3.2 Caractérisation de la Corrélation d’Images Numériques (CIN)
3.2.2 Relation entre résolution et résolution spatiale
Pour toutes les techniques de mesure, l’amélioration de la résolution a pour conséquence une dégradation de la résolution spatiale. Cette relation a plus ou moins d’importance et d’impact en fonction de la technique et de l’étude. Néanmoins, dans le cas des techniques de mesure de champs, elle prend toute son importance et il s’agit alors d’établir le meilleur compromis.
Résolution spatiale en déplacement
Le traitement de corrélation par CORRELILM T menant aux champs de déplacements, im-
plique l’application d’un algorithme d’inter-corrélation et d’une procédure d’interpolation subpixel.
1. L’algorithme d’inter-corrélation traite, lors d’une première approximation, l’ensemble des pixels de la ZOI de manière équivalente, Fig.3.7.
2. Afin de préciser la mesure du déplacement, une interpolation locale des niveaux de gris utilise les pixels autour du point de la mesure, Fig.3.7. Ainsi, par itération, les pixels autour du point de mesure, i.e. centre de la ZOI, auront plus d’influence dans le poids de la mesure que ceux aux bords de la zone.
Cette schématisation de l’algorithme de corrélation, Fig.3.7, peut être approximée par une Gaussienne centrée dont la valeur à mi-hauteur vaut 2n−1. Pour un niveau de confiance à
Algorithme d'inter-corrélation Algorithme d'interpolation Niveau 1 Niveau 2 Niveau 3 Niveau 4 0 2n-1
Fig. 3.7 – Représentation schématique de l’application de la procédure de corrélation pour la détermination de la résolution spatiale en déplacement.
95%, i.e. 2 écarts-types, la largeur relative correspond à la taille de la ZOI, i.e. 2n. Ainsi,
on considère que la résolution spatiale en déplacement correspond à la taille de la ZOI. L’application de la formulation Eq.2.10 n’apporte pas de changement étant donné que seul un algorithme, combinant l’inter-corrélation et l’interpolation, est utilisé, Eq.3.8.
RSCINdep = 2
n (3.8)
Champs de déplacement
L’Eq.3.6 montre que le plus petit déplacement mesurable de U est obtenu pour la plus petite différenciation de texture possible sur une image (i.e. 1 niveau de gris) et la plus haute sensibilité. En effet, ce déplacement peut être approximé par l’Eq.3.9.
Umin ∝ Smax =
1 ∇fmax
(3.9)
Smax est représentatif de la valeur inverse du gradient maximum des niveaux de gris de
l’image. Ainsi la résolution en déplacement peut être évaluée par Eq.3.9, laquelle doit prendre en compte le bruit expérimental de la mesure.
Pour évaluer ce dernier, on utilise plusieurs images de l’état de référence de l’expérience menée. Les conditions expérimentales doivent être les mêmes pour ces différentes images (e.g. luminosité, expérimentateur, éprouvette, machine, procédure etc.). On soustrait deux à deux les images pour obtenir des champs de bruit, e.g. cinq images d’un état permettent l’obtention de dix champs de bruit. Ces derniers sont traités afin de connaître le nombre de niveaux de gris moyens, noté NGb, qui est relatif au bruit expérimental. D’après Eq.3.9 et Eq.3.7, le déplacement global minimum correspond alors à l’Eq.3.10.
Umin ∝
1 (NGt − NGb)
(3.10)
Cette valeur correspond à la limite basse à partir de laquelle il est impossible de savoir si les variations sont dues au bruit expérimental ou à l’état mécanique de l’objet étudié. Ainsi,
pour les images de la Fig.3.6, la résolution en déplacement correspond à 2, 46 × 10−4 pixel
(a) et 4, 27 × 10−3 pixel (b).
Cependant, l’intérêt de l’utilisation de la corrélation d’images numériques consiste en l’ob- tention d’un champ de mesure. Ceci implique le traitement des imagettes (ZOI) et non de l’image dans sa globalité. Pour évaluer la résolution en déplacement, on analyse donc le traitement par CORRELILM T des images à l’état de référence. Cette procédure permet de
prendre en compte à la fois le bruit expérimental et celui correspondant à l’algorithme de corrélation. Les résultats sont variables en fonction de la taille de ZOI choisie. Ceci établit la relation entre résolution et résolution spatiale. Dans le cas des images de la Fig.3.6, la résolution en fonction de la résolution spatiale est détaillée Tab.3.2. Cette résolution est déterminée par le calcul de la moyenne des écarts-types des 10 cartes de déplacements de la séquence analysée.
