Reconstructions spatio-temporelles

Au lieu de subdiviser l’acquisition en tranches temporelles ind´ependamment recons-truites, des techniques ont ´et´e d´evelopp´ees pour reconstruire directement la distribution spatio-temporelle d’activit´e. Cela permet d’exploiter la corr´elation temporelle entre les frames et d’am´eliorer le rapport signal-sur-bruit des images reconstruites. Pour cela, l’activit´e est d´ecompos´ee sur une base de fonctions spatiales (typiquement les voxels) et temporelles. L’id´ee est, `a partir d’un certain nombre de fonctions de base temporelles, de reconstituer les cin´etiques de l’image (les courbes d’activit´e temporelle (TAC)) par combinaison lin´eaire de ces fonctions de base. La courbe d’activit´e s’exprime de la fa¸con suivante : f (j, t) = N X n=1 w_jnb_n(t)

o`u f (j, t) repr´esente l’activit´e dans le voxel j et au temps t ; w<sub>jn</sub> la pond´eration spa-tiale associ´ee `a la fonction temporelle n dans le voxel j, b_n(t) la valeur de la fonction temporelle de base n ´evalu´ee au temps t . Dans chaque voxel, les contributions des cin´etiques de base sont donn´ees par les pond´erations w_jn. Plusieurs m´ethodes utilisant cette approche ont ´et´e d´evelopp´ees et elles diff`erent principalement de par les fonctions temporelles utilis´ees.

Base temporelle pr´ed´efinie et fix´ee

Les fonctions de base temporelles peuvent ˆetre pr´ed´efinies et fix´ees. Dans ce cas, le probl`eme de la reconstruction revient `a estimer les pond´erations spatiales (sous une contrainte de positivit´e). Nous allons r´esumer les approches de Matthews et al. [MBPC97] et Nichols et al. [NQAL02].

1. Matthews et al. [MBPC97] utilisent une base de fonctions temporelles exp´erimentales obtenues par une d´ecomposition en valeurs singuli`eres d’images reconstruites par r´etroprojection filtr´ee ou des donn´ees issues de populations. Ces fonctions ´etant ainsi fix´ees, ils calculent les pond´erations spatiales associ´ees en utilisant l’algorithme EM.

´

Etat de l’art de la reconstruction dynamique en TEP

temps tk) s’exprime par :

f (j, tk) =

N

X

n=1

wjnbn(tk)

o`u b_n(t_k) est la valeur de la cin´etique n ´evalu´ee au temps t_k de la frame k et w_jn son poids dans le pixel j.

Pour d´ecrire plus en d´etails cette approche, on d´efinit par W = {Wjn, j = 1, . . . , J, n = 1, . . . , N} o`u Wjn repr´esente le nombre de comptages ´emis par le pixel j, dˆu `a la cin´etique n et d´etect´es pendant toute la dur´ee du scan. Comme dans ML-EM, ils supposent que

W_jn∼ Poisson(ψjn) avec ψjn = E(Wjn).

Si on d´esigne par

– Bt_kn la probabilit´e qu’une ´emission ait lieu pendant la k<sup>`eme</sup> frame temporelle sachant qu’elle provient de la cin´etique n. Cette probabilit´e est obtenue en cal-culant l’aire sous la courbe temporelle n pour la dur´ee de la frame k, divis´ee par l’aire totale de la courbe (sur toute la dur´ee du scan). Cela ´equivaut `a d´efinir B_tkn= ^btkn

P

kb_tkn

– A_ij la probabilit´e qu’une ´emission soit d´etect´ee par la LOR i sachant qu’elle a eu lieu au pixel j.

