Méta-intensités

Dans cette section, on explore les possibilités offertes par le traitement nu-mérique des méta-intensités introduites dans le paragraphe 1.1.3 dans le but d’améliorer l’analyse de surface d’onde. On rappelle qu’une telle méta-intensité est sensée créer une bijection entre l’espace des intensités et un nouvel espace dans lequel on peut espérer une linéarité avec la phase. Cette propriété assure notamment que les espaces des phases visibles et invisibles restent stables sous la transformation numériquemI.

L’amélioration éventuelle de la méta-intensité tient essentiellement à la "condensation" de l’information encodant la phase. On peut par exemple ima-giner que certains pixels du détecteur ne varient que très peu avec la phase et qu’il est donc inutile de les traiter lors de la reconstruction du front d’onde. Dans d’autres cas, des coefficients demI peuvent réagir de façon fortement non-linéaire avec la phase, il est donc pertinent de les négliger pour améliorer la linéarité de l’ASO. D’une façon générale, l’enjeu consiste à consentir à une perte d’information sur la phase pour privilégier sa "qualité" d’autant qu’il y a toujours intérêt à minimiser le nombre de données à traiter pour accélérer l’algorithmie de la reconstruction.

On peut d’ores et déjà restreindre la nature des opérations numériques auto-risées puisqu’elles ne doivent pas dégrader la linéarité de la méta-intensité avec la phase. On privilégie donc des transformations induites par des opérateurs eux-mêmes linéaires, à savoir des opérateurs matriciels. Ils se décomposent d’abord en une "mise en forme de l’information" puis en une élimination des coefficients non pertinents.

signal de sortiemI lié à la phase incidente par la relation :

mI(Aφ)=BmIAφ+B(Aφ) (1.27)

On pose m la dimension de mI, b celle de A_φ. La matrice d’interaction a donc une taille dem×b. On rappelle de plus l’inégalité sur son rang :

rang(BmI)≤min(m,b) (1.28)

La matrice de transformation s’appliquant sur cette méta-intensité peut se dé-composer par hypothèses en deux matrices, l’une unitaire O qui combine les

méta-pixels du vecteurmI pour réarranger l’information et l’autre de troncature

T venant recueillir cette information en tronquant le vecteur OmI de dimension

m en un vecteur de dimension m′. Mathématiquement, on a donc :

mI′(Aφ) ˆ=TOmI(Aφ)=TOBmIA_φ+TOB (1.29) On posera évidemment la nouvelle matrice d’interaction B′

mI=TOBˆ mI et le nou-veau bruitB′=TOB. Cette équation est illustrée par le schémaˆ 1.3. On note que

= + T O B_mI T O Aφ B mI^′ 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 B^′ mI m×b m×m m′×m

Figure 1.3 – Transformation matricielle TO effectuée sur une méta-intensité. la matrice unitaire O laisse inchangé le rang de la matrice d’interaction, il n’y

aucune perte d’information sous cette seule opération :

rang(OBmI)=rang(BmI) (1.30)

La matrice de troncatureT (de rangm′≤m) peut quant à elle faire baisser le rang de la nouvelle matrice d’interaction :

rang(B’mI)≤rang(BmI) (1.31)

1.3.1 Conséquences sur les critères de performance

Nombre de méta-pixels. L’association d’opérations TO assure une diminution

des gestions de plus petits tableaux assurent une plus grande rapidité de calcul. En revanche, on a vu que cette diminution était associée à une diminution du rang de la matrice d’interaction. Ceci peut faire que certains modes de phase ne soient plus vus après la transformationTO. On notera cependant que cela peut

aussi permettre d’évacuer les redondances en cherchant à atteindre le ratio idéal d’un méta-pixel par un mode phase ! Cas qui correspond àm′=rang(BmI)=b.

Erreur d’estimation. L’erreur d’estimation après transformation TO sera égale

à R’B′ où R’ est le reconstructeur déduit de B′

mI. On peut donc quantifier l’effi-cacité de ce reconstructeur en étudiant la matrice de sensibilité associée à la nouvelle matrice d’interaction :

S^′=B′

t

mIB^′_mI=Bt

mIO^tT^tTOB_mI (1.32)

On remarque en premier lieu qu’en l’absence de troncature, la matrice de sensi-bilité ne change pas. On retrouve là le fait qu’un transformation purement uni-taire, il n’y a aucune perte d’information mais simplement un réarrangement de celle-ci. Cela veut aussi dire que c’est l’associationconjointe d’une matrice

uni-taire et d’une troncature qui permet de modifier les performances de l’ASO. Pour connaître l’influence d’une transformation TO avec une matrice de troncature,

on étudie la trace de la matrice de sensibilité qui quantifie la capacité globale de l’ASO à transformer le flux lumineux en information sur la phase. On peut notamment montrer qu’elle vérifie :

Tr(S′)≤Tr(S) (1.33)

Autrement dit, il est absolument illusoire de croire améliorer la sensibilité

globale d’un ASO via des opérations numériques. La méta-intensité

conte-nant le plus d’information sera toujours celle qui est la plus proche de l’intensité sur le détecteur.

Si la sensibilité pâtit visiblement des opérations TO, chose essentiellement

néfaste au bon fonctionnement de l’ASO, il faut mettre cette baisse de perfor-mance en balance avec l’atténuation conjointe des termes de perturbations. On se souvient en effet que l’erreur d’estimation est conditionnée tant par la norme de la matrice d’interaction (que l’on veut aussi grande que possible –mais qui baisse sousTO) que par la force de la perturbation. Et heureusement, ces

trans-formationsTO peuvent drastiquement faire diminuer ces perturbations, si bien

que la performance globale de l’ASO peut être améliorée. Ceci est notamment le cas quand la transformation O est capable de mettre sur des méta-pixels

disjoints le signal utile –c’est-à-dire la partie linéaire de la méta-intensité– et les perturbations d’autre part car alors la matrice de troncature permet de ne conserver que les pixels présentant un bon comportement. Ce point sera évoqué

dans le chapitre10ainsi que dans l’annexeB.

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Ce premier chapitre très général a permis d’appréhender les analyseurs de front d’onde comme des dispositifs optiques créant des bijections entre des phases et des intensités. À chaque design est associé un espace de phases descriptibles qu’il est capable de mesurer sans ambiguïté. On a vu que cette estimation est facilitée par la possibilité de construire, à partir de l’intensité, une quantité –appelée méta-intensité– qui contient un terme

linéaire avec la phase. Le formalisme matriciel qui peut alors s’appliquer

permet de construire des reconstructeurs simples ainsi que de définir des critères de performance clairs et indispensables à la comparaison des ASO. Enfin, on a indiqué quel était le potentiel du traitement numérique des méta-intensités quant à l’amélioration éventuelle de leur performance.

On appliquera ces concepts très généraux aux ASO à filtrage de Fourier

dans les chapitres 4 et 6. Notons que cette démarche qui vise à établir un

cadre unifié pour l’analyse de front d’onde est à mettre en parallèle avec celle de [Guyon, 2005].