4 6 8 10 v/√ gd A/d 10 −2 100 100 101 A/d v−vc vc
Figure 2.13 – Diagramme de bifurcation dans les simulations numériques. On
observe ici aussi une bifurcation semblable à une bifurcation super-critique. Le graphe dans l’encadré, correspond à l’amplitude des rides en fonction de l’écart au seuil en échelle loga-rithmique, cette amplitude peut être modélisée par une droite de pente 1/2 symbolisée par la courbe en trait noir.
Finalement, nous avons utilisé deux méthodes expérimentales différentes pour me-surer l’amplitude des rides dans un état stationnaire et il semblerait que le résultat dépende du protocole suivi. Cependant, nous sommes convaincus que l’utilisation de trempes de vitesse est la bonne méthode pour sonder le type de bifurcation que suit le système. De plus les simulations numériques ont fourni le même résultat que les trempes de vitesse. Nous pouvons conclure que l’instabilité de tôle suit une bifurcation fourche super-critique. Il s’agit donc un phénomène à rapprocher des transitions de phase du second ordre.
2.4 Conclusion
Il est tout d’abord important de retenir que ces expériences et simulations de tôle ondulée nous ont permis de retrouver les résultats établis dans la littérature. De façon plus importante, pour la première fois, nous avons établi qu’il existait plusieurs régimes de tôle ondulée. Bien que le régime 3, dans lequel les voitures sautent d’une bosse à l’autre, soit celui que l’on observe sur les routes, c’est le régime 2 qui est le plus
2.4. CONCLUSION 79
intéressant. En effet, dans ce régime la piste se déforme alors que le véhicule est toujours en contact avec elle. Tous les ingrédients physiques de l’instabilité se trouvent donc déjà dans le régime 2, sans toutes les complications qu’implique la non-linéarité du saut de la voiture. De plus, nous avons mesuré expérimentalement et numériquement pour la première fois le taux de croissance des rides. Ces mesures nous ont permis d’interpréter certains phénomènes lors de l’apparition de la tôle ondulée (plusieurs longueurs d’onde possibles et vitesse critique différente selon la longueur d’onde). Également pour la première fois, nous avons mesuré la courbe de bifurcation de l’instabilité de tôle ondulée. Grâce à cette courbe, nous pouvons supposer que l’instabilité suit une bifurcation de type fourche super-critique. De plus, nous avons mis en évidence que le temps nécessaire au système pour atteindre un état stationnaire divergeait (ou au moins augmentait fortement) au voisinage du point critique, ce qui est là aussi une signature d’une bifurcation super-critique ou d’une transition de phase du second ordre.
Toutes ces observations nous permettent de mieux cerner l’instabilité ou tout du moins ses propriétés. Cependant ceci n’explique pas les mécanismes physiques respon-sables de la formation de ces rides. La suite de cette partie présente un modèle de stabilité linéaire reproduisant fidèlement les observations que nous avons faites.
Chapitre 3
Mesures de forces en régime
stationnaire
Sommaire
3.1 Introduction . . . . 82 3.2 État stationnaire . . . . 82
3.2.1 Phénomène d’hystérésis et oscillations . . . 83 3.2.2 Mesure de la masse de sable transportée . . . 86
3.3 Mesure des forces . . . . 88
3.3.1 Spectre de fréquence des forces . . . 88 3.3.2 Influence de la vitesse . . . 89 3.3.3 Influence de l’angle d’attaque . . . 92
3.4 Loi de frottement effectif . . . . 93 3.5 Énergie dissipée . . . . 94
3.5.1 Conclusion des mesures de force en régime stationnaire . . . 95
3.6 Premier modèle . . . . 96
3.6.1 Mise en équation . . . 96 3.6.2 Jerk equation . . . 98
82
CHAPITRE 3. MESURES DE FORCES EN RÉGIME STATIONNAIRE
3.1 Introduction
Tous les modèles d’usure ondulatoire des rails font intervenir deux mécanismes couplés, l’un étant lié à la dynamique du système et l’autre à la déformation des rails. Comme nous l’avons vu dans l’état de l’art, c’est la dynamique des rails ou de la roue des trains qui fixe la longueur d’onde du motif. Donc, si l’on fait une analogie avec l’instabilité de tôle ondulée, c’est la dynamique de la plaque qui est responsable de la longueur d’onde des rides. Or cette dynamique s’écrit très simplement dans le cas que nous étudions ici :
m¨y = fl− mg (3.1) où m est la masse de la plaque et fl la force de portance (lift force) agissant sur la plaque. Ainsi, la dynamique de la plaque est uniquement contenue dans l’expression de cette force de portance. C’est pourquoi nous avons voulu mesurer cette force.
La mesure de forces agissant sur un objet au contact d’un milieu granulaire est un su-jet très actif. On peut par exemple citer les travaux de Wieghardt [1975]; Chehata et al. [2003]; Costantino et al. [2011a]; Ding et al. [2011]; C. R. Wassgren et Karion [2003]; Peng et al. [2009]; Guillard et al. [2013]. Pour la plupart de ces travaux, les forces sont mesurées sur des objets totalement immergés dans un milieu granulaire sec. Récem-ment Seguin et al. (Seguin et al. [2009, 2011]) ont mesuré la force qu’il fallait exercer sur un objet pour le faire pénétrer dans du sable, dans le but d’expliquer la distance de pénétration d’un impacteur (un météore par exemple) dans un milieu granulaire. Ils observent que cette force est simplement proportionnelle à l’enfoncement de l’objet. Des écarts à cette loi linéaire sont toutefois observés du fait de la présence des pa-rois contenant le sable (Costantino et al. [2008]). Récemment Ding et al. [2011] ont pu mettre en évidence un couplage entre force de portance et force de trainée sur un objet totalement immergé et tiré dans un milieu granulaire. Ils observent aussi que ces deux forces sont indépendantes de la vitesse de l’objet. En 2011 Gravish et al. [2010] et en 2012 Guo et al. [2012] ont étudié la force de trainée agissant sur une plaque verticale poussant un monticule de sable. Gravish et al. se sont intéressés à des régimes de basses vitesses (quelques centimètres par seconde, contre 1 m.s−1 dans nos expériences) dans lesquels ils observent des phénomènes intermittents de stick slip et également une forte corrélation entre la force de traînée et la force de portance, tandis que Guo et al. ont mesuré la force de portance agissant sur une plaque verticale lorsqu’elle accumule du sable. Ils en déduisent une généralisation des lois de Coulomb.
Après cette courte revue bibliographique, on peut constater qu’il n’existe aucune expérience destinée à mesurer la force ressentie par une plaque inclinée charriant du sable à des vitesses de l’ordre du mètre par seconde. Nous avons alors utilisé le patin destiné à lisser la piste pour faire cette étude.