Tab. 3.2 – Relation entre résolution en déplacement et résolution spatiale pour les images de la Fig.3.6.
C8 C8 C12 12
n Résolution Spatiale Résolution Résolution Résolution Résolution
(px) (px) (µm) (px) (µm)
4 16 8, 4 × 10−3 142 4, 3 × 10−2 0, 033
5 32 8, 3 × 10−3 141 2, 3 × 10−2 0, 018
6 64 8 × 10−3 136 1, 3 × 10−2 0, 011
7 128 7, 1 × 10−3 120 7, 1 × 10−3 0, 005
On observe que le niveau d’observation macroscopique permet l’obtention d’une meilleure résolution (en pixel) que dans le cas microscopique car l’amplitude du bruit est amplifiée par l’échelle d’observation. Si on reporte cette résolution en déplacement à la taille réelle d’un pixel (i.e. 17 mm/px pour (a) et 0, 78 µm/pixel pour (b)), les performances de résolution vont naturellement au niveau d’observation microscopique.
Champs de déformation
Les mesures de déformations sont établies en utilisant le tenseur du gradient des déforma- tions F liant un vecteur infinitésimal dX dans l’état de référence à celui de l’état déformé dx, Eq.3.11.
dx = F.dX (3.11)
Ainsi, le tenseur F peut être lié au gradient des déplacements ∇u par l’Eq.3.12.
F = 1 + ∇u (3.12)
Dans le cas des mesures Lagrangiennnes, elles peuvent être exprimées en utilisant le tenseur des déformations Em, Eq.3.13.
Em= 1 2m(Bm− 1) pour m = 0 1 2. ln(B) pour m → 0+ (3.13)
où B =t F.F est appelé le tenseur des déformations droit de Cauchy-Green, 1 est le
tenseur unité du second ordre, et t l’opérateur transposé. Quant m = 1, on obtient le
tenseur des déformations de Green-Lagrange et pour m = 1
Quand l’amplitude du mouvement de corps rigide est petite, toutes les mesures convergent vers le tenseur infinitésimal des déformations défini Eq.3.14.
ǫ= 1
2(∇u +
t∇u) (3.14)
Différents algorithmes sont disponibles sous CORRELILM T :
– Les déformations infinitésimales correspondant à la partie symétrie du gradient de dé- placement, Eq.3.14 ;
– Les déformations nominales ou de Cauchy-Biot correspondant au tenseur des déforma- tions Eq.3.13 pour m = 1
2;
– Les déformations de Green-Lagrange correspondant au tenseur des déformations Eq.3.13 pour m = 1 ;
– Les déformations suivant l’algorithme développé par Geers et al. [60].
Les développements théoriques sont entièrement basés sur les déformées bi-dimensionnelles dans le plan. La mesure des déformations par les tenseurs de déformations classiques sont du type ∂x
∂X, obtenue d’après le problème Eq.3.11. Dans le cas de l’algorithme développé
par Geers et al., le développement en série est poussé à un ordre supérieur pour obtenir une information sur le gradient de déformation. Si pour la détermination du tenseur F deux points suffisent, celle du tenseur des gradients de déformation relatif à 8 compo- santes nécessite au minimum 6 points, Fig.3.8.
0 4 1 1 1 1 2 2 2 2 4 2 2
Fig. 3.8 – Représentation schématique de l’algorithme de Geers et al. de dérivation pour la détermination de la résolution spatiale en déformation.
L’utilisation de plus de points implique une diminution du bruit grâce à l’effet de lissage induit. Par contre, ceci implique une plus grande portée et donc une augmentation de la résolution spatiale en déformation.
