Un des avantages de notre expérience est que l’on peut forcer la longueur d’onde des rides (au moins sur quelques tours) en créant préalablement un motif sur la piste. Ainsi, il est possible de mesurer la relation de dispersion du système. Pour réaliser un profil initial ondulé dans les expériences, nous avons utilisé le patin motorisé et lui avons imposé une trajectoire sinusoïdale. Ainsi, il est possible d’imprimer sur la piste un motif avec une longueur d’onde minimale de 5 cm et une amplitude de 5 mm. Une fois ce profil créé, on laisse le patin libre d’évoluer à la surface de la piste et on mesure l’amplitude des rides à chaque tour à l’aide du télémètre laser. Cette amplitude peut alors croître ou décroître suivant le régime dans lequel on se trouve. La figure 2.6 présente deux exemples d’amplitudes croissante et décroissante. On remarque alors que l’évolution de l’amplitude des rides se fait de manière exponentielle, au moins sur les quelques premiers tours. On peut alors, sur ces premiers tours, définir le taux de croissance exponentielle des rides σ par : σ = log(A)
n .
Le même protocole a été utilisé dans les simulations numériques. Cependant si l’on ne veut pas que les temps de calculs soit trop longs, on ne peut pas simuler plus de 10000 grains. De plus il paraît déraisonnable d’avoir une piste d’une épaisseur inférieure à une vingtaine de grains. Ceci conduit alors à une longueur de piste de l’ordre de 500 grains. Sachant la longueur d’onde des rides formées numériquement est de l’ordre de
2.2. RELATION DE DISPERSION 71 0 0.5 1 1.5 2 x 104 0 5 10 15 n A (m m ) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 −20 −10 0 10 20 30 x (m) y (m m )
Figure 2.5 –a) Évolution de l’amplitude des rides au cours d’une rampe descen-dante de vitesse pour deux réalisations de la même expérience. b) Profil de la piste dans les deux expériences, on compte 18 rides sur la courbe en rouge et 19 sur celle
en noir. On peut aussi constater que les rides ont une allure quasi-sinusoïdale qui justifie le fait que l’on puisse utiliser la déviation standard du profil pour mesurer l’amplitude des rides.
la centaine de grains, on ne peut créer qu’un nombre très limité de rides sur la piste. Les résultats obtenus sont alors très bruités et impossibles à analyser. C’est pourquoi, nous avons utilisé un autre protocole. Deux patins agissent simultanément sur la piste, l’un a une trajectoire sinusoïdale et donc imprime dans la piste un profil ondulé, l’autre est libre de se déplacer verticalement comme dans les simulations traditionnelles de tôle ondulée. Les deux patins évoluent à la même vitesse sur la piste, qui rappelons-le a des conditions aux limites périodiques. Du point de vue du patin libre, tout se passe donc comme s’il évoluait sur une piste sinusoïdale infinie. Il est alors possible de faire passer le patin libre sur un nombre de bosses arbitrairement grand et de longueur
72 CHAPITRE 2. CARACTÉRISTIQUES DE LA TÔLE ONDULÉE 0 5 10 15 20 25 30 35 40 100 101 n A (m m )
Figure 2.6 – Exemples d’évolutions de l’amplitude des rides en fonction du nombre de tours. Les ronds bleus représentent une vitesse de 1.1 m.s−1 et une longueur d’onde λ = 216 mm. Pour ces valeurs la piste est instable, l’amplitude des rides croît exponen-tiellement pendant les dix premiers tours à partir de l’amplitude initial de 5 mm. Les carrés rouges symbolisent l’amplitude des rides pour une vitesse de 0.8 m.s−1et une longueur d’onde
λ = 273 mm. Dans ces conditions la piste est stable et l’amplitude des rides (initialement de
5 mm) décroit exponentiellement sur plus de quarante tours.
d’onde quelconque (jusqu’à des tailles de 1000 grains dans les simulations que nous avons effectuées). De plus, il est possible de moyenner les trajectoires des deux patins sur une période (voir figure 2.7). Le seul écueil de ce protocole est que le patin libre ne passe qu’une seule fois sur chaque bosse. Toutefois, sous l’hypothèse que l’évolution des rides est exponentielle comme dans les expériences, le rapport entre les amplitudes du mouvement des deux patins permet d’obtenir le taux de croissance σ. On a alors :
σ = log( Alibre
Amodelant), où Alibre et Amodelant sont respectivement l’amplitude du patin libre
et du patin modelant les rides sur la piste.
