Formulation bay´ esienne du probl` eme non param´ etrique

L’information physique d’int´erˆet est l’intensit´e d’´emission spatiale f du processus de Poisson. Nous consid´erons qu’une version normalis´ee de cette intensit´e, `a savoir la densit´e d’´emission spatiale, est une quantit´e d’int´erˆet suffisante en tomographie d’´emission.

Comme nous l’avons d´ej`a soulign´e, en TEP chaque ´ev`enement en co¨ıncidence est affect´ee `a une ligne virtuelle (LOR) joignant les centres des deux d´etecteurs. Nous avons vu qu’une LOR l est caract´eris´ee par les param`etres d´efinissant sa position dans l’espace des d´etecteurs. Nous construisons une correspondance entre les param`etres des LOR et l’indice l de telle sorte que la variable y<sub>i</sub> corresponde `a l’indice de la LOR ayant enregistr´e la i<sup>`eme</sup> co¨ıncidence observ´ee. Plus pr´ecis´ement, l’observation y<sub>i</sub> d´esigne les coordonn´ees de la LOR qui joint les deux d´etecteurs ayant enregistr´e les photons en co¨ıncidence issus de l’annihilation des positons ayant eu lieu en x<sub>i</sub>. Le probl`eme de reconstruction se formule alors ainsi dans le cadre bay´esien non param´etrique pour les probl`emes inverses :

G∼ G F (·) = Z X P (·|x) G (dx) y_i|F ^iid∼ F, pour i = 1, . . . , n (4.6) – X d´esigne l’espace-objet,

– y = {y1, . . . , y_n} est l’ensemble des observations distribu´ees suivant F ,

– G est une mesure de probabilit´e al´eatoire distribu´ee suivant G et d´efinie sur (X , σ(X )),

– P(·|x) est une loi de probabilit´e connue, d´efinie sur (Y, σ(Y)).

Dans le contexte de la TEP,

– X est une r´egion born´ee de R3. C’est l’espace dans lequel la reconstruction doit ˆetre effectu´ee,

– y = {y1, . . . , y_n} d´esigne l’ensemble des indices des LORs,

– G est la distribution spatiale dont la densit´e f_G (densit´e d’´emission spatiale) est `

Nouvelle m´ethode BNP de reconstruction 3D

– P(·|x) est la distribution de projection. C’est la distribution donnant la probabilit´e de d´etecter une paire de photons dans une LOR l sachant une ´emission ayant eu lieu en x. Nous reviendrons plus loin sur sa mod´elisation mais signalons d’ores et d´ej`a que dans les approches statistiques bas´ees sur la discr´etisation de l’espace (ML et MAP), cette loi de probabilit´e est discr´etis´ee et repr´esent´ee sous la forme de la matrice appel´ee matrice-syst`eme.

Dans la formulation4.6 du probl`eme inverse, G(·) repr´esente la distribution spatiale correspondant aux ´ev`enements enregistr´es. Nous avons d´ej`a soulign´e dans la section

4.2.1 qu’en 3D on est en pr´esence de donn´ees tronqu´ees et toutes les LOR ne sont

pas observables. La sensibilit´e du syst`eme est alors d´ependante de la position du point d’annihilation dans le champ de vue. Si l’on suppose que l’on a des d´etecteurs parfaits et qu’il n’y a pas de milieu att´enuant alors la probabilit´e de d´etecter la paire de photons r´esultante dans un couple de d´etecteurs est purement g´eom´etrique. Elle est donn´ee en 3D par l’angle solide form´e par les deux d´etecteurs vus depuis le point d’annihilation. Lorsque la distance radiale augmente, la distance entre les deux d´etecteurs va diminuer (et par l`a, la surface d´elimit´ee par les d´etecteurs) entrainant une diminution de l’angle solide. De ce fait, l’enregistrement d’un ´ev`enement en co¨ıncidence est plus probable lorsque l’annihilation a eu lieu pr`es du centre du syst`eme. Afin de prendre en compte ces effets, nous introduisons une LOR virtuelle indic´ee par 0 repr´esentant les ´ev`enements non observ´es et la variable al´eatoire y^∗ = (y > 0) pour d´esigner une LOR r´eelle (ayant enregistr´e une co¨ıncidence). Partant de ces remarques, on note que dans l’´equation4.6, le conditionnement sur y^∗ est implicite, c’est-`a-dire que G(dx) = G<sup>∗</sup>(dx|y∗) o`u G^∗(dx|y∗) est la distribution de x conditionn´ee au fait que la co¨ıncidence a ´et´e enregistr´ee. On peut l’exprimer par r`egle de Bayes de la fa¸con suivante

