#-1 est l’inverse du coefficient de rendement (muscles et chaîne de transmission de l’effort).
Le rendement métabolique (rapport de l’énergie mécanique produite par les muscles à l’énergie contenu dans les aliments ingérés) est de l’ordre de 0,25 (Cycling performance
tips, 1999). Environ 10% de l’énergie ingérée serait utilisée pour la digestion. 60% est
utilisée dans la transformation dans les muscles des nutriments issus de la digestion (glucose) en ATP (adénosine triphosphate). Le reste de l’énergie perdue est la perte mécanique au niveau de la contraction musculaire.
Le rendement mécanique de la bicyclette est supérieur à 95%, mais dépend de l’entretien des parties en mouvement: chaîne, pédalier, roue libre, moyeux. Martin et al. (1998, p.291) donnent une valeur de 97,6% pour un vélo de course en parfait état.
Résistance de l’air
Pair est la consommation énergétique pour vaincre la résistance de l’air11 :
Pair =
µ
2
.S.Cx.v.(v-vvent)2.signe(v-vvent), (R2) avec
µ : masse volumique de l’air ;
S : surface frontale du cycliste et de son engin ;
Cx : coefficient aérodynamique de trainée du cycliste et de son engin ; v : vitesse du cycliste ;
vvent : composante algébrique de la vitesse du vent dans la direction du cycliste.
11En aérodynamique, le coefficient de trainée Cx est défini par la relation liant la force de trainée Rx à la vitesse relative par rapport à l’air vr: Rx=
µ
2
.S.Cx.vr2, force qui s’exerce dans la direction de vr, et en sens opposé. Auxrégimes d’écoulement auxquels un cycliste est soumis, le coefficient de trainée est relativement constant et ne dépend que de la position du cycliste et de l’aérodynamique de ses équipements. La puissance consommée par la force de trainée est le produit scalaire Pair = Rx.v.
Figure 1. Puissance consommée pour vaincre la résistance de l’air.
Cette formule est une courbe du troisième degré réfléchie à v=vvent par rapport à la vitesse du cycliste, avec les points remarquables suivants (figure 1) :
- à vitesse du cycliste nulle, le vent (s’il y en a) exerce une force non nulle sur le cycliste, mais ne lui coûte aucune dépense énergétique ;
- à vitesse du cycliste égale à celle du vent, le vent n’exerce aucune force sur le cycliste, ce qui ne lui demande aucune puissance ;
- à vitesse du cycliste égale au tiers de la vitesse du vent, le vent fournit au cycliste une puissance maximale
2µ
27
.S.Cx.vvent3 ;- à puissance développée par le cycliste donnée, et hors autres effets développés ci-dessous, la vitesse atteinte contre le vent est inférieure à la vitesse atteinte dans le sens du vent (résolution de l’équation (R2) du troisième degré en v).
Pour être plus précis, la rotation des rayons dans l’air engendre une résistance aérodynamique supplémentaire (ce pour quoi certains vélos de course ont des roues lenticulaires). J.C. Martin et al. (1998, p.291) estiment dans un cas étudié en soufflerie que cet effet correspond à un supplément de maître-couple S.Cx de 0,0044 m2, soit moins de 2% du maître-couple du cycliste et de son vélo de 0,2565 m2.
Exemple : vvent=0, v=20 km/h, S=0,5 m2, Cx=0,812, µ=1,293 kg.m-3, alors Pair = 44,3 W. Avec une même puissance, et une vitesse du vent de vvent=20 km/h (ce qui est un vent fort), on a contre le vent v=9,3 km/h, et dans le sens du vent v=35,1 km/h.
Résistance au roulement
Proute est la consommation énergétique pour vaincre la résistance de la chaussée : Proute=r.(m+M).g.v, (R3) avec
r : coefficient de résistance au roulement ou coefficient de friction ;
12Un Cx de 0,8 est celui d’un cylindre perpendiculaire au flux d’air. Mariot (1994) donne des valeurs de S.Cx comprises entre 0,36 m2 pour un cycliste couché sur le guidon à 0,43 m2 pour un cycliste bras tendus. Martin et al. (1998, p. 291) donnent une valeur (pour un vélo de course) de 0,26 m2
m : masse de la bicyclette et des bagages ; M : masse du cycliste ;
g : accélération de la pesanteur.