La figure 2.8 présente les résultats obtenus dans les expériences et les simulations. Le taux de croissance des rides y est représenté en fonction de la longueur d’onde et les différentes courbes symbolisent différentes vitesses. On constate sur cette figure que l’allure des courbes expérimentales et numériques est similaire, ce qui nous conforte dans la validité de nos simulations. On observe également que le taux de croissance dépend de la longueur d’onde. Aux faibles vitesses le taux de croissance est toujours négatif. Ainsi, dans ces conditions n’importe quelle perturbation est lissée. À des vi-tesses élevées, le taux de croissance admet des valeurs positives. La piste est donc instable pour les longueurs d’onde correspondantes. On peut remarquer que la courbe représentant le taux de croissance en fonction de la longueur d’onde est assez plate. Ainsi lorsque que la piste est instable, elle l’est pour toute une plage de longueur d’onde. Ceci explique pourquoi dans les deux expériences discutées précédemment (figure 2.5), on obtient deux longueurs d’onde différentes. Toutes deux sont instables avec des taux de croissance très proches et, sans doute à cause des perturbations initiales, un mode a été plus favorisé que l’autre dans un cas. Puis en diminuant la vitesse, la piste avec
2.2. RELATION DE DISPERSION 73 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 −5 0 5 x/d y /d
Figure 2.7 –Exemple de trajectoire du patin libre (en rouge) lorsque celui-ci suit un
patin avec une trajectoire sinusoïdale (courbe noire). Dans cet exemple, la longueur d’onde forcée est de 250 d et la vitesse des patins de 5 √gd . On constate que dans ces conditions
l’amplitude du patin libre est plus faible que celle du patin modelant la piste. Ceci signifie que pour ces paramètres la piste est stable.
400 600 800 1000 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 λ/d σ 0.1 0.2 0.3 0.4 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 λ (m) σ
Figure 2.8 – Taux de croissance exponentielle des rides. a) Taux de croissance
ex-ponentielle des rides mesuré dans les expériences en fonction de la longueur d’onde et pour différentes vitesses (ronds noirs : v = 1.1 m.s−1, carrés rouges : v = 0.8 m.s−1, losanges bleus
v = 0.6 m.s−1). b) Taux de croissance exponentielle des rides mesuré dans les simulations en fonction de la longueur d’onde et pour différentes vitesses allant de 3√gd à 8√
74 CHAPITRE 2. CARACTÉRISTIQUES DE LA TÔLE ONDULÉE
les 19 rides s’est retrouvée frustrée dans cet état qui devient stable en dessous d’une vitesse de 1.0375 m.s−1 alors qu’avec 18 rides la piste reste instable jusqu’à des vitesses de 1.0125 m.s−1. Chaque longueur d’onde possède donc sa propre vitesse critique. Tou-tefois, on peut définir mathématiquement la vitesse critique vc de l’instabilité de tôle ondulée comme étant la vitesse pour laquelle il existe une unique longueur d’onde λc, telle que σ(vc, λc) = 0.
Jusqu’à présent, on a pu voir que l’instabilité de tôle ondulée séparait deux régimes. Cependant il n’existe encore aucun résultat concernant le type de bifurcation que suit la piste et donc sur l’amplitude de saturation des rides. Dans l’article Bitbol et al. [2009], les auteurs montrent que l’amplitude des rides évolue dans le temps et dépend également de la longueur d’onde. Cependant, il faut rappeler que ces résultats ont été obtenus dans un régime où le patin saute d’une ride à l’autre et ne sont donc pas valables dans ce que nous avons appelé le régime 2. Dans les paragraphes suivants nous nous intéressons donc à l’étude de l’amplitude des rides en fonction de la vitesse du patin.