Afin de comparer les performances des différents algorithmes de dérivation numérique, on utilise une séquence d’images dont les déformations sont nulles. Ces images traitées par corrélation, puis par dérivation numérique grâce à chacun des algorithmes, permet de
comparer la résolution en déformations, Tab.3.3. La résolution en déformation est évaluée par l’analyse des champs d’une séquence d’images prises pour un état mécanique identique. Cette séquence est traitée par le logiciel de corrélation puis par dérivation numérique, donc les résultats fournissent des cartes de déformations dont les composantes devraient être nulles. La détermination de l’écart-type de ces cartes fournit la valeur de la résolution en déformation. Ceci montre bien que l’algorithme de Geers et al. [60] permet une plus faible
Tab. 3.3 – Comparaison des performances des différents algorithmes de dérivation numérique.
C8 C12
Algorithme Résolution (a) Résolution (b)
Infinitésimale 8, 40 × 10−4 4, 3 × 10−3
Nominale 8, 32 × 10−4 2, 3 × 10−3
Green-Lagrange 8, 01 × 10−4 1, 34 × 10−3
Geers et al. [60] 7, 15 × 10−4 7, 1 × 10−4
dispersion des résultats et ainsi une meilleure résolution sur les cartes de déformation. La totalité des cartes de déformation obtenues par la suite utilise la dérivation numérique par l’algorithme de Geers et al.
Détermination de la résolution spatiale en déformation
Il s’agit maintenant de déterminer l’impact de l’algorithme de dérivation associé à la mesure de déformation. La résolution spatiale est donc différente en fonction du type d’algorithme utilisé.
Pour les tenseurs de déformations suivant : infinitésimal, nominal et Green-Lagrange ; la fonction de dérivation est identique et s’effectue sur les Mn points de mesure suivant les
directions principales n. La résolution spatiale de l’algorithme correspond alors à la distance entre les points de mesure les plus extrêmes, i.e. ∆P.Mn. L’application de l’Eq.2.10 permet
alors l’établissement d’une formulation pour l’algorithme de corrélation CORRELILM T
associé à une dérivation classique correspondant à Eq.3.15.
RSGL=
(2n)2+ ((M
n− 1).∆P )2 (3.15)
Prenons le cas d’un décalage égal à la taille de la zone d’intérêt et d’une dérivation au sens des moindres carrés sur 3 points de mesure, la résolution spatiale en déformation devient Eq.3.16.
RSGL∆P =2n = √
5.2n≈ 2, 23.2n (3.16)
La schématisation de l’application de l’algorithme de Geers et al. est illustrée Fig.3.8 suivant une des directions principales. La mesure en déformation du lieu du point de la mesure a un poids de 4 pour chacun des éléments l’entourant alors que les points suivants les deux directions principales ont un poids de 2 et ceux suivant les diagonales des éléments un poids de 1.
Cette schématisation de l’algorithme de dérivation, Fig.3.8, peut être approximée par une Gaussienne centrée dont la valeur à mi-hauteur vaut 2∆P et dont les extrémités sont tron- quées à ±1, 5∆P par rapport à l’origine. 95% des pixels utilisés sont pris en compte pour deux écarts-types, i.e. 3∆P . L’application de l’Eq.2.10 permet alors l’établissement d’une formulation pour l’algorithme de corrélation CORRELILM T associé à celui de dérivation
de Geers et al. correspondant à Eq.3.17. RSGeers=
(2n)2+ (3∆P )2 (3.17)
Prenons le cas d’un décalage égal à la taille de la zone d’intérêt, la résolution spatiale en déformation devient Eq.3.18.
RSGeers∆P =2n = √
10.2n≈ 3, 16.2n (3.18)
Une résolution en déformation, Eq.3.19, peut être alors être estimée à partir de la résolution en déplacements, Eq.3.10.
Emin#
Umin
RSǫ
(3.19) Pour définir la résolution en déformations, on rapporte la résolution en déplacements à la résolution spatiale en déformations. Les résultats sont détaillés Tab.3.4 pour les images de la Fig.3.6.
Tab. 3.4 – Résolution en déformations en fonction de la résolution spatiale pour les images de Fig.3.6
.
Taille de ZOI Résolution spatiale Résolution Résolution
n) (px) (px) C8 C12 3 26 9, 4 × 10−6 1, 6 × 10−4 4 51 4, 8 × 10−6 8, 4 × 10−5 5 102 2, 4 × 10−6 4, 2 × 10−5 6 203 1, 2 × 10−6 2, 1 × 10−5 7 405 6 × 10−7 1 × 10−5