Champ incident

Ce champ va subir, avant de rentrer dans le système de filtrage de Fourier, une délimitation spatiale par une pupille d’entrée ainsi qu’une perturbation en phase effectuée sur le support de celle-ci.

La pupille d’entrée est supposée circulaire. Ce choix qui peut sembler

arbi-traire –les pupilles d’entrée, notamment en astronomie, sont d’une grande di-versité du fait notamment de la présence d’araignée pour soutenir les miroirs secondaires– se justifie néanmoins comme la forme générique la plus représenta-tive des pupilles d’entrée. Mathématiquement, cela implique que le champ avant perturbation est affecté par la fonction de transparence de la pupille définie ma-thématiquement comme :

I_P=ˆ_√²

πD^IΩD/2 (6.2)

où ΩD/2 correspond à l’élément circulaire central de diamètre D du pavage po-laire. On note la normalisation de la fonction de transparence par rapport à sa surface si bien que l’énergie totale passant par cette pupille est unitaire :

||IP ψi||²2=1 (6.3)

Cette quantité est l’énergie maximale que l’on peut obtenir dans les plans suc-cessifs de propagation. Numériquement, la pupille d’entrée a un diamètre de 64 pixels si bien qu’elle est exactement décrite par un vecteur colonne de 3228 pixels. Chaque pixel contenant dans le disque vaut donc1/^√3228.

Figure 6.1 – Pupille d’entrée considérée pour la totalité de l’exposé. Le support fait 256x256 pixels. La pupille à un diamètre de 64 pixels. Les pixels noirs sont à 0. Les pixels blancs valent1/^√3228 assurant ainsi un flux total du champ incident unitaire.

Notons que le fait de choisir une pupille quatre fois moins grande que le support est lié à l’omniprésence dans les simulations de l’algorithme de Fast Fourier Transform (FFT) qui peut créer des repliements de spectre lorsque le critère de Shannon n’est pas respecté. D’où ce choix d’être à deux fois Shannon dans les simulations.

La pupille d’entrée étant définie, on peut désormais décrire la phase aber-rante. Celle-ci est définie sur le support de la pupille puisque, on le rappelle, il

est impossible de faire de l’analyse de front d’onde là où le flux est nul (cf. cha-pitre4). On choisit comme base de l’espace des phases labase des polynômes de Zernike. Cette base a pour propriété d’être orthonormée pour le produit

sca-laire suivant : <f|g>=¹ π Z 2π 0 dθ Z 1 0 ρdρ f(ρ,θ)¯g(ρ,θ) (6.4)

où (ρ,θ) sont les variables radiale et angulaire du repère polaire. Notons que les polynômes de Zernike sont définis pour une pupille de rayon unitaire mais qu’ils se mettent à l’échelle d’une pupille de rayon D par simple homothétie. Par ailleurs, ce produit scalaire définit une norme appelée norme Root Mean Square (RMS). Les polynômes de Zernike ont donc une norme RMS unitaire. Ces polynômes sont rangés via deux indicesn et m représentant leur degré radial et leur degré azimutal. La dépendance radiale de ces polynômes est donnée par l’équation : R^m_n(ρ)= n−m 2 X k=0 (−1)k(n−k)! k! n+m 2 −k^! n−m 2 −k^!^ρ n−2k (6.5)

La dépendance angulaire est ensuite assurée par les règles suivantes :

Zm

n (ρ,θ)=Rm

n(ρ)cos(mθ) (6.6)

Z_n^−m(ρ,θ)=Rm

n(ρ)sin(mθ) (6.7)

L’ensemble des polynômes de Zernike est ensuite facilement visualisable sous la forme pyramidale suivante :

Z0 0 Z₁⁻¹ Z1 1 Z₂⁻² Z0 2 Z2 2 Z₃⁻³ Z₃⁻¹ Z1 3 Z3 3 Z₄⁻⁴ Z₄⁻² Z0 4 Z2 4 Z4 4

Nous donnons également l’expression explicite des premiers polynômes : Z₀⁰(ρ,θ) = 1 (6.8) Z₁¹(ρ,θ) = 2ρcos(θ) (6.9) Z₁⁻¹(ρ,θ) = 2ρsin(θ) (6.10) Z₂⁰(ρ,θ) = ^√3(2ρ2 −1) ^(6.11) Z2 2(ρ,θ) = ^√6ρ2cos(2θ) (6.12) Z₂⁻²(ρ,θ) = ^√6ρ2sin(2θ) (6.13)

