5 Méta-intensités
5.1 Vers la linéarité
Rs(λ)λq0
λqIq,λ(φ0)dλ
Table 5.1 – Intensités sur le détecteur pour des ASO à filtrage de Fourier et mo-dulation suivant le spectre de la source et le chromatisme de l’ASO.
5.1 Vers la linéarité
Rappelons en premier lieu la définition d’un fonction arbitraire g linéaire sur l’espace des phase :
g(φ0+µΦ0)=g(φ0)+µ g(Φ0) ∀φ0,Φ0∈Eφ, µ∈R (5.1) Ceci implique que toute fonction linéaire doit pouvoir être tant positive que néga-tive mais également tendre vers l’infini. Ce constat indique déjà qu’il est illusoire
d’espérer utiliser directement une intensité détecteur comme quantité linéaire avec la phase puisque que cette intensité est positive ou nulle et bornée du fait de l’énergie finie des champs incidents. Prenantφ0=Φ0 eta=−1 dans l’équation précédente, on remarque aussi que la linéarité impose que la réponse à phase nulle soit nulle.
5.1.1 Opération de tare
Afin de satisfaire à cette dernière condition, on va donc commencer par une opération de tare sur l’intensité en lui soustrayant l’intensité à phase nulle :
mI(φ0) ˆ=I(φ0)−I(0) (5.2)
De cette façon on est bien assuré d’avoir une sortie nulle pour une entrée nulle. Notons que l’opération de tare est identique pour tous les systèmes optiques à Filtrage de Fourier et valable quelque soit le spectre de la source. Lorsque l’on observe le développement en puissances de phase de cette méta-intensité, on voit apparaître naturellement un terme linéaire en la "1-intensité" :
mI(φ0)=X∞
q=1
Iq(φ0)=Ilinéaire(φ0)+X∞
q=2
Iq(φ0) (5.3)
On peut donc dire que les systèmes à Filtrage de Fourier rentrent dans le cadre de l’hypothèse linéaire. L’intensité q=1 constitue le terme linéaire avec la phase tandis que la somme des q-intensités de 2 jusqu’à l’infini correspond à la per-turbation non-linéaire. Dans le formalisme matriciel du chapitre 1, la matrice d’interaction est donc établie à partir de l’intensité linéaire tandis que la somme des q-intensités deq=2 jusqu’à l’infini constitue le terme de perturbation :
BmI=Ilinéaire(Bφ) B(φ0)=
∞
X
q=2
Iq(φ0) (5.4)
On peut d’ores-et-déjà affirmer qu’un bon ASO –au sens de la linéarité– maximise le termeq=1 tout en minimisant les termes q≥2.
On appellera méta-intensité minimale, cette méta-intensité constituant simple-ment en l’intensité ramenée autour de zéro par l’opération de tare. Celle-ci est légitimement considérée comme la quantité contenant le plus d’information sur la phase puisqu’elle ne diffère de l’intensité sur le détecteur que d’une intensité constante.
On donne dans le tableau 5.2 les intensités linéaires associées à la méta-intensité linéaire pour les différentes configurations chromatiques présentées dans le chapitre 3. D’autre part, on illustre l’opération de tare sur la relation entrée/sortie de l’ASO avec la figure5.1.
Spectre de la source Nature de l’ASO Intensité linéaire : Ilineaire(φ0) Monochromatique λ0 s(λ0)I1,λ0(φ0) Monochromatique λa s(λa)λ0 λaI1,λ0(φ0) Polychromatique Achromatique Rs(λ)λ0 λdλ I1,λ0(φ0) Polychromatique Chromatique R s(λ)λ0 λI1,λ(φ0)dλ
Table 5.2 – Intensités linéaires associées à la méta-intensité minimale pour des ASO à filtrage de Fourier et modulation suivant le spectre de la source et le chromatisme de l’ASO. aIlin(φ0) Iconstant a I(aφ0) Amplitude de la phase Intensité en un point du détecteur P q≥2Iq(aφ0) aIlin(φ0) a mI(aφ0) Amplitude de la phase Méta-Intensité minimale au même point P q≥2Iq(aφ0)
Figure 5.1 – Opération de tare illustrée sur les graphes typiques d’entrée/sortie de l’intensité et de la méta-intensité minimale pour un mode de phase quelconque en un point arbitraire du détecteur.