G^∗(dx|y^∗) = ^{P (y} ∗ |x) G†(dx) P(y^∗) ^{. (4.7)} Ce qui ´equivaut `a G^†(dx) = ^G ∗(dx|y∗ ) P(y^∗) P (y^∗|x) ^(4.8)

o`u G<sup>†</sup>(·) est la distribution spatiale de tous les ´ev`enements (enregistr´es et non enre-gistr´es) et pour tout x ∈ X , P (y∗|x) = PL

l=1P(y = l|x) est la probabilit´e qu’une ´emission localis´ee en x soit enregistr´ee par le syst`eme, en prenant en compte la g´eom´etrie du syst`eme et ses propri´et´es physiques. Son expression est explicit´ee dans le para-graphe qui suit. Puisque G^†(dx) est une version normalis´ee de ^{G∗(dx|y∗)}

P(y^∗|x) (cf. ´equation

4.8), l’inf´erence sur la loi a posteriori G^∗(dx|y∗)|Y suffit pour estimer la loi a poste-riori G^†(dx)|Y d`es lors que P (y∗|x) > 0 pour tout x ∈ X (c’est-`a-dire que tout lieu d’´emission dans l’espace-objet est potentiellement observable).

Pour des raisons de simplicit´e dans les notations, dans le reste de cette section, nous omettons le conditionnement sur y^∗ puisque dans l’inf´erence nous ne traitons que les ´ev`enements enregistr´es. On utilisera donc G(dx) pour repr´esenter G<sup>∗</sup>(dx|y∗), la distribution correspondant `a un ´ev`enement enregistr´e.

Mod´elisation de la distribution de projection

On mod´elise le projecteur par une loi de probabilit´e P(y|x) que l’on appellera distribution de projection. Cette loi de probabilit´e est enti`erement d´etermin´ee par la

donn´ee des probabilit´es P(y = l|x) pour tout x, de coordonn´ees spatiales (x1, x2, x3), et appartenant au champ de vue du tomographe. Soit donc P(y = l|x) la probabilit´e conditionnelle qu’une paire de photons soit d´etect´ee dans le TOR l sachant que l’an-nihilation a eu lieu en x. La probabilit´e d’enregistrer une ´emission par le syst`eme est P(y^∗|x) = PL

l=1P(y = l|x) ≤ 1 et la probabilit´e que l’´emission ne soit pas enregistr´ee P(y = 0|x) = 1 − P(y∗|x). On rappelle que la notation y = 0 repr´esente un ´ev`enement non observ´e.

Dans les travaux li´es `a cette th`ese, le projecteur est d´etermin´e par la probabilit´e g´eom´etrique qu’une paire de photons soit enregistr´ee dans le TOR l sachant que l’an-nihilation est localis´ee en x. Cette probabilit´e est obtenue en calculant l’angle solide d´elimit´e par le TOR, vu `a partir du point x. Si le TOR l met en jeu le couple de cap-teurs i et j, cette probabilit´e s’obtient par int´egration dans les domaines angulaires des coordonn´ees sph´eriques :

P(y = l|x) = ¹ 4π Z 2π 0 Z π −π 1 (D(x, φ, θ)∈ Ci) 1 (D(x, φ, θ)∈ Cj) sin θ dφ dθ,

o`u D(x, φ, θ) ∈ Ci signifie que la droite passant par x, d’azimuth φ et de z´enith θ intercepte le capteur i.

Dans le cas g´en´eral, cette expression n’a pas de forme analytique. On y rem´edie en assimilant chacun des capteurs `a un petit rectangle vertical. Ce mod`ele est l´egitime pour tout instrument r´eel pr´esentant une forme cylindrique, sans n´ecessairement une sym´etrie de r´evolution. Chaque capteur i doit pouvoir simplement ˆetre d´ecrit par quatre points dans l’espace. Soient A_i, B_i, C_i et D_i ces quatre points, de coordonn´ees :

• Ai(xi₁, yi₁, zi₁)T, • Bi(xi₂, yi₂, zi₁)^T, • Ci(xi₁, yi₁, zi₂)T, • Di(xi₂, yi₂, zi₂)T.

Les capteurs sont suffisamment petits pour que l’on puisse approximer, avec tr`es peu d’erreurs, cet angle solide par le produit de deux angles de vue correspondant `a la pro-jection sur deux plans orthogonaux. L’un,H1, est un plan normal `a l’axe x₃; le second, H2, est le plan passant par les axes verticaux de chacun des capteurs. Autrement dit, si on note respectivement par V_i et V_j les axes verticaux des capteurs i et j, alors V_i est la droite passant par les points M_i (milieu du segment [A_i, B_i]) et N_i (milieu de [C_i, D_i]) (voir Figure 4.8).