Si les mesures sont l’ensemble des y_itk (nombre d’´ev`enements d´etect´es dans la LOR i pendant la dur´ee t_k) alors A_ijB_tkn repr´esente la probabilit´e de d´etecter un ´

ev`enement dans la LOR i pendant la frame k sachant que l’´emission a eu lieu dans le pixel j et la cin´etique n. L’algorithme ML-EM peut alors ˆetre utilis´e (cf. section

4.2.3) pour estimer les ψ_jn en substituant f par ψ, y_i par y_itk et a_ij par A_ijB_tkn. La m´ethode n´ecessite donc de choisir les fonctions de base temporelles b_tkn (et par l`a les probabilit´es Bt_kn). Matthews et al l’obtiennent

– par d´ecomposition en valeurs singuli`eres SVD sur des images pr´ealablement reconstruites par FBP : l’id´ee est d’extraire les cin´etiques extr´emales telles que toutes les autres s’obtiennent par combinaison lin´eaire de ces cin´etiques.

– en utilisant des TAC issues d’une base de donn´ees collect´ees sur des recons-tructions provenant d’autres patients et o`u les cin´etiques sont extraites en consid´erant les concentrations moyennes d’activit´e dans les r´egions d’int´erˆet. Dans les r´esultats qu’ils produisent, on observe une am´elioration visuelle dans les images param´etriques reconstruites avec cependant des biais lors d’une exp´erience avec deux isotopes. Par ailleurs, le succ`es de cette approche est compl`etement d´ependante des fonctions dynamiques choisies.

2. Nichols et al. [NQAL02] ont recours `a une base de fonctions B-splines cubiques pour mod´eliser les courbes temporelles et seules les pond´erations sont `a estimer. Ils utilisent le stockage des donn´ees en mode liste et mod´elisent la fonction d’in-tensit´e de chaque voxel j par une combinaison lin´eaire de B-splines cubiques,

η(j, t) =

N

X

n=1

avec η(j, t) ≥ 0 pour tout t o`u η(j, ·) est la fonction d’intensit´e du voxel j, wjn

la contribution de la i`eme fonction de base sur le voxel j, b<sub>n</sub> la i`eme fonction de la base des B-splines.

Soit a_ij la probabilit´e de d´etecter sur la paire de d´etecteurs i une ´emission ayant eu lieu dans le voxel j. En supposant que les probabilit´es de d´etection sont ind´ependantes et invariantes dans le temps, alors la d´etection en co¨ıncidence au niveau de la LOR i est un processus de Poisson non-homog`ene dont la fonction d’intensit´e s’exprime par

λ(i, t) =

J

X

j=1

a_ijη(j, t) (5.7)

o`u η(j, t) est donn´ee dans l’´equation 5.6. Ils expriment alors la log-vraisemblance des donn´ees du comptage list-mode, d’intensit´e λ(i, t), vue comme une fonction des poids w ={wjn, j = 1, . . . , J, n = 1, . . . , N}. Dans l’approche propos´ee, cette vraisemblance est modifi´ee par l’introduction de trois termes de p´enalit´e. Puis un algorithme de gradient conjugu´e est utilis´e pour l’optimisation de la fonction de coˆut.

Sur des examens en TEP c´er´ebrale, les auteurs ont montr´e que cette approche r´ealise un meilleur compromis entre le biais et la variance que les reconstructions statiques multi-frames effectu´ees avec l’approche MAP. Cependant, cette m´ethode utilise plusieurs termes de p´enalit´e pour imposer des contraintes de douceur et de positivit´e. En effet, le crit`ere `a maximiser est donn´e par

L(w|D) − αρ(w) − βφ(w) − γν(w) o`u

– L(w|D) est la vraisemblance des donn´ees,

– ρ(w) est un terme de r´egularit´e temporelle, donn´e dans chaque voxel j par l’int´egrale de la courbure de η_j au carr´e,

– φ(w) est un terme de r´egularit´e spatiale et choisie comme ´etant une contraint quadratique

– ν(w) terme de p´enalit´e de la n´egativit´e. – α, β et γ sont des param`etres de r´eglage.

Cela pose aussi le probl`eme du choix des param`etres de r´eglage. Dans [NQAL02], les param`etres α et β sont ajust´es de telle sorte `a obtenir la mˆeme r´esolution que dans les examens cliniques.

