Relation entre incertitude et résolution spatiale

L’incertitude sur la mesure par corrélation d’images numériques peut être décrite comme la somme de trois types d’incertitude :

– L’incertitude du bruit temporel qui a été évaluée dans la section 3.2.2 à partir des champs de bruit ;

– L’incertitude sur la sensibilité, i.e. sur la texture. En effet, dans le cas de la corrélation d’images, la sensibilité varie pour chaque ZOI en fonction du motif de celle-ci ;

– L’incertitude sur le biais géométrique due au positionnement du système d’observation. L’étude de la mise en place de l’expérience permet de négliger cette incertitude.

Par la suite, il sera montré que l’incertitude sur la texture est plus de dix fois supérieure à celle des bruits définis section 3.1.3 d’où un abus de vocabulaire utilisant le terme ‘incer- titude’ pour faire référence à celle relative à la texture.

Le compromis entre l’incertitude et la résolution spatiale est certainement le point clé du traitement par corrélation d’images numériques. Nous avons mis en place une procédure afin d’évaluer cette relation incertitude-résolution spatiale. Cette procédure en quatre étapes aboutit à des résultats valables uniquement pour la texture étudiée. La Fig.3.9 montre les résultats l’application de cette procédure, détaillée ci-dessous, à l’image C8.

1. Un déplacement de corps rigide est appliqué numériquement à l’image de référence de la texture étudiée. Dix images sont créées avec un déplacement incrémental de 0, 1 pixel de 0 à 1 pixel par la routine BOOM Y qui effectue un déplacement numé- rique pixel par pixel.

2. La séquence de 11 images est alors traitée avec le logiciel de corrélation d’images afin d’évaluer les déplacements pour chacune des dix images créées précédemment. 3. Une fois toutes les images analysées, l’erreur moyenne, Fig.3.9 (a), et l’écart-type des

déplacements, Fig.3.9 (b), sont déterminés. L’incertitude sur les déplacements est alors évaluée comme étant la moyenne des écarts-types. Pour une taille de ZOI donnée, l’incertitude maximum est atteinte pour un déplacement imposé égal à 0, 5 pixel, Fig.3.9 (b). L’incertitude sur les déplacements peut ainsi être déterminée pour chacune des tailles des zones d’intérêt, Fig.3.9 (c).

4. Pour l’évaluation de l’incertitude sur les déformations, on utilise la même séquence d’images. En effet, puisque seuls des déplacements de corps rigide ont été appliqués sur l’image de référence, le traitement par dérivation numérique des champs de dépla- cements doit identifier des champs de déformation nuls. Ainsi l’erreur moyenne et l’in- certitude, i.e. l’écart-type, des cartes peuvent être déterminés pour les déformations. En appliquant cette procédure, l’algorithme de dérivation est testé et l’utilisation d’un algorithme différent modifie les résultats et performances de cette incertitude. Plusieurs remarques peuvent être faites sur cette procédure.

– Tout d’abord, en termes d’écart-type sur les déplacements pour une taille de ZOI donnée, la même tendance est observée pour toutes les textures. Ainsi, la valeur maximum est toujours atteinte pour un déplacement imposé de 0, 5 pixel. Ce résultat suggère qu’une évaluation plus rapide peut être effectuée par l’estimation de l’incertitude pour une seule image déplacée numériquement de 0, 5 pixel, Fig.3.9 (b). La valeur de l’incertitude pour cette texture et pour une taille de ZOI fixée, correspond alors à la moitié de l’écart-type pour ce déplacement.

– Ensuite, il est à noter que même si cette procédure utilise des images réelles tous les bruits expérimentaux qui existent pendant le déroulement de l’expérience sont évités (e.g. illumination, vibration, variation de texture due aux déformations). Ainsi, l’incertitude de la mesure est inévitablement sous-estimée.

– A travers l’analyse d’un ensemble de textures détaillée Annexe C, la valeur de l’incerti- tude de texture est la plus importante des trois types d’incertitude. Elle rend ainsi les autres négligeables.

– Enfin, l’application de cette procédure pour les différentes tailles de ZOI permet de mettre en relation l’incertitude de la texture, représentative de l’incertitude de la mesure, avec la résolution spatiale de cette dernière.

Dès lors, un compromis entre incertitude et résolution spatiale est démontré. En effet, plus la taille de la ZOI augmente (i.e. dans la formulation de la résolution spatiale, Eq.3.17), plus l’incertitude de la mesure diminue. Ceci implique donc que l’obtention du nombre de points de mesure permet une amélioration de la fiabilité de la mesure. Cette tendance peut être décrite par une loi puissance reliant la taille de la ZOI, i.e. n, à l’incertitude en déplacement σU, Eq.3.20.

σU = A

α+1

2nα (3.20)

où A est une valeur constante et α la puissance lui correpondant. La même tendance est observée pour l’incertitude en déformation. Une loi puissance avec une puissance β est obtenue pour une incertitude moyenne en déformation σǫ en fonction de 2n, Eq.3.21.

σǫ=

Bβ

-0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Déplacement imposé (pixel)

Er

reur mo

yenne en déplacement (pix

el) 0.005 0.01 0.015 0.02 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Déplacement imposé (pixel)

Ecar

t-type des déplacements(pix

el) (a) _(b) 0.001 0.01 0.1 2 3 4 5 6 7 8 Taille de la ZOI, n Incer

titude en déplacement (pix

el) (c) n=5 _n=5 3 4 5 6 Taille de la ZOI, n Incer titude en défor mations (-) (d) 10-3 10-4

Fig. 3.9 – Application de l’étude d’incertitude sur la texture de l’image Fig.3.6 (a). Représen- tation de l’erreur moyenne (a) et de l’écart-type (b) des déplacements sur la séquence des 10 images crées pour une taille de ZOI, i.e. n = 5. Incertitude moyenne de la texture en échelle logarithmique en fonction de la taille de la ZOI, i.e. n, respectivement en déplacement (c) et en déformation (d).

où B est une constante.

Ceci implique que les deux incertitudes (déplacements et déformations) peuvent être mise en relation au travers de l’Eq.3.22.

σǫ= C. σU

2.∆P (3.22)

pour α + 1 ≈ β et où C est une constante (i.e. CAα+1 _{≈ B}β_).

L’ensemble des termes métrologiques caractérisant la méthode de corrélation d’images nu- mériques sous CORRELILM T _{ont maintenant été explicités et pour chacune des formu-}

lations des procédures ont été établies permettant leur répétabilité. Tout au long de cette section, les différentes terminologies ont toutes montré une forte dépendance à la texture, e.g. la sensibilité Eq.3.7, la résolution en déplacement Eq.3.10 etc. C’est pourquoi, l’analyse a priori de cette dernière doit permettre d’optimiser le choix des autres paramètres.