Physiquement, ces polynômes correspondent aux aberrations optiques classiques. Le degré radial 0 décrit le piston. Le degré 1 décrit le tip et le tilt, le degré 2 les deux astigmatismes et l’aberration en focus, etc. On ajoute que les polynômes de Zernike ont (à l’exception du piston Z0

0) une moyenne spatiale nulle. Ceci est parfaitement compatible avec le formalisme du filtrage de Fourier qui, on le rappelle, est insensible au niveau moyen de la phase aberrante, c’est-à-dire à sa composante sur le mode piston.

Pour dénommer les polynômes de Zernike on choisit selon les cas la notation précédenteZm

n mais aussi une notation à un seul indiceZ_j qui correspond à l’ex-ploration de la précédente pyramide du haut vers le bas et de gauche à droite. On donne l’indice 0 au piston si bien que dans le cadre de l’étude on utilise comme base des phases la collection des polynômes{Zj}j∈N∗. On peut d’ailleurs restreindre immédiatement le nombre de polynômes requis pour décrire exacte-ment la phase aberrante puisque celle-ci ne possède au mieux que 3228 pixels, aussi la base numérique maximale pertinente sera{Zj}j∈[[1,3228]]. Le degré radial maximal des polynômes de cette base sera donc de 80. Néanmoins on manipu-lera des bases de plus faible dimension à savoir typiquement de 1000, ceci afin de sur-échantillonner largement la phase pour coller à son caractère physique continu.

Outre l’orthogonalité des polynômes de Zernike, ceux-ci présentent finalement une autre propriété très pratique pour analyser le réponse des ASO en termes

de fréquences spatiales. Il est en effet assez facile de relier le degré radial

des polynômes de Zernike n à une fréquence spatiale notée fn via la relation proposée dans [Conan, 1995] :

fn= ²

πDe(n+1) (6.14)

On a donc désormais en notre possession le champ incident diaphragmé et per-turbé, c’est-à-direψiI_P, qui rentre dans le système optique à Filtrage de Fourier. Il a pour l’instant la forme :

Figure 6.2 – Quatre premiers degrés radiaux des polynômes de Zernike (on oublie le piston qui est invisible aux senseurs à filtrage de Fourier) qui cor-respondent donc à 14 modes. La structure pyramidal suit la structure

Zm

Notons que l’effet d’une modulation tip/tilt sur ce champ perturbé se traduira simplement par l’ajout d’une phase modulée exprimée sur les deux premiers Zernike :

φm(a1,a2)=a1Z₁⁻¹+a2Z₁¹ (6.16)

6.2.3 Propagation

Lorsque l’on observe les diverses intensités et méta-intensités qui émergent de la physique du système de Filtrage de Fourier, on s’aperçoit que la simulation numérique de ceux-ci nécessite d’avoir des algorithmes effectuant des transfor-mées de Fourier 2D, des produits de convolution 2D, ainsi que des intégrales non analytiques pour la modulation.

La transformée de Fourier est facilement réalisable d’un point de vue numé-rique via l’utilisation de la FFT à condition, on le répète, de prendre garde au critère de Shannon. Le produit de convolution numérique dérive quant à lui de cette FFT puisque convoluer dans l’espace direct revient à multiplier dans l’es-pace de Fourier. Pour deux tableaux A et B carrés, de taille identiques, on a donc :

A⋆B=F F T−1

F F T(A).F F T (B)

(6.17) En ce qui concerne les intégrales non analytiques liées à la modulation, il n’y a malheureusement pas d’autres solutions que de les transformer en sommes dis-crètes. Le pas de ces sommes est choisi de telle sorte à échantillonner la fonction de poids à la moitié de la tâche de diffraction ce qui assure une modélisation de la modulation continue.