Base temporelle ajust´ee pendant la reconstruction

Plutˆot que de fixer la base temporelle, cette derni`ere peut ˆetre ajust´ee pendant la reconstruction. Dans ce cas on proc`ede `a une estimation conjointe des fonctions de base temporelles et des pond´erations spatiales. Reader et al. [RSC+06] adoptent ce principe et cherchent la base fonctionnelle qui ajuste au mieux le jeu de donn´ees. Pour cela, l’algorithme EM en 4D est utilis´e pour estimer alternativement les fonctions de base temporelles et leurs pond´erations.

Dans un premier temps, la distribution spatio-temporelle est d´ecompos´ee suivant f (j, t) =

N

X

n=1

´

Etat de l’art de la reconstruction dynamique en TEP

o`u bn d´esigne les fonctions temporelles, N le nombre de ces fonctions temporelles, wjn

les pond´erations pour j = 1, . . . , J (o`u J est le nombre de voxels) et t = 1, . . . , F (F est le nombre d’indices temporels). La relation peut s’´ecrire sous forme matricielle

f = Bw

o`u f est un vecteur de taille J F contenant la concentration d’activit´e dans chaque voxel du champ de vue et `a chaque temps, B est une matrice de taille J F× JN contenant les fonctions de base temporelles et w un vecteur de taille J N contenant les pond´erations de chacune des fonctions temporelles dans chacun des voxels. Dans cette premi`ere ´etape, les fonctions spatio-temporelles sont fix´ees et les pond´erations spatiales sont `a estimer. En consid´erant les projections spatio-temporelles, on peut ´ecrire

¯

y = Af = ABw

o`u A est la matrice de projection spatio-temporelle, de taille IF × JF (o`u I est le nombre de LOR) contenant les probabilit´es qu’une ´emission provenant du voxel j soit d´etect´ee par la LOR i pour chaque temps t. Elle est consid´er´ee comme invariante dans le temps et consiste en F r´eplicats de la matrice statique. En mod´elisant les donn´ees y_i par des variables de Poisson de param`etres ¯y<sub>i</sub>, l’algorithme ML-EM (cf. section 4.2.3) peut ˆetre utilis´e pour estimer les pond´erations en consid´erant comme matrice syst`eme AB. La mise `a jour des poids s’effectue alors suivant :

w^(k+1) = ^w

(k)

BTATI^B

TA^{T y}

ABw(k).

La deuxi`eme ´etape de l’algorithme consiste `a mettre `a jour les fonctions de base temporelles en consid´erant les poids w fix´es. Pour cela, ils proc`edent `a un r´earrangement entre les coefficients connus et inconnus. La d´ecomposition de f consid´er´ee est la suivante

f = M t

o`u M est une matrice J F × F C contenant les pond´erations spatiales et t un vecteur de taille F N contenant les N fonctions temporelles pour chaque temps. Les projections s’´ecrivent alors

¯

y = AM t.

De la mˆeme mani`ere que pour les pond´erations, l’algorithme ML-EM est utilis´e avec cette fois-ci comme matrice-syst`eme AM et la mise `a jour des fonctions temporelles s’effectue suivant, t^(k+1)= ^t (k) MTATI^M TA^{T y} AM t(k).

Cette m´ethode de reconstruction utilise toute la dynamique temporelle disponible et permet d’am´eliorer le rapport signal-sur-bruit dans les images reconstruites, en compa-raison avec des reconstructions statiques multi-frames r´ealis´ees avec l’algorithme ML-EM. L’inconv´enient de cette technique r´eside dans le fait que la r´egularisation du probl`eme d´epend du nombre de fonctions choisies. En effet, cette approche requiert de sp´ecifier `a l’avance le nombre de fonctions temporelles. Ce choix est critique car ce nombre doit ˆetre assez grand pour pouvoir repr´esenter toutes les cin´etiques pr´esentes mais pas trop au risque de d´egrader la reconstruction. Par exemple sur des donn´ees bruit´ees, il a ´et´e not´e que les cin´etiques pr´esentes ne sont bien repr´esent´ees que si le nombre de fonctions temporelles est inf´erieur au nombre de frames.