Nous pouvons modéliser le coefficient de résistance au roulement par :
r= r 0+ ki.ei li i
"
# $ % & ' ( (R4) avecr0 : résistance au roulement sur chaussée parfaitement lisse ; ei : épaisseur d’un défaut de chaussée de type i ;
li : distance séparant les défauts de chaussée de type i ;
ki : coefficient d’absorption d’énergie des défauts de chaussée de type i .
Le premier terme correspond à l’écrasement des pneumatiques sur chaussée parfaitement lisse. Le deuxième terme représente la perte d’énergie dans les défauts de chaussée allant du grain de sable au nid-de-poule.
Exemple : m+M=85 kg, g=9,81 m.s-2, v=20 km/h, r0=0,005, k1=0,5, e1=1 cm, l1=100 cm, alors le premier terme vaut 23,2 W, et le second 23,2 W, soit en tout à peu près autant que la puissance nécessaire pour vaincre la résistance de l’air. On voit que l’état de la chaussée peut sérieusement dégrader le bilan énergétique du cycliste.
Altigraph (1985) donne pour un poids cycliste+vélo de 85 kg à la vitesse de 20 km/h, une puissance consommée dans les frottements de 46 W, avec un barème proportionnel au poids et à la vitesse comme dans la formule (R3).
Le tableau 313 fournit d’autres données de résistance au roulement des pneumatiques, de 2,1 à 3,5 newtons, soit pour une vitesse de 20 km/h, de 11,7 à 19,4 W.
Tableau 3. Résistance au roulement des pneumatiques
pression kgf/cm2 résistance au roulement grammes-force
3.5 356 4.0 322 4.5 298 5.0 279 5.5 265 6.0 255 6.5 244 7.0 238 7.5 231 8.0 222 8.5 216 9.0 213 Source : <hardcore-bicycle-science>.
Selon Nicolas Mercat (1999), le coefficient de friction pour un vélo de course dont les pneumatiques sont gonflés à 6 bars serait de r=0,00375, ce qui correspond pour un poids cycliste + vélo de 85 kg à 3,1 N, et pour une vitesse de 20 km/h à une puissance
13 OrigamiTB@aol.com, dans un message du 22 juillet 1998 trouvé sur la liste de discussion <hardcore-bicycle-science> dont les archives se trouvent à http://cycling.org/lists/hardcore-bicycle-science/, a développé plusieurs modèles de résistance des pneumatiques (« parsimonious tire rolling-resistance models »). Ces modèles s’appuient sur des données fournies par Jobst Brandt <jbrandt@hplabsz.hpl.hp.com> dans des messages sur cette même liste du 28 juillet 1997 et précédemment. Elles concernent des pneumatiques de type: S/Turbo/LR, de largeur nominale : 25 mm, de largeur mesurée : 21.4 mm, de poids mesuré : 234 g.
de 17,4 W. Mais il insiste sur l’importance de la qualité du revêtement (gravillon, chaussée mal réparée, plaques d’égouts saillantes ou trop enfoncées, revêtement trop rugueux, défauts de planéité) qui peut considérablement affecter la dépense énergétique du cycliste.
J.C. Martin et al. (1998) donnent (pour un vélo de course) une valeur du coefficient de friction de r=0,0032, soit une puissance de 23,6 W à 30 km/h. De surcroît, ils expriment les pertes par frottements dans les roulements des roues par la formule :
Proulements = v.(91+8,7v)10-3 (R5)
Cela représente moins de 6% de la résistance au roulement, soit 1,4 W à 30 km/h.
Pesanteur
L547, près de Hallstatt, Autriche, 27/08/2010 Photo Francis Papon
Ppente est la consommation énergétique pour vaincre les dénivellations : Ppente=a.(m+M).g.v, (R6) avec
a : pente algébrique.
Si la pente a est négative (descente), il s’agit alors bien sûr d’une puissance fournie au cycliste.
Exemple : m+M=85 kg, g=9,81 m.s-2, v=10 km/h, a=2%, alors Ppente=46,3 W. On voit aussi en comparant avec les exemples de Pair et Proute, que gravir une dénivellation de 19,5 mètres représente à peu près autant d’énergie que de parcourir 1 kilomètre sur le plat à 20 km/h sans vent et sur chaussée dégradée selon l’exemple ci-dessus.
Dynamique
Paccélération est la consommation énergétique nécessaire pour accélérer le véhicule : Paccélération= (m+M+2z.mroue).$.v, (R7) avec :
$ : accélération algébrique ;
z : rapport du rayon moyen de la roue à son rayon extérieur ; mroue : masse d’une roue.
