Formulation du probl` eme

evoqu´es dans la reconstruction 3D et dˆus en grande partie `a la r´esolution spa-tiale limit´ee du tomographe, mais aussi `a la discr´etisation spatiale, peuvent conduire `a des analyses biais´ees. En effet, un voxel peut regrouper plusieurs tissus lesquels peuvent avoir des cin´etiques diff´erentes. La cin´etique mesur´ee dans un voxel peut donc correspondre `a un m´elange de cin´etiques issues de tis-sus diff´erents. Le probl`eme sera de retrouver les cin´etiques pures, c’est-`a-dire caract´erisant une structure fonctionnelle sp´ecifique, `a partir des cin´etiques observ´ees.

• Dans ce contexte, l’approche que nous visons doit permettre de :

1. substituer aux m´ethodes de reconstruction classiques, une reconstruction di-recte des volumes fonctionnels dans un espace spatio-temporel continu, s’af-franchissant ainsi de toute discr´etisation spatiale ou dans le temps.

2. d´eterminer quantitativement et objectivement les volumes fonctionnels. Cette d´etermination est quantitative dans la mesure o`u l’on doit se prononcer sur l’incertitude associ´ee `a la reconstruction (ce qui est important en faible dose) et objective puisque le nombre, le positionnement, et l’extension des volumes fonctionnels ne sont pas d´efinis au pr´ealable.

Nous proposons une technique originale de reconstruction cherchant `a atteindre ces objectifs, tout en restant robuste lorsque le rapport signal-sur-bruit des donn´ees acquises est d´egrad´e, permettant ainsi de diminuer la dose inject´ee au patient sans nuire `a la qualit´e de l’interpr´etation de l’examen. Pour ce faire, nous abordons le probl`eme de reconstruction 4D et d’extraction des volumes fonctionnels dans un cadre bay´esien non param´etrique. Cela revient `a appr´ehender la question sous la forme d’un probl`eme inverse de classification, segmentation et estimation spatio-temporel o`u les nombres de composantes spatiales mais aussi temporelles doivent ˆ

etre inf´er´ees. En effet, l’identification des volumes fonctionnels n´ecessite de pouvoir identifier les r´egions spatiales pr´esentant un fonctionnement cin´etique similaire. L’abord de la reconstruction spatio-temporelle dans un cadre non param´etrique a pour cons´equence que le nombre et la forme de ces cin´etiques sont inconnues, en cela r´esident l’originalit´e et aussi la difficult´e du probl`eme.

5.5 Nouvelle m´ethode de reconstruction en TEP 4D

Pour la reconstruction spatio-temporelle, nous proc´edons comme dans le cadre sta-tique 3D c’est-`a-dire que la concentration de traceurs au cours du temps est consid´er´ee comme une distribution de probabilit´e spatio-temporelle dans R4.

5.5.1 Formulation du probl`eme

On s’int´eresse `a l’estimation de la densit´e de la distribution spatio-temporelle d’´emission. On suppose que les donn´ees sont stock´ees sous le format liste. Si on consid`ere les donn´ees brutes non-corrig´ees et que l’on n´eglige le temps mort, le processus de comptage est un processus de Poisson non-homog`ene (non-homog`ene car la fonction d’intensit´e du processus varie dans le temps `a cause de la d´ecroissance radioactive). La

fonction d’intensit´e du processus de Poisson est proportionnelle `a la densit´e d’´emission spatio-temporelle. Nous nous int´eressons `a cette densit´e.

Dans le format liste, les donn´ees sont param´etr´ees par quatre param`etres spatiaux d´efinissant la position de la LOR impliqu´ee dans la d´etection et le temps d’arriv´ee des photons. Les donn´ees spatio-temporelles mesur´ees sont donc d´efinies par cinq pa-ram`etres. En construisant une correspondance entre les param`etres des LOR, on note par y<sub>i</sub> l’indice de la LOR correspondant `a la i`eme co¨ıncidence observ´ee et par t<sub>i</sub> le temps d’arriv´ee enregistr´e. Le probl`eme de reconstruction se formule ainsi dans le contexte bay´esien non param´etrique

G∼ G F (·, t) = Z X P (·|x) G (dx, t) y_i, t_i|F ^iid∼ F, pour i = 1, . . . , n (5.8)

o`u G(·, ·) est une mesure de probabilit´e al´eatoire distribu´ee suivant G, d´efinie sur (X × T , σ(X ) ⊗ σ(T )) avec X ⊂ R3, T ⊂ R+; G(·, ·) est la distribution d’´emission spatio-temporelle des ´ev`enements enregistr´es qui est `a estimer `a partir des observa-tions F -distribu´ees (Y, T) = {(y1, t₁), . . . , (y_n, t_n)}. Enfin, P(·|x) est une distribution de probabilit´e connue, d´efinie sur (Y, σ(Y)) et appel´ee distribution de la projection.

