3 Filtrage de Fourier
3.4 Extension à la modulation
3.4.4 Modulation tip/tilt
Nous explorons dans cette section, le cas le plus commun de la modulation, à savoir une modulation utilisant deux modes de phase uniquement : le tip et le tilt. Dans ce cas on a doncN=2 et les deux modes de phases sont :
φ1(xp,yp)=2π
λ xp et φ2(xp,yp)=2π
λ yp (3.51)
On notera a1 et a2 leur amplitude respective. On remarquera que la modulation tip/tilt correspond exactement à l’application d’un dioptre d’inclinaison variable dans le plan de la pupille d’entrée :
da1,a2(xp,yp)=exp2ıπ
λ (a1xp+a2yp) (3.52) La solution technique pour faire cette modulation en tip/tilt s’en inspire forte-ment puisque l’on utilise un miroir plan oscillant placé dans le plan de la pupille
d’entrée du système optique de filtrage de Fourier.
Interprétation de la modulation via l’imagerie d’objets étendus. Oublions
dans un premier temps l’étage de filtrage et imaginons que le détecteur est placé juste devant le masque de filtrage. On a alors un système optique de type "ima-gerie en plan focal". Utilisant le formalisme développé dans le premier chapitre on obtient que l’intensité sur le détecteur notéeIf ocvaut :
If oc = Z R2w(a1,a2) Gf λ◦Fhψi p da1,a2i 2 da1da2 (3.53) = Z R2w(a1,a2)Tf a1,f a2 Gf λ◦Fhψi pi 2 da1da2 (3.54) = Gf[w]⋆ Gf λ◦Fhψi pi 2 (3.55) Le module au carré de la transformée de Fourier du champ incident diaphragmé est communément appelé Fonction d’Étalement de Point (FEP) et ne dépend pas de la modulation tip/tilt. L’intensité du champ électrique juste avant le masque de filtrage peut donc s’écrire :
If oc=Gf[w]⋆FEP(ψi p) (3.56)
Formellement, il y a donc une analogie parfaite entre l’imagerie d’objets étendus et statiques et la modulation, la fonction de poids pouvant être vue comme le profil surfacique d’un objet. Il est d’ailleurs possible de modéliser des objets volu-miques –qui ne seraient donc pas tous focalisés dans le même plan– en ajoutant un mode à la modulation tip/tilt, à savoir le mode de focus. On insistera cepen-dant sur le fait que cette analogie entre modulation et imagerie d’objets étendus n’est possible qu’à la condition que chaque point de ces objets soit affecté par la même phase2.
Le message véritablement important de ce paragraphe est de se rendre compte qu’on peut se permettre de ne pas distinguer l’analyse de surface d’onde usant une source étendue de celle fonctionnant avec une modulation tip/tilt, la fonction de poidsw faisant le lien entre ces deux cas sous un unique formalisme.
On replace le détecteur dans le plan pupille situé en aval du filtrage et on
réécrit l’intensité modulée dans le cadre d’une modulation en tip/tilt :
I(ψi p)=Z
R2w(a1,a2) Wm[da1,a2ψi p] Wm[da1,a2ψi p] da1da2 (3.57)
Cette relation est difficile à étudier en l’état, aussi on va l’exprimer à partir d’un opérateur bilinéaire plus général qui sera plus aisé à manipuler. On l’appelle
opérateur de couplage puisqu’il témoigne de la communication entre les 2. Si ce n’était pas le cas, on parlerait d’anisoplanétisme.
Élement focalisant + Dioptre incliné pour un
point de la modulation Masque focal Élement focalisant Masque focal Objet ponctuel hors axe Objet ponctuel sur axe
Figure 3.5 – Équivalence entre modulation tip/tilt et filtrage de Fourier avec source étendue. Les coefficients tip/tilt codent la position angulaire d’un point de l’objet. La fonction de poids w code la brillance de ce point. champs induite par la modulation.
Définition : Opérateur de couplage.
L’opérateur bilinéaire de couplage, notéCw
m, s’applique sur deux champs à la fois. Il
ne dépend que du masque et de la fonction de poids. Il caractérise donc complètement les dispositifs de filtrage de Fourier associés à une modulation tip/tilt. Il est défini comme : Cmw[ψ1,ψ2] ˆ= Z R2w(a1,a2) Wm[ψ1da1,a2] Wm[ψ2da1,a2] da1da2 (3.58) = Z R2w(a1,a2) ψ1da1,a2⋆δmψψ2d−a1,−a2⋆δmψ da1da2 (3.59) Développant explicitement les produits de convolution à l’intérieur deCw
m, on
s’aperçoit également que l’opérateur de couplage fait intervenir la transformée de Fourier de la fonction de poids :
Cmw[ψ1,ψ2](X,Y )=Z
R4dx1dy1dx2dy2 ψ1(x1,y1)δψ
m(X−x1,Y−y1)×
ψ2(x2,y2)δψ
m(X−x2,Y−y2)×Gf λ◦F[w](x2−x1,y2−y1) (3.60) La présence de cette transformée de Fourier permet d’introduire formellement3
3. Attention, pour des raisons subtiles de variables d’intégration (a1,a2) sans dimension, δψ w
la réponse impulsionnelle (définie dans le chapitre2) de la fonction de poidsδψ w: Cw m[ψ1,ψ2](X,Y )=Z R4dx1dy1dx2dy2 ψ1(x1,y1)δψ m(X−x1,Y−y1)× ψ2(x2,y2)δψ m(X−x2,Y−y2)×δψ w(x2−x1,y2−y1) (3.61) La première utilité de l’opérateur de couplage est d’exprimer très facilement l’in-tensité modulée de(3.57) :
I(ψi p)=Cw
m[ψi p,ψi p] (3.62)
