Relation entrée-sortie d’un système à Filtrage de Fourier

avec l’objectif imminent d’utiliser ce système à des fins d’analyse de front d’onde. La figure3.1rappelle le schéma de principe d’un tel design.

Axe optique z Plan de la Plan du détecteur ~ex ~ey ~ez ~ez Pupille d’entrée p + Élement focalisant de focale f _{f f} Masque m+ Élement focalisant de focale f/2 Plan focal pupille d’entrée

Figure 3.1 – Schéma de principe d’un système à filtrage de Fourier. Le masque m est l’unique paramètre du design.

3.1 Relation entrée-sortie d’un système à Filtrage

de Fourier

Notre étude démarre de la relation entre le champ incident et le champ au niveau du détecteur obtenue dans le chapitre précédent (équation (2.21)) qui caractérise, on le rappelle, complètement ce système :

ψd=G−1[ψi p]⋆

Gf λ◦F[m]^{ (3.1)}

dans laquelle on a omis un facteur de phase sans importance qui disparaît par passage à l’intensité. Avant toute chose, nous simplifions le problème en négli-geant le retournement du champ –traduit par l’opérateur grandissement G−1–

qui ne témoigne que d’un aspect purement géométrique. Nous considérons donc l’équation :

ψd= (ψi p)⋆

Gf λ◦F[m]^{ (3.2)}

De cette équation (3.2) dite "équation fondamentale de propagation", on re-marque que –fors l’opération de diaphragme par la pupille d’entrée– la relation entre l’entrée et la sortie est entièrement déterminée le masque de Filtrage m. Ce n’est d’ailleurs pas le masque lui-même qui semble y jouer un rôle significatif mais plutôt la transformée de Fourier du masque dilatée d’un facteur λf . On s’évertue donc dans ce chapitre à décrire ce masque dans un formalisme compa-tible avec les propriétés notables de la transformée de Fourier (rappelées dans l’annexeA).

On précise tout de suite un point essentiel : le plan dans lequel est contenu le masque est un plan focal. On a vu précédemment que celui-ci constituait l’es-pace des fréquences spatiales du champ incident. Aussi, il faut considérer les coordonnées (xm,ym) comme les coordonnées fréquentielles associées à (xp,yp). En d’autres termes, la position du masque dans le plan focal fait qu’il affecte le champ incident dans son espace des fréquences. Ceci a également la conséquence suivante : l’opérateurGf λ◦F appliqué sur le masque consiste physiquement à ra-mener le masque dans un plan pupille. Cela veut dire que les coordonnées(xd,yd), réciproques de (xm,y_m), sont dans le même espace que les coordonnées (xp,y_p) décrivant le champ en entrée.

3.1.1 Interprétation via la réponse impulsionnelle

Une première interprétation du filtrage de Fourier se base sur le fait que la re-lation entre les champs incident et détecteur est linéaire. On peut en effet s’aper-cevoir que la réponse à une somme de deux champs est la somme des réponses pour chacun des deux champs pris indépendamment. Ce fait est d’ailleurs peu surprenant puisque les lois de propagation sont issues dans l’absolu des équa-tions de Maxwell, linéaires pour les champs électriques et magnétiques.

On peut donc définir la réponse impulsionnelle du système, que l’on notera

δψ

m, comme le champ détecteur quand le champ incident est un Dirac. De par les propriétés de convolution on obtient immédiatement que :

δ_m^ψ=Gf λ◦F[m] (3.3)

La relation fondamentale de propagation du filtrage de Fourier se réduit donc, sous ce formalisme, à :

ψd=(ψi p)⋆δψ

m (3.4)

La théorie de la réponse linéaire assure que la réponse impulsionnelle caractérise entièrement le filtrage optique puisque qu’un Dirac contient par essence toutes les fréquences spatiales.

D’une manière générale on retient donc que, pour un masque arbitraire m donné, une approche tout-à-fait pertinente pour comprendre le filtrage consiste à visualiser la quantité complexe ψδ

m soit via ses parties réelles ou imaginaires, soit via son module et son argument. Pour connaître la réponse à un champ incident donné, il "suffira" de se figurer sa convolution avec cette réponse impulsionnelle.

Définition : Réponse impulsionnelle généralisée.

On profite de l’occasion pour généraliser la notation de la réponse impulsionnelle

δ^ψ_f tant que celle-ci correspond à l’action de l’opérateur Gf λ◦F sur la fonction

quel-conqueg :

δ^ψ_g=Gˆ f λ◦F[g] ∀g∈L2(R2) (3.5) Précisons, afin de simplifier la tâche à un lecteur qui voudrait vérifier la cohérence dimensionnelle des équations qui suivront que la réponse impulsionnelle a la

dimen-sion deg divisée par une longueur au carré :

h

δ_g^ψi=h

gⁱL⁻² (3.6)

3.1.2 Interprétation via l’opérateur de filtrage

Une autre interprétation consiste à formuler le filtrage via un opérateur li-néaire. En effet, l’action effective du système optique sur le champ incident consiste à la convolution avec la réponse impulsionnelle. On définit donc l’opé-rateur de Filtrage associé au masquem et que l’on noteWm comme :

Wm[ψ] ˆ=ψ⋆ δψ

m ∀ψ∈L2(R2) (3.7)

L’équation fondamentale de propagation du filtrage de Fourier (3.2) se réduit cette fois à :

ψd=Wm[ψi p] (3.8)

Quelques propriétés de l’opérateur de filtrage :

- L’opérateur de filtrage laisse invariante la dimension de la fonction sur laquelle il s’applique : dans notre cas, il convertit des champs EM en champs EM.

- L’opérateur de filtrage est linéaire, en particulier : Wm[ψ]=Wm

h

ℜ[ψ]ⁱ+ıWm

h

- L’opérateur de filtrage va deL2(R2) dans L2(R2), en particulier1 : ||ψp||2

2≥||Wm[ψp]||2

2 (3.10)

qui traduit le fait que l’énergie du champ détecteur ne peut être supérieure à l’énergie du champ incident. Il y a d’ailleurs égalité si et seulement si le masque est de phase uniquement. Cette propriété se montre mathématiquement via l’éga-lité de Parseval puisque le passage d’un plan focal à un plan pupille (et vice versa) se fait par une transformée de Fourier.

- L’opérateur de filtrage peut être décomposé en deux opérateurs linéaires re-présentant ses partie réelle et partie imaginaire. On les note Wℜ

m et Wℑ

m. Ces opérateurs vont également deL2(R2) dans L2(R2). Ils ont de plus la propriété de laisser stable les fonctions à valeurs dans R. On peut donc écrire :

Wm[ψ]= Wℜ m h ℜ[ψ]ⁱ−Wℑ m h ℑ[ψ]^i+ı Wℜ m h ℑ[ψ]ⁱ+Wℑ m h ℜ[ψ]^i (3.11)

où les deux fonctions de cette décomposition sont à valeurs dans R.