On d´efinit pour tout point p du plan et pour tous segments s₁ et s₂ de ce mˆeme plan, la fonction suivante :

P V (p, s₁, s₂) = ¹ π

Z π 0

1(D(p, θ)∈ s1) 1(D(p, θ)∈ s2) dθ

o`u D(p, θ)∈ s signifie que la droite passant par p et d’angle θ coupe le segment s. Si on d´esigne par |H₁ la projection sur H1, on a alors

P(y = l|x) ≈ P V (x|H1, Ci|H1,Cj|H1) P V (x|H2, Ci|H2, Cj|H2) o`u :

Nouvelle m´ethode BNP de reconstruction 3D x3 x uj u ui H2 Nj Ai Ci Di Dj Bj Cj Mj Mi Ni Bi Di Mi Ni Ai Ci Mj Nj Aj Cj Bj Dj 0 0 H1 H2 H1 x2 x1 x x1 x2 x1

Figure 4.8 – Sch´ema de deux capteurs i et j et des deux angles de vue `a partir du point x. x|H1 = (x₁, x₂)^T Ci|H₁ = [(xi₁, yi₁)T, (xi₂, yi₂)T] Cj|H1 = [(xj₁, yj₁)^T, (xj₂, yj₂)^T] et x|H2 = (u, x₃)^T Ci|H₂ = [(u_i, zi₁)T, (u_i, zi₂)T] Cj|H2 = [(u_j, zj₁)^T, (u_j, zj₂)^T]

avec u, u_i et u_j d´esignant les abscisses des points x, M_i et M_j dans un rep`ere du plan H2.

La fonction P V se calcule ensuite de la mani`ere suivante. On rep`ere parmi les quatre points constituant les extr´emit´es des segments s₁ et s₂, les deux points p₁(p_1x, p_1y) et p₂(p_2x, p_2y) qui encadrent l’angle de vue (cf. Figure4.9). L’expression de la fonction est

alors P V (p(px, py), s1, s2) =      1

π| arctan(^{dy2dx1− dy1dx2}

dx1dx2 + dy1dy2⁾| si dx1dx2 + dy1dy2 6= 0 1 2 ^sinon. avec dx1 = p_1x− px, dy1 = p_1y− py, dx2 = p_2x− px et dy2 = p_2y− py. p p p p p1 p1 p1 p1 p2 p2 p2 p2

Figure 4.9 – Illustration de l’angle de vue en fonction de la position du point p dans le tube de r´eponse. L’angle de vue en un point x est donn´e par l’angle maximal que peuvent former les rayons passant par ce point et qui sont tels que la d´etection en co¨ıncidence puisse avoir lieu dans le tube.

Apr`es une caract´erisation probabiliste du syst`eme physique et de ses propri´et´es g´eom´etriques, nous allons maintenant nous int´eresser `a la mod´elisation des donn´ees.

Loi a priori sur la distribution d’activit´e

Dans la r´egularisation bay´esienne, on munit les inconnues du mod`ele de lois a priori. Dans le contexte bay´esien non param´etrique, cette loi a priori porte directement sur la loi G et s’exprime par G∼ G, o`u G est une distribution sur des distributions, i.e, chaque tirage suivantG est une mesure de probabilit´e sur X . On dit alors que G est une mesure de probabilit´e al´eatoire. La loi a priori que nous avons utilis´ee pour la densit´e f_G de G est un m´elange par processus de Pitman-Yor (PYM) (cf. chapitre 2, paragraphe 2.3.3). Nous rappelons que l’id´ee des PYM est de convoluer une mesure discr`ete g´en´er´ee par un processus de Pitman-Yor (PYP) avec une fonction continue param´etrique afin d’obtenir un a priori sur une densit´e. Plus pr´ecis´ement, soit H une mesure de probabilit´e g´en´er´ee

Nouvelle m´ethode BNP de reconstruction 3D

suivant un processus de Pitman-Yor, H(·) = ∞ X k=1 w_kδ_θ∗ k(·)

Pour obtenir un PYM, la fonction H est convolu´ee avec un noyau continu φ(·|θ). Dans notre cas, il s’agit d’une gaussienne 3D de param`etres θ = (m, Σ) o`u m repr´esente le vecteur moyen et Σ la matrice de covariance. Ceci conduit `a la loi a priori suivante sur la densit´e de G, f_G(x) = Z φ(x|θ)H(θ)dθ = ∞ X k=1 w_kfN(x|θ^∗k).