III.3 Modélisation d’HELIOS
III.3.1 Nouveaux composants
La librairie CRYOLIB contient de très nombreux composants permettant la mise en place de modèle dynamique de réfrigérateurs. Cependant l’expérience HELIOS possède une boucle en hélium supercritique, ce qui en fait une spécificité. Ce paragraphe décrit les nouveaux composants qui ont été développés pour HELIOS pour compléter la librairie. Il s’agit principalement de la conduite 1D avec prise en compte du transport, du circulateur d’hélium et d’une modification du séparateur de phase existant pour intégrer le double échangeur HX960.
III.3.1.1 Conduite 1D
La circulation forcée d’hélium supercritique dans la boucle génère des phénomènes de transport que doit prendre en compte le composant du modèle. L’approche doit être la plus simple possible afin de ne pas trop impacter le temps de calcul. Un travail précédent [75] a pu valider sur un cas simple une approche purement thermodynamique, avec un transport d’enthalpie basé sur un retard temporel. Cette approche permet de rendre compte du transport de l’hélium dans une boucle d’hélium supercritique soumise à une charge thermique et le composant Conduite 1D s’en inspire.
Le point de départ du composant est la conduite 0D déjà présente dans la librairie CRYOLIB (voir [68]). De façon générale, deux équations différentielles régissent le comportement de ce composant. La pression interne, identique dans toute la conduite, est calculée à l’aide de la densité, calculée à partir d’un bilan de masse ( III.1 ), et l’énergie interne massique, à partir d’un bilan d’énergie ( III.2 ). Un ΔP peut être calculé et appliqué aux bornes du composant.
�����
=�̇
��− �̇
��� ( III.1 )��
�� ��+�
��
�� �=
�̇
��ℎ
��− �̇
���ℎ
���+�̇
( III.2 )Par définition un élément 0D ne peut pas créer de phénomène de transport puisqu’il est limité à un comportement de type inertiel. Chaîner un grand nombre de ces composants ne permet pas non plus de retrouver un comportement 1D du fait de la dissipation très rapide qu’entraîne un tel schéma : en effet une variation d’une entrée se traduit instantanément par une variation de la sortie, modérée par l’inertie du système.
Pour transformer cet élément 0D en élément 1D discrétisé en N nœuds, plusieurs hypothèses vont être faites:
• La conduction thermique axiale de l’hélium est négligée. En effet à 5 bar et 4.5 K la conductivité thermique de l’hélium est de 0.022 W.m-1.K-1, soit l’ordre de grandeur des isolants utilisés dans le bâtiment. Le seul vecteur du transport axial de chaleur est donc le débit.
• La pression, comme dans une conduite 0D, est identique en tout point.
• La perte de charge le long de la conduite est négligée (cas HELIOS) et crée entre deux conduites par le biais d’un élément hydraulique. La transformation isenthalpique qui résulte de la détente n’est donc pas considérée dans les équations de la conduite 1D.
• Les variations de pression de la boucle engendrent des transformations adiabatiques et réversibles. Adiabatique puisque les canalisations sont supposées isolées sauf au niveau des échangeurs de chaleur et des chauffages en fonctionnement. Et réversible, puisque lorsque qu’un volume d’hélium est comprimé puis détendu de la même façon au cours d’une variation de pression, sa température retrouve une valeur identique. La transformation est donc assimilée à une isentrope.
• La transformation de l’hélium soumis à une variation de pression et à un chauffage est décomposée en deux transformations distinctes : une variation de pression isentropique et un transport isobare avec éventuellement un échange de chaleur.
• Les effets des parois des conduites sont négligés (le Cp de l’hélium étant 3 ordres de grandeur plus grand que celui de l’acier inoxydable : 4.103 contre 2.12 J.kg-1.K-1)
• Puisque que l’approche utilisée est purement thermodynamique, on supposera que le débit à l’intérieur de la conduite est constant et égal à celui de l’entrée.
