B.2 Résultats . . . 174
B.2.1 Loi de Beverloo . . . 174 B.2.2 Bilan d’énergie . . . 178 B.2.3 Cartographie du silo . . . 179 B.2.4 Profil de vitesse et de densité à la sortie de la cuve . . . 182 B.2.5 Conclusions . . . 186
170 ANNEXE B. VIDANGE D’UN SILO
B.1 Introduction
B.1.1 État de l’art
L’écoulement d’un milieu granulaire au travers d’une ouverture est observé dans de nombreux domaines, que ce soit dans l’industrie (la pharmaceutique, les activités minières, l’agriculture) ou bien dans des disciplines telles que la géologie, la physique ou encore l’ingénierie, cela fait ainsi plus d’un siècle que ce type d’écoulement est étu-dié (Hagen [1839]; Beverloo et al. [1961]). Expérimentalement, la décharge d’un silo de grains peut présenter trois régimes. Suivant le rapport entre la taille de l’orifice et la taille des grains, on peut observer : un écoulement continu, un écoulement intermittent ou un blocage complet dû à la formation de voûtes au dessus de l’orifice (Mankoc et al. [2007]). Lorsque l’ouverture est grande devant la taille des grains, on observe un écou-lement continu au cours duquel le débit de grains sortant du silo est constant. Ce débit, noté Q est bien décrit par la loi expérimentale de Berverloo (Beverloo et al. [1961]) :
Q= C√g
d3 (R − κd)5/2, (B.1) où R est le rayon de l’ouverture, d le diamètre des grains et C et κ sont des constantes sans dimension. Les dépendances en loi d’échelle de la relation phénoménologique B.1 vis-à-vis de d, R et g s’interprètent à l’aide d’arguments simples. Tout d’abord, le débit
Q est défini comme l’intégrale double sur la surface de l’orifice du produit de la vitesse verticale des grains par la compacité locale :
Q= 1
¯
m
ZZ
Sρvφ dS, (B.2)
où ¯m est la masse moyenne des grains. Il est possible d’approcher la loi B.2 par :
Q ∼ πR2¯v, où ¯v désigne la vitesse de chute moyenne des grains. Afin d’avoir une expression de la vitesse de sortie, on suppose généralement qu’il existe une région au dessus de l’orifice dans laquelle les grains sont en chute libre. Cette zone hypothétique, d’abord rapportée comme parabolique (Hagen [1839]; Brown et Richards [1970]), a récemment été plutôt décrite comme hémisphérique (Hilton et Cleary [2011]). Celle-ci possède une taille comparable à celle de l’orifice, si bien que les grains, en chute libre sur une distance de l’ordre de R, s’échappent du silo avec une vitesse moyenne ¯v =√2gR. Finalement, on obtient la loi d’échelle suivante pour Q :
Q ∼√gR5/2. (B.3) Cette relation donne cependant un débit de grains non nul lorsque la taille du trou est plus petite que la taille d’un grain. Pour remédier à cela et prendre en compte les effets de bords, on introduit une taille effective Ref f telle que Ref f = R − κd. Le coefficient κ est sans dimension et expérimentalement sa valeur est comprise entre 0.5 et 1.5 (Nedderman et al. [1982]) bien que Zhang et Rudolph [1991] ont affirmé que la seule valeur possible pour κ est 0.5. Ainsi, il n’y a pas d’écoulement dès que R/d < κ. Pour un écoulement à deux dimensions, la loi est simplement modifiée en :
B.1. INTRODUCTION 171
Comme nous l’avons déjà mentionné, le débit de grains Q est constant tout au long de la décharge du silo. Ceci n’est pas le cas pour un fluide visqueux pour lequel le débit dépend linéairement de la hauteur de remplissage du silo. L’explication la plus courante de ce phénomène est fondée sur l’effet Janssen (Clément et al. [1997]; Ovarlez et al. [2001, 2003]; Vanel et al. [2000]). À cause du frottement grains/grains et grains/parois le poids de la colonne de grains est dirigé sur les murs du silo. Ainsi, en remplissant un silo, la pression sur le fond augmente puis sature dès que la hauteur de grains est de l’ordre de quelques diamètres du silo. Au delà de cette hauteur caractéristique, le poids des grains que l’on rajoute dans le silo est entièrement soutenu par les parois. Ceci explique pourquoi les silo de grains ont une architecture différente de celle des cuves contenant des liquides. Un défaut de construction d’un tel silo peut alors entraîner son effondrement comme illustré sur la figure B.1.
Figure B.1 – Photographies de deux silos effondrés. a) Silo menaçant de tomber
à Gouézec en Bretagne. Un défaut de stabilisation du silo est à l’origine de l’effondrement de ce silo contenant 1200 tonnes de maïs (source : http://www.letelegramme.com). b) Silo contenant des graines de lin et qui s’est effondré au cours de sa vidange. La structure du silo n’a pas pu soutenir les efforts dus à une vidange excentrée, l’ouverture se situant sur la paroi et non au fond de la cuve. (source : http://www.grainscanada.gc.ca).
Au-delà d’une certaine hauteur, la pression sur le fond du silo ne dépend pas du rem-plissage, et donc le débit de grains non plus. Toutefois, ceci suppose deux hypothèses. La première est que l’effet Janssen est valide lors de la décharge du silo. Ceci reste à prouver. Le deuxième point est que cette interprétation suggère que le débit est imposé par la pression des grains sur le fond du silo. Cependant, en 2010 Aguirre et al. [2010] ont montré que ceci n’est pas le cas. Bien que leur expérience soit horizontale et en deux dimensions, les auteurs montre que la pression sur le fond du silo décroit au cours du temps alors que le débit reste constante. Récemment, Perge et al. [2012] ont mesuré cette pression en différents points du fond d’un silo cylindrique et vertical au cours de la
172 ANNEXE B. VIDANGE D’UN SILO
décharge. Ils ont observé le même phénomène : la pression diminue au cours du temps et n’est donc pas constante contrairement au débit. Celui-ci n’est donc pas contrôlé par la pression sur le fond. Leur conclusion est alors que l’effet Janssen n’est pas la cause de la constance du débit de grains et que l’origine physique du débit de grains reste alors floue.
La mesure des forces agissant sur les parois et le fond de la cuve ne permettant pas d’obtenir d’information sur le mécanisme qui fixe le débit de grains, il est alors nécessaire de regarder en détail la dynamique des grains à l’intérieur du silo. Pour cela, les simulations numériques sont un outil d’étude commode. En effet, comme nous l’avons déjà mentionné, dans les simulations nous pouvons connaître à chaque instant l’état du système, c’est-à-dire, l’ensemble des positions et vitesses des grains ainsi que des contraintes agissant sur ceux-ci. Nous avons alors réalisé des simulations numériques de la vidange d’un silo. Ces simulations de dynamique moléculaire de sphères molles à deux dimensions reprennent l’algorithme présenté dans le chapitre 1.2.