Autres opérations sur la méta-intensité

On s’intéresse dans cette partie à deux opérations récurrentes que l’on peut effectuer sur la méta-intensité minimale normalisée dans le but de changer le comportement des ASO à filtrage de Fourier. Toute deux se décrivent matricielle-ment. La première, déjà évoquée dans le chapitre2est l’opération de binning qui consiste à regrouper plusieurs pixels voisins pour n’en former qu’un. La seconde décrit la transformationTO qui sélectionne certains pixels du détecteur.

Remarquons avant toute chose que les pixels du détecteur et les méta-pixels de la méta-intensité minimale normalisée sont rigoureusement comparables puisque la transformation méta-intensité est affine avec l’intensité. Les opéra-tions matricielles effectuées sur I sont donc invariables sous la transformation mI (5.5).

5.2.1 Opération de binning

On veut illustrer les divers modes de fonctionnement des détecteurs qui per-mettent de regrouper plusieurs pixels voisins pour n’en faire qu’un. On a vu (paragraphe2.1.5) que cette opération pouvait être modélisée par l’action d’une matrice de binning, notée B, sur l’intensité . Partant d’une intensité I, on abou-tissait à une intensité binnéeI′ par la simple relation :I′=BI. De part le fait que les méta-pixels de la méta-intensité sont équivalent à des pixels détecteurs, cette relation matricielle reste valide pour la méta-intensité :

mI^′=BmI (5.8)

La figure 5.2 illustre l’opération méta-intensité minimale normalisée pour un échantillonnage 4x4 pixels qui subit un binning vers de l’échantillonnage 2x2 via la matrice de binning suivante1:

1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 B =

On y suppose que le flux total vaut 16, que l’intensité à phase nulle donne une intensité uniforme, et que la phase arbitraire considérée fait migrer tous les pho-tons vers la partie droite du capteur. On observe que la norme 2 de la méta-intensité augmente lorsque le binning regroupe les pixels.

I(0)= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I(φ0)= 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 =⇒ mI(φ0)=1 16 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 I′(0)= ^{4 4}_{4 4} I′(φ0)= ^{0 8}_{0 8} =⇒ mI′(φ0)=1 16 -4 4 -4 4

Figure 5.2 – En haut, opération méta-intensité minimale normalisée pour l’échan-tillonnage 4x4. La norme 2 de mI(φ0) vaut 1/4. En bas, même chose pour après binning. La norme 2 de mI′(φ) vaut 1/2.

On profite de ce paragraphe pour illustrer avec la figure5.3la perte en résolution spatiale due à l’opération de binning. Le mode injectéΦ qui reste descriptible en échantillonnage 4x4 ne l’est plus en 2x2 puisqu’il est vu comme une phase nulle. On comprend par là que l’augmentation du rapport signal sur bruit octroyé par l’opération de binning se fait au détriment du nombre de modes vus par l’ASO.

1. Les intensités initialement obtenues sur un détecteur carré sont évidemment transformées en vecteurs colonne pour être manipulées par les matrices.

Là est finalement illustré le compromis : "voir mieux peu de modes ou en voir plus moins bien ?"

I(0)= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I(Φ0)= 2 0 0 2 0 2 2 0 0 2 2 0 2 0 0 2 =⇒ mI(Φ0)=1 16 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 I′(0)= ^{4 4}_{4 4} I′(Φ0)= ^{4 4}_{4 4} =⇒ mI′(Φ0)= ^{0 0}_{0 0}

Figure 5.3 – En haut, opération méta-intensité pour l’échantillonnage 4x4. En bas, même chose après binning. On observe que le mode Φ0 est bien codé dans la configuration 4x4 tandis qu’elle est équivalente à la phase nulle en 2x2. Autrement dit,Φ0est invisible pour un ASO en échantillonnage 2x2.

5.2.2 Une transformation TO notable

On a évoqué dans le paragraphe1.3du chapitre général sur l’analyse de front d’onde les opérations autorisées sur les méta-intensités. On les avait appelées "transformations TO" de par le fait qu’elles se résument à l’association de deux

matrices, l’une orthogonale qui a pour but de mettre en forme l’information sur la phase tandis que l’autre, matrice de troncature, vient ensuite sélectionner l’in-formation pertinente. On décrit dans ce paragraphe une de ces transl’in-formations

TO fréquemment utilisée dans le cadre de l’analyse de front d’onde par Filtrage

de Fourier. Elle permet de ne conserver qu’une partie des pixels du détecteur afin par exemple de ne garder que les pixels contenant de l’information linéaire avec la phase. La matrice orthogonale O est dans ce cas simplement une matrice de

permutation –on utilise la lettre P pour désigner de telles matrices– qui range

dans les premiers indices les pixels que l’on souhaite conserver, tandis que la ma-trice de troncature vient éliminer les autres. La figure5.4donne un exemple qui permet de comprendre très simplement comment construire les matricesP et T.

Encore une fois, de par l’équivalence entre les méta-pixels de la méta-intensité minimale et les pixels du détecteur on pourra écrire que la restriction de l’ana-lyse de front d’onde à une certaine zone du détecteur revient à appliquer une transformation "TP" sur la méta-intensité minimale normalisée ou non :

mI^′=TPmI (5.9)

*

π3 π4 π1 π2 P =      1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0      T = ^{1 0 0 0}_{0 1 0 0} ! → _π^{. π4} 1 .

Figure 5.4 – Illustration du choix des pixels pertinents via la transformations TP sur un détecteur 2x2 dans lequel on ne souhaiterait garder que les pixels π1 et π4. P est la matrice de permutation permettant de mettre dans les deux premiers indices les pixels d’intérêts. T vient ensuite les sélectionner.

Ce chapitre assez court est néanmoins fondamental. On a pu en effet mon-trer que les dispositifs optiques à filtrage de Fourier rentrent dans le cadre de l’hypothèse linéaire. La méta-intensité minimale normalisée est en effet linéaire au premier ordre avec la phase et présente l’énorme avantage d’être valide pour n’importe quel système optique (quelque soient le masque, la modulation ou la nature de la source de référence). Cette méta-intensité est de plus normalisée vis-à-vis du spectre dès lors que l’ASO est achroma-tique puisqu’elle génère des matrices d’interactions indépendantes de ce paramètre ce qui stabilise la reconstruction de la phase lorsque les condi-tions de calibration et d’analyse sont différentes. On a explicité de plus les deux termes de perturbation, à savoir les termes non-linéaires et les bruits de lecture et de photon, qui parasitent la reconstruction du front d’onde et témoignent subséquemment de la performance des dispositifs étudiés. On note enfin que l’on a su décrire deux transformations numériques très utiles –le binning et le choix de la zone d’intérêt sur le détecteur– en termes d’opérations matricielles compatibles avec le formalisme présenté dans le

chapitre 1. On a donc en notre possession un cadre très général qui va

per-mettre dans les prochains chapitres de comparer et d’optimiser les ASO à filtrage de Fourier.