Puisque l’entropie est conservée, c’est cette grandeur qui est transportée d’un nœud à l’autre. L’équation de transport la plus simple est une équation linéaire d’évolution du premier ordre :
��
��+
1
�
��
��
= 0
( III.3 )L’équation ( III.3 ) peut donc être discrétisée de la façon suivante:
�
�+1(�) − �
�(�)
∆�
+
1
�
�
�(�) − �
�(� − ∆�)
∆�
= 0
( III.4 ) Par définition =Δ�Δ� , et donc finalement on obtient l’équation de transport simplifiée :
�
�+1(�) = �
�(� − ∆�)
( III.5 )Cependant le calcul de l’enthalpie est nécessaire, d’une part comme variable de port du composant, et d’autre part comme intermédiaire de calcul pour la puissance injectée. Il faut donc calculer l’enthalpie à chacun des nœuds et on utilisera pour cela deux variables thermodynamiques indépendantes que sont la pression et l’entropie. L’enthalpie du nœud i+1 à l’instant � ( III.6 ) est calculée à l’aide de l’entropie du nœud i à l’instant � − ∆� avec la pression à l’instant � issue des équations ( III.1 )et ( III.2 ). La Figure III.3 résume le mécanisme de calcul. ∆� représente le temps de transit du fluide entre le nœud i et i+1 ( III.7 ) égal au rapport entre la masse d’une maille et le débit massique entrant dans la conduite.
ℎ
�+1(�) = ℎ(�(�), �
�+1(�)) = ℎ(�(�), �
�(� − ∆�))
( III.6 )∆� =�̇�
����������
(� − 1)
( III.7 )Figure III.3 Schéma de transport de la conduite 1D
Pour prendre en compte les apports de chaleur des chauffages et des pertes thermiques (non adiabatique) on choisit un chemin thermodynamique composé d’une compression (ou détente) adiabatique et d’une transformation isobarique où un flux thermique
�̇
est appliqué (Figure III.4). L’équation ( III.6 ) devient alors :ℎ
�+1(� + ∆�) = ℎ��(� + ∆�), �
�(�)� +�̇
�̇
��(� − 1)
( III.8 )
Figure III.4 Décomposition de la transformation de l’hélium dans le cas d’une compression
L’équation ( III.8 ), implémentée dans le modèle de la conduite 1D,décrit donc assez simplement le transport de l’hélium supercritique de la boucle en convection forcée, soumise à des variations de pression et des échauffements.
III.3.1.2 Circulateur froid
Les équations du composant circulateur froid sont inspirées du composant compresseur froid présent dans la librairie. Cet élément va calculer les débits entrant et sortant ainsi que l’enthalpie massique de sortie. C’est un composant possédant une courbe caractéristique adimensionnelle permettant de calculer le débit en fonction des pressions entrée/sortie et d’une vitesse de rotation. L’enthalpie de sortie est calculée grâce à des courbes de rendement. Ces différentes données sont issues des données expérimentales précédemment présentées (voir II.2.3.3).
Dans la pratique, la courbe caractéristique est limitée à sa partie monotone, de sorte qu’à partir d’un ΔP réduit il n’existe qu’un unique débit réduit (Figure III.5). La fonction � = �(Ψ) est tabulée et � est obtenue par interpolation linéaire. Les données (Tableau III.1) sont issues de l’interpolation quadratique des données expérimentales présentées dans le Chapitre II.
Tableau III.1 Caractéristique du circulateur utilisée pour le modèle
� 0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3
Ψ 0.715 0.714 0.707 0.692 0.668 0.634 0.591 0.539 0.478 0
Figure III.5 Calcul du débit du composant circulateur
Le rendement polytropique est calculé à partir d’un tableau de valeurs expérimentales qui est interpolé linéairement selon la vitesse et le débit réduit. Ce rendement tient compte des pertes thermiques statiques du circulateur.
Le calcul de l’enthalpie de sortie en fonction du rendement est calculé selon ( III.9 ):
ℎ
���=ℎ
��+ℎ(�
��,�
��)− ℎ
������� ( III.9 )
III.3.1.3 Bain 0D
L’élément 0D du bain présent dans la librairie est un séparateur de phase possédant un échangeur de chaleur parfait (température de sortie égale à la température du bain). La modification consiste à rajouter un second échangeur identique au premier et à modifier légèrement la règle d’échange. Quel que soit le débit à l’intérieur des échangeurs à contrecourant d’HELIOS, on fait l’hypothèse d’un échange avec un faible ΔT résiduel constant: la température en sortie d’échangeur est égale à la température du bain à un écart statique près (équation ( III.10 )).
�
�����=
�
����+�
( III.10 )Avec Δ� = 0.05 �, en accord avec les données expérimentales.
L’élément « échangeur de chaleur » calcule donc l’enthalpie de sortie connaissant la pression d’entrée et la température du bain. Le débit est supposé constant.
Le fonctionnement du bain (détaillé dans [68]) est très similaire à la conduite 0D et les équations ( III.1 ) et ( III.2 ) permettent de calculer la pression, l’énergie interne et la masse du volume. En
calculant le titre via u et P, il est possible de remonter au niveau de liquide dans le bain (connaissant la géométrie du réservoir) et aux enthalpies du liquide et du gaz.