La masse totale en mouvement intervient dans l’accélération longitudinale. La masse des roues intervient une nouvelle fois dans le mouvement de rotation (ce qui est assez marginal mais incite les coureurs cyclistes à s’intéresser plus particulièrement au poids des roues).
Si l’accélération $ est négative (décélération), il s’agit alors bien sûr d’une puissance fournie au cycliste.
Exemple : m+M=85 kg, $=0,2 m.s-2, v=10 km/h, mroue= 0,7 kg, z= 0,97 alors Paccélération=47,6 W.
Un cycliste qui démarre avec une puissance constante P0, et en négligeant les autres forces, est soumis à l’équation différentielle : P0=(m+M).$.v (R8),
soit en intégrant par rapport au temps t : v= 2P0.t
L’énergie cinétique
1
2(m + M)
.v2 d’un cycliste de m+M=85 kg roulant à v=20 km/h, soit 1312 J, correspond à l’énergie nécessaire pour parcourir environ 80 mètres sur le plat à 20 km/h sans vent et sur chaussée dégradée. Autrement dit, pour ce cycliste, s’arrêter équivaut à un détour de 80 mètres, et l’on comprend l’obstination des cyclistes à maintenir leur vitesse.
D’ailleurs Nicolas Mercat (1999) calcule un coût de l’arrêt de 139 mètres pour un poids total m+M=80 kg, une vitesse de 20 km/h, une chaussée de bonne qualité, et des pneumatiques de bonne qualité, pour une énergie cinétique de 1929 J. Cela explique que les cyclistes préfèrent les voies prioritaires, et ignorent souvent les stops et feux rouges.
Pfrein est la consommation énergétique dissipée par les freins. Bien sûr, le cycliste ne pédale pas en freinant en même temps, et cette consommation énergétique (plus la puissance dissipée dans la chaussée) est alors compensée exactement par l’énergie fournie par la décélération, la pente, et le vent.
Jacques Esther (1995) a réalisé une étude plus fouillée de la dynamique d’une bicyclette, notamment de sa stabilité, de sa tenue de route et de sa capacité de freinage. En particulier, le freinage –$ est limité par l’adhérence de la chaussée f, et si g est l’accélération de la pesanteur, on a $ ! –fg. Sur route sèche, f est compris entre 0,8 et 0,9. Sur route mouillée f descend à 0,5. Sur du sable ou des gravillons f ne vaut plus que 0,3. Sur du verglas f atteint à peine 0,1. Le freinage est également plus limité en virage.
Accessoires
Paccessoires est l’énergie consommée par les accessoires de la bicyclette, notamment la dynamo qui alimente l’éclairage de nuit. Cette puissance est proportionnelle à la vitesse, et une valeur de l’ordre de 15 W à 20 km/h, ou 15% de la puissance consommée semble être l’ordre de grandeur.
Bilan
La puissance totale P fournie par le cycliste est bien sûr positive ou nulle. Elle est nulle quand le cycliste ne pédale pas et les autres composantes algébriques de la puissance totale se compensent.
Si le cycliste pédale, on voit que sa vitesse dépend beaucoup de différents facteurs : vent, état de la chaussée, pente, accélération. Par exemple, pour une puissance utile de 67,5 W (environ 0,09 cheval-vapeur), soit, si on admet #=0,25, une dépense énergétique de 270 W (ou 235 kcal/h), la vitesse obtenue peut être très différente suivant les conditions comme le montre le tableau 4.
Tableau 4. Vitesse atteinte par un cycliste développant 67,5 W utiles suivant les conditions
Vent (km/h) Etat de la chaussée Pente (%)
Nombre d’arrêts par km Vitesse moyenne (km/h) sans parfait 0 0 20,0 - 20 parfait 0 0 10,7 + 20 parfait 0 0 32,8 sans dégradé (1cm/100cm) 0 0 17,2 sans parfait 2 0 10,6 sans parfait 0 5 14,1 -20 dégradé (1cm/100cm) 2 5 6,1
Cette dépense énergétique de 235 kcal/h (pour une puissance utile de 67,5 W) correspond à un effort très modéré, comparable à la marche ordinaire, et peut facilement être multipliée par 3 lors d’un exercice sportif. Altigraph (1985) évoque pour des cyclistes sportifs des puissances utiles de 100 à 500 W. Le record de l’heure sur piste, de 56 km/h, correspondrait à une puissance de plus de 1000 W, si le maître-couple S.Cx était le même, ce qui est douteux. Mais le cycliste urbain de base (enfant de 12 ans allant à l’école, ménagère de 55 ans allant faire ses courses, facteur, etc...) doit rarement dépasser les 100 W utiles...