5.1.2 Normalisation par rapport au spectre
On peut ajouter à l’opération de tare une étape supplémentaire afin de rendre la méta-intensité indépendante du spectre dans les cas les plus favorables. En observant le tableau donnant les intensités linéaires 5.2, on remarque en effet qu’une méta intensité définie de la façon suivante :
mI(φ0) ˆ=I(φ0)−I(0) R
s(λ)λ0
λdλ (5.5)
permet d’obtenir une intensité linéaire associée indépendante du spectre dans les cas où la source est monochromatique ou même si elle est polychromatique et que l’ASO est achromatique. Le tableau5.3en donne l’illustration.
Spectre de la source Nature de l’ASO Intensité linéaire : Ilineaire(φ0)
Monochromatique λ0 I1,λ0(φ0) Monochromatique λa I1,λ0(φ0) Polychromatique Achromatique I1,λ0(φ0) Polychromatique Chromatique Rs(λ)λ0λI1,λ(φ0)dλ R s(λ)λ0λdλ
Table 5.3 – Intensités linéaires pour la méta-intensité normalisée par rapport au spectre définie par l’équation (5.5) pour des ASO à filtrage de Fourier et modulation suivant le spectre de la source et le chromatisme de l’ASO.
On peut donc dire que les ASO à Filtrage de Fourier achromatiques sont
ro-bustes (au sens évoqué dans le chapitre1) vis-à-vis du spectre de la source.
Men-tionnons également que la normalisation par rapport au spectre fait également office de normalisation par rapport au flux. Profitons enfin de ce paragraphe pour expliciter la dépendance des termes non-linéaires avec la phase de la méta-intensité minimale normalisée lorsque l’ASO estachromatique :
mI(φ0)=I1,λ0(φ0)+X q≥2 R s(λ)λq0 λqdλ Rs(λ)λ0 λ dλ Iq,λ0(φ0) (5.6)
On remarque ainsi que si l’intensité linéaire est indépendante du spectre, la perturbation non-linéaire ne le devient pas par la normalisation de la méta-intensité minimale.
valable pour tous les ASO à filtrage de Fourier avec modulation– et sa robustesse vis-à-vis du flux et du spectre dans la plupart des cas, on choisit cette quantité comme méta-intensité de référence. À partir de maintenant, chaque occurrence mI y fait allusion.
5.1.3 Propagation du bruit des intensités vers les
méta-intensités
Un des critères de performance exposés dans le chapitre1concerne la propaga-tion des bruits de lecture et de photon lors de la reconstrucpropaga-tion de la phase. Celle-ci dépend de leur matrice de covariance dans l’espace des méta-intensités.
Puisque la méta-intensité minimale normalisée est une transformationaffine de
l’intensité, il est assez aisé de les obtenir puisque nous avons déjà en notre posses-sion les matrices de covariances de bruit dans l’espace des intensités : équations (4.67) et (4.68). Renouvelant l’hypothèse d’une calibration et d’une analyse
mo-nochromatiques à la même longueur d’ondeλ0, on obtient que :
Clecture= σRON2
s(λ0)2 I Cphoton= 1
s(λ0)diag(I0,λ0) (5.7) On note que ces matrices de covariance de bruit dans l’espace des méta-intensités ne diffèrent de celles dans l’espace des intensités que d’un scalaire dépendant du fluxs(λ0). Ceci s’explique par la normalisation opérée par l’équation5.5. D’autre part, on retrouve que le bruit de lecture décroit avec l’inverse du flux et donc plus rapidement que le bruit de photon qui lui décroit avec l’inverse de la racine carrée du flux.