Cas limites de la modulation. Afin de comprendre la physique contenue dans
l’opérateur de couplage. On s’intéresse en premier au cas limite correspondant
à l’absence de modulation. La fonction de poids se résume donc à un Dirac
centré sur l’origine. Sa transformée de Fourier est égale à la fonction identité. L’opérateur modulation devient donc :
Cw=δ
m [ψ1,ψ2]=(ψ1⋆δψ
m)(ψ2⋆δψm) (3.63)
Injectant ce résultat dans la formule de l’intensité modulée (3.62), on retombe bien sur l’intensité sans modulation :
I(ψi p)=Cw=δ
m [ψi p,ψi p]=|(ψi p)⋆δψ
m|2 (3.64)
Le second cas s’intéresse à unemodulation "complète". Autrement dit la
fonc-tion de poids vaut 1 en tout point du plan. Ceci est en contradicfonc-tion avec l’hypo-thèse de conservation de l’énergie mais on oublie pour ce cas extrême ce prére-quis. La transformée de Fourier de w se résume donc à un Dirac et l’opérateur modulation devient :
Cmw=I[ψ1,ψ2]=(ψ1ψ2)⋆|δψ
m|2 (3.65)
Ce qui a notamment pour conséquence :
I(ψi p)=Cw=I
m [ψi p,ψi p]=|ψi p|2⋆|δψm|2 (3.66) Ces deux cas extrêmes montrent une propriété tout sauf triviale de la modulation. La fonction de poids dont elle dépend agit en effet comme un curseur qui déplace le produit de multiplication entre les champs interférent sur le détecteur :
(ψ1⋆δψm)×(ψ2⋆δmψ) ↔ (ψ1×ψ2)⋆|δψ
m|2 (3.67)
Un masque équivalent à la modulation ? On cherche dans cet ultime
para-graphe à savoir si le degré de liberté apporté par la modulation tip/tilt n’est pas redondant avec celui apporté par le masque de filtrage. Autrement dit, est-il
pos-sible de trouver un masque de filtrage qui serait équivalent à de la modulation ? Pour répondre à cette question on réécrit l’opérateur de couplage sous la forme suivante : Cw m[ψ1,ψ2](X,Y )=Z R4dx1dy1dx2dy2 ψ1(X−x1,Y−y1)ψ2(X−x2,Y−y2)× δψm(x1,y1)δψ m(x2,y2)×δψ w(x2−x1,y2−y1) (3.68) Trouver un masque équivalent à la modulation revient donc à découper la ré-ponse impulsionnelle de la modulationδψ
wen deux contributions de sorte à avoir :
δψmw(x1,y1)δψ
mw(x2,y2)=δψ
w(x2−x1,y2−y1) (3.69) où mw serait le masque équivalent à la modulation. On peut montrer qu’un tel masque existe à condition que la réponse impulsionnelle de la fonction de poids ait une forme bien particulière, à savoir :
δwψ(x,y)=A2exp
ı(Bx+Cy)
avec A,B,C∈R (3.70)
La réponse impulsionnelle du masque équivalent vaut alors : δψmw(x,y)=A exp
ı(Bx+Cy)
avec A,B,C∈R (3.71)
Malheureusement ces cas de modulation sont fort peu intéressants. En effet, on s’aperçoit que la fonction de poids associée à la fonction(3.70), vaut :
w = G1/f λ◦F−1[A2expı(Bx+Cy)] (3.72) = δ(x+ ˜B)δ(x+ ˜C) avec B, ˜˜ C∈R (3.73) Autrement dit, les modulations décrites par (3.70) sont statiques ! Elles ne font que déplacer la FEP du centre du plan focal vers un autre point. On comprend alors facilement pourquoi il existe un masque équivalent à cette modulation puisque celui-ci correspond simplement à la translation du masque initial as-surant que la FEP tombe bien à l’endroit décrit par la modulation. La figure3.6 illustre cette équivalence. On retiendra donc qu’une modulation non statique ne peut être décrite par un masque de Fourier. Le degré de liberté apporté par ce dispositif est donc tout-à-fait pertinent et permet d’étendre substantiellement les possibilités du Filtrage de Fourier.
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Ce chapitre dédié au Filtrage de Fourier a permis d’en expliciter de très nombreuses et intéressantes propriétés inhérentes. Ont été précisées les
Élement focalisant +
Modulation statique
via un dioptre incliné
Masque focal
Élement focalisant seul
Masque focal translaté
Figure 3.6 – À gauche : Type de modulation tip/tilt –hélas statique– qui admet un masque équivalent. À droite : masque équivalent correspondant au masque précédent translaté.
notions de réponse impulsionnelle et opérateur de Filtrage à la lumière du formalisme puissant et inédit basé sur le pavage du plan focal. Celui-ci assume parfaitement l’aspect "filtrage" inhérent à ce système optique puis-qu’il décrit chaque masque de Fourier comme un élément permettant de sélectionner puis de combiner et/ou séparer les fréquences spatiales du champ incident. Cet effort théorique est consolidé par la maitrise d’opéra-teurs mathématiques (Hilbert et Zernike) de manipulation aisée. Le filtrage de Fourier a également été enrichi par un étage optique supplémentaire –la modulation– qui n’est pas redondant avec le filtrage. Cette modulation a été présenté de façon très générale même si une attention particulière a été portée à la modulation tip/tilt. Les prochains chapitres verront ces efforts théoriques récompensés au sens où ils permettront de comprendre l’analyse de front par filtrage de Fourier de façon analytique.