On voit que la vitesse coûte très cher en énergie au cycliste, à cause de la résistance de l’air dont la consommation énergétique est comme le cube de la vitesse. Le poids intervient peu, sauf dans les dénivellations. C’est ce que montre le tableau 5 suivant. Sur le plat, la ménagère de 55 ans verra son temps de parcours allongé d’un peu plus d’un quart par rapport à l’enfant de 12 ans, à puissance égale. Mais dans une côte de 5%, sa vitesse sera réduite de moitié par rapport à l’enfant, ce qui l’obligera à marcher. La multiplication par quatre de la puissance de l’ouvrier par rapport à la ménagère ne fait que doubler sa vitesse sur le plat.
Tableau 5. Vitesse moyenne atteinte par un cycliste en fonction de sa puissance et de son poids
Cycliste Sans vent, chaussée dégradée, plat, 2 arrêts par km
Sans vent, chaussée dégradée, pente de 5%, 2 arrêts par km Enfant de 12 ans allant à l’école :
m+M=50 kg, SCx=0,30, Pu=50 W
16,2 km/h 5,9 km/h
Ménagère de 55 ans avec achats : m+M=100 kg, SCx=0,48, Pu=50 W
11,7 km/h 3,0 km/h
Ouvrier sportif allant au travail : m+M=100 kg, SCx=0,40, Pu=200 W
23,6 km/h 11,3 km/h
Champion sportif : m+M=75 kg, SCx=0,30, Pu=400 W
34,8 km/h 23,9 km/h
D’après les formules de calcul décrites plus haut.
Le tableau 2 donnait des consommations énergétiques un peu plus élevées. On voit que cette consommation suivait approximativement une loi en M.v2, ce qui est un peu différent de ce que nous avons écrit plus haut (puissance pour vaincre la résistance de l’air en v3). En fait, ces consommations énergétiques sont compatibles avec les puissances utiles données par nos formules décrites plus haut, ou par Altigraph (1985), avec un coefficient de rendement de l’ordre de 0,2.
Tableau 6. Consommation énergétique par kilomètre de différents moyens de transport
Mode Consommation (MJ/voy-km) Référence
Bicyclette 0,035 The Royal Commission
Bicyclette M=68 kg 0,042 Ivan Illitch Bicyclette enfant de 12 ans 0,044 tableau 5 Bicyclette ménagère de 55 ans 0,061 tableau 5
Bicyclette sportif v=28km/h M=68 kg 0,078 Cycling performance tips
Bicyclette sportif v=19,2 km/h M=70 kg 0,085 tableau 2 Bicyclette sportif v=28 km/h M=70 kg 0,108 tableau 5 Bicyclette ouvrier sportif 0,122 tableau 5
Marche 0,140 The Royal Commission
Marche M=68 kg 0,212 Ivan Illitch
Marche ou course à pied M=68 kg 0,336 Cycling performance tips
RER 0,79 Ademe
Métro Paris 0,81 Ademe
Train de banlieue 0,88 Ademe Autobus RATP 1,00 Ademe Autobus de banlieue 1,11 Ademe Voiture particulière 2,58 Ademe
Voiture particulière 2,8 The Royal Commission
Les valeurs pour les transports collectifs et la voiture particulière tiennent compte des taux d’occupation moyens réels.
Quelles que soient ces incertitudes, la bicyclette est le moyen de transport urbain le plus économe en énergie : 4 fois moins que la marche, 23 à 32 fois moins que les transports collectifs, 80 fois moins que l’automobile, selon The Royal Commission (1985, p.55) et l’Ademe. Le tableau 6 compare différentes valeurs. Le chiffre de The Royal Commission (1985) pour la bicyclette paraît faible : elle correspond selon nos formules à un cycliste de 70 kg roulant avec un vélo de 15 kg sur une chaussée non dégradée à 15 km/h, sans pente, ni vent, ni arrêts, et développant 36 W utiles. Cela correspond à peu près d’ailleurs à la puissance développée par le piéton cité par la même source qui se déplacerait à 4 km/h.