Principes théoriques du moiré interférométrique

Le moiré interférométrique [125, 118, 114, 119, 157] peut s’expliquer en combinant les concepts et techniques du moiré géométrique et de l’interférométrie [117, 113, 73]. Son atout majeur est sa capacité à mesurer des déplacements plans avec une très bonne sensibilité [45]. C’est une technique optique de mesure de champs de déplacement plan sur la surface d’un objet avec une excellente résolution.

Lorsqu’un effort est appliqué sur l’éprouvette, la déformation de sa surface est transmise au réseau avec une grande fidélité. Le réseau de diffraction est illuminé symétriquement dans le plan perpendiculaire aux lignes du réseau par deux faisceaux collimatés mutuellement cohérents (e.g. un laser), sous un angle tel qu’après diffraction les faisceaux diffractés au premier ordre se propagent suivant la normale à la surface de l’éprouvette. Les deux rayons génèrent un ensemble d’interférence dans la zone de l’intersection, i.e. un réseau virtuel. Dans le cas du moiré interférométrique, la fréquence de ce réseau virtuel est fixée par Eq.5.1, où λ représente la longueur d’onde du laser et α l’angle de réflexion du faisceau sur la grille.

f = 2

λ. sin α (5.1)

Lorsque f = 2.fs, fsreprésente la fréquence du réseau déposé sur l’éprouvette, et les lignes

du réseau de l’éprouvette sont parallèles. Les rayons du faisceau 1, Fig.5.4, arrivant avec un angle α sur la grille et diffractés par le réseau au premier ordre, émergent alors avec un angle β1= 0.

De même, les rayons du faisceau 2, Fig.5.4, arrivant avec un angle −α et diffracté à l’ordre −1, émergent suivant un angle β−1. Ces deux rayons cohérents coexistent dans l’espace

réseau sur l'objet

caméra CCD 1

2

Fig. 5.4 – Interférence des faisceux 1 et 2 après diffraction sur le réseau.

uniforme, c’est-à-dire une figure de franges de fréquence nulle (0 frange/mm). Le réseau de l’éprouvette déformée et le réseau virtuel de référence interagissent pour former une figure de moiré, laquelle est observée et numérisée par une caméra CCD associée à un système d’observation (i.e. le microscope à grande distance focale) et un système informatique. Si on applique sur l’éprouvette une déformation ǫx constante, la fréquence de la grille

devient Eq.5.2.

fs=

f /2 1 + ǫx

(5.2) Les rayons n’émergent plus alors à β1= β−1= 0 mais selon Eq.5.3.

β1= −

λ.ǫx

2 = β−1 (5.3)

Les deux rayons cohérents coexistent toujours dans l’espace mais cette fois l’angle d’inter- section n’est plus nul et par conséquent la figure de franges créée n’est plus de fréquence nulle. L’image que va pouvoir acquérir la caméra se présente alors sous la forme d’un champ d’intensité d’équation, Eq.5.4, où I0 est l’intensité moyenne, γ le contraste et Φ la phase

I(Φ, I0, γ) = I0[1 + γ.F (Φ)] (5.4)

La fonction F est 2π-périodique et représente le profil de franges. Dans le cas du moiré, les variations d’intensité n’ont pas un profil sinusoïdal, et la fonction F admet un développe- ment en série de Fourier qui n’est pas limité à son premier terme. Dans l’Eq.5.4, il y a un nombre infini d’inconnues puisque la forme de la fonction F , déterminée par une infinité de coefficients de Fourier, n’est pas connue a priori. L’intensité et le contraste sont également inconnus, ainsi que la phase Φ que l’on cherche. L’enregistrement d’un seul champ d’inten- sité ne permet donc pas de remonter à la phase, puisqu’il ne fournit des informations que pour une équation.

Ces autres informations sont à chercher soit au voisinage du pixel où l’on cherche à éva- luer la phase (i.e. approche spatiale) [26], soit au niveau d’un même pixel mais sur des enregistrements différents (i.e. approche temporelle) [136].

La méthode utilisée ici est le décalage de phase. Celle-ci consiste à disposer de plusieurs échantillons d’intensité séparés par un déphasage constant introduit par la rotation d’une

lame de verre montée sur une cale piézo-électrique, Eq.5.5.

Ik= I(∆Φ + kδ) (5.5)

Ces différents points d’échantillonnage permettent de déterminer la meilleure sinusoïde les interpolant, et donc le déphasage Φ.

L’algorithme utilisé pour le traitement des images en vue de l’obtention des cartes de phase est dit ‘à transformée de Fourier fenêtrée’ (TDF-F) [26, 136], dont l’expression générale est donnée par l’Eq.5.6

Φ = arctan −

N −1

k=1 k(Ik−1− I2N −k−1) sin2kπN

N IN −1+N −1k=1 k(Ik−1+ I2N −k−1) cos2kπ_N

(5.6)

où le pas du décalage de phase est δ = 2π

N. Cet algorithme comportant M = 2N − 1 pas

est insensible à une erreur linéaire de calibration ainsi qu’aux harmoniques présents dans le signal des franges jusqu’à l’ordre N − 2.

Cette procédure permet l’obtention des cartes de phase pour les différentes étapes de char- gement lors d’un essai. Alors, la variation des champs de phase entre l’état initial et final peut être formalisée Eq.5.7 suivant une direction donnée

∆Φ = Φf inal− Φinitial = (g2− g1).u (5.7)

où Φ représente la phase, g_i le vecteur sensibilité associé au faisceau i et u le déplacement recherché. Les axes x et y étant alignés avec les traits du réseau, l’axe z est normal à la surface de l’éprouvette. L’illumination dans le plan (xz) permet d’écrire les composantes des vecteurs sensibilités dans le repère (x, y, z), Eq.5.8

c g1= 2π_λ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ − sin α 0 1 + cos α g₂= 2π_λ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ sin α 0 1 + cos α (5.8) La variation des franges s’écrit alors selon l’Eq.5.9

∆Φ = 2π λ ⎛ ⎜ ⎝ sin α 0 0 ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ x uy uz ⎞ ⎟ ⎠= 4π λ .ux. sin α (5.9)

En considérant la loi de diffraction du réseau : sin α = λ

p, l’Eq.5.9 peut être réécrite Eq.5.10,

où p est le pas du réseau

∆Φ = 4π

p .ux (5.10)

Cette équation montre que la variation de phase des franges d’interférence est propor- tionnelle aux déplacements plans de l’objet (i.e. selon la direction x). Pour obtenir la composante uy du déplacement, il faut donc illuminer le réseau symétriquement par deux

Fig. 5.5 – Montage du moiré interférométrique pour une observation microscopique.