente vers la provenance du fluide (à gauche ici) et on observe la température des points de plus en plus éloignés spatialement. Dans un cas réel, le temps que le fluide en �_� atteigne

���� , des perturbations (chauffages ou variations de pression) peuvent modifier les paramètres du

fluide.

Figure IV.4 Principe d’équivalence entre représentation spatiale et temporelle dans le cas d’un profil de température se déplaçant vers la droite sans perturbation le long d’une conduite

IV.2.3 Effet d’un chauffage sur la température d’une conduite d’hélium en convection forcée

Prenons l’exemple d’une conduite de longueur infinie soumise à un débit massique �̇ à laquelle on applique un créneau de chauffage homogène d’amplitude �̇, réparti sur une longueur � = �₁− �₀, pendant une durée ∆�_{�����} (Figure IV.5). Etant donné que le volume du système est infini, il n’y a pas de variation de pression mais uniquement de température. On négligera les effets d’inertie du fluide (débit d’hélium constant en tout point).

Figure IV.5 Application d’un chauffage sur une conduite infinie

Le fluide est échauffé tout en étant transporté le long du chauffage. Plus le temps passé dans le chauffage est important et plus il emmagasine de l’énergie et donc plus sa température augmente. La notion de puissance volumique �̇

� est plus appropriée pour rendre compte de l’échauffement du

fluide le long d’un chauffage réparti, comme c’est le cas sur HELIOS, et plus généralement sur les systèmes de type CICC. L’accroissement d’enthalpie acquis par une masse � de fluide, à une position �, et un instant � depuis le début du chauffage, s’écrit :

∆ℎ =∫ ∫ �̇� ����� � �0 ∆�������� � ( IV.2 )

Deux cas de figure se présentent (voir équation ( IV.3 ) ):

• si la durée du pulse ∆������ est supérieure au temps de transit dans le chauffage ∆��������

alors le fluide subit l’accroissement d’enthalpie maximal, soit celui à l’équilibre ∆ℎ = �̇

�̇

• si la durée du pulse ∆������ est inférieure au temps de transit dans le chauffage ∆��������

alors l’accroissement d’enthalpie dépend de la fraction de longueur de chauffage parcouru qui est équivalente au rapport ∆������

∆�������� ∆ℎ = ⎩ ⎨ ⎧ _�̇�̇ ∆������ ∆�������� �̇ �̇ Si ∆�_{�����}≥ ∆�_{�������} Si ∆�_{�����}<∆�_{�������} ( IV.3 )

L’élévation de température du fluide liée à ce gain d’énergie peut être calculée à l’aide d’HEPAK :

��1 =�(∆ℎ + ℎ���0,��, �) avec HEPAK ( IV.4 )

Dans la suite, l’élévation de température sera directement lié au ∆ℎ

D’un point de vue spatial, cet échauffement, si réparti de façon uniforme, se traduit par des profils de température à l’instant �₀+∆�_{�����} comme décrits sur la Figure IV.6 :

Figure IV.6 Profil spatial de température après l’application d’un chauffage à �_�+∆�_{�����}

D’un point de vue temporel, en se plaçant au point �₁, on distingue trois profils différents en fonction de la durée du chauffage (Figure IV.7). Et en l’absence de chauffage entre �₁ et �₂, le profil résultant en �₂ est un simple décalage temporel du profil en �₁ égal au temps de transit entre les deux point (∆�_�1−�2).

Figure IV.7 Profils temporels de température en �_� et �_� à �_�+∆�_{�����} après l’application d’un créneau de chauffage à

��

De cette analyse on déduit que, pour une même puissance appliquée et un même débit, le volume sur lequel est appliqué le chauffage, et donc la longueur du chauffage, va impacter de manière

importante le profil de température résultant. En effet, pour une longueur de chauffage très courte, et donc un ∆�_{�������} petit devant ∆�_{�����}, le fluide va rapidement atteindre sa température maximale, correspondante à celle d’un régime permanent donc indépendant de ∆�_{�����} à puissance donnée. A l’inverse, pour une longueur de chauffage importante, ∆�_{�������} grand devant ∆�_{�����}, cette température ne sera pas atteinte. La température sera alors proportionnelle à l’énergie injectée donc proportionnelle à ∆�_{�����} à puissance donnée.

Prenons l’exemple de deux chauffages de longueur L et 10 L sur lesquels est appliqué le même créneau de puissance réparti uniformément (Figure IV.8). La puissance linéique déposée est donc 10 fois plus faible pour le chauffage long. La durée du créneau de chauffage ∆�_{�����} est choisie supérieure au temps de transit associé au chauffage court (∆�₂) mais inférieure à celui du long (∆�₁). La quantité d’énergie déposée ∆� est la même dans les deux cas, mais n’est pas répartie sur la même masse de fluide : soit �̇ (∆�_{�����}+∆�₁) pour le chauffage long et �̇ (∆�_{�����}+∆�₂) pour le court. Ce dernier profil de température s’établit sur un temps plus court, mais possède une amplitude maximale plus élevée égale à �̇

�̇.

Figure IV.8 Influence de la densité de puissance sur le profil spatial de température à �_�+∆�_{�����}

Les effets de chauffage en série sont cumulatifs et l’accroissement d’enthalpie résultante sera la somme des effets de chacun des chauffages. Prenons l’exemple d’une configuration proche de celle d’HELIOS avec trois zones de chauffages séparées par des zones non chauffées, toutes de longueur identique (Figure IV.9). Le même créneau de puissance est appliqué simultanément sur chacune des zones. La durée du pulse est supérieure à ∆�₁₋₂ (temps de transit entre �₁ et �₂) de sorte que du fluide peut être chauffé par deux zones consécutives.

Figure IV.9 Application de trois chauffages consécutifs sur une boucle infinie

La Figure IV.10 illustre comment le profil temporel de température en �₆ peut être déduit de l’effet de chacun des chauffages. L’influence du chauffage 1 correspond au pic qui apparait en dernier en �₆ puisque c’est le chauffage le plus loin. Viennent ensuite respectivement les pics issus des chauffages 2 puis 3 qui sont les plus proches. Une partie du fluide chauffé en zone 1 (respectivement en zone 2) l’est également en zone 2 (resp. en zone 3) : il y a recouvrement des effets (intervalles grisés sur le graphique). Il est possible d’obtenir trois pics strictement distincts en appliquant le chauffage pendant une durée inférieure à ∆�₁₋₂.

Figure IV.10 Illustration de la combinaison des effets de chauffage sur la température en �_� pour une durée de pulse supérieure à ∆�_�−�. Les intervalles grisés correspondent aux instants où le fluide est chauffé par deux chauffages

consécutifs.