La nature incompl`ete des donn´ees induit des pertes d’´ev`enements (cf. section 4.3.1). On d´efinit la densit´e d’´emission spatio-temporelle de tous les ´ev`enements par

G^†(x, t)∝ ^{G (x, t)}

P (y^∗|x) ^(5.9)

o`u y^∗ = (y > 0) repr´esente une donn´ee enregistr´ee, P (y^∗|x) = PL

l=1P(y = l|x) est la probabilit´e d’enregistrer par le syst`eme une ´emission localis´ee en x, prenant en compte la g´eom´etrie du syst`eme et ses propri´et´es physiques. Comme en 3D, nous inf´erons sur la distribution al´eatoire d’activit´e G (·, ·) correspondant aux ´ev`enements enregistr´es.

On se concentre maintenant sur la mod´elisation des donn´ees.

Loi a priori sur la distribution d’activit´e

Dans l’approche bay´esienne, on munit les inconnues du mod`ele de lois a priori. Dans le contexte bay´esien non param´etrique, cette loi a priori porte directement sur la loi G et s’exprime par G ∼ G, o`u G est une distribution sur des distributions i.e, chaque tirage suivant G est une mesure de probabilit´e sur X × T .

On rappelle que la loi a priori que nous avons utilis´ee pour la reconstruction statique en 3D est un m´elange par processus de Pitman-Yor (PYM) de Gaussiennes et s’´ecrit

f_G(x_i) =

∞

X

k=1

w_kN (xi|θ^∗k). (5.10) En 4D, la loi a priori pour la distribution al´eatoire de l’activit´e est un m´elange qui s’´ecrit sous la forme

f_G(x_i, t_i) =

∞

X

k=1

Nouvelle m´ethode de reconstruction en TEP 4D

o`u C est une densit´e de probabilit´e sur X × T , param´etr´ee par λ.

Pour l’application `a l’imagerie c´er´ebrale fonctionnelle, on consid`ere la distribution spatio-temporelle d’activit´e comme ´etant s´eparable en espace et en temps pour chaque composante du m´elange. Cette hypoth`ese est justifi´ee par le fait que les param`etres spatiaux ne varient pas dans le temps. Cela permet d’´ecrire le mod`ele 5.11 de la fa¸con suivante f<sub>G</sub>(x<sub>i</sub>, t<sub>i</sub>) = ∞ X k=1 w<sub>k</sub>N (xi|eθk) eQ<sub>k</sub>(t<sub>i</sub>) (5.12) o`u eQ_k est une densit´e de probabilit´e mod´elisant l’´evolution temporelle de l’activit´e dans la composante k. On peut d’ores et d´ej`a remarquer qu’en marginalisant le mod`ele spatio-temporel5.12par rapport au temps, on retrouve le mod`ele utilis´e pour la reconstruction spatiale (´equation 5.10).

Toujours dans la mˆeme perspective qu’en 3D, nous suivons une approche bay´esienne non param´etrique pour la mod´elisation des cin´etiques, ceci afin de permettre la flexibilit´e et l’ad´equation du mod`ele aux donn´ees. ´Etant donn´ees que les cin´etiques sont des fonctions continues et `a support compact dans R+ (troncature `a droite) du fait de la dur´ee limit´ee de l’examen , nous proposons de les mod´eliser par des arbres de P´olya d´efinis `a la section

2.5. On peut ´ecrire le mod`ele 5.12 sous la forme hi´erarchique suivante xi, ti|θi, Qi ind ∼ N (xi|θi)× Qi(ti) θ_i, Q_i|H ^iid∼ H H ∼ P Y (α, β, G0× PT (A, Q0)) . (5.13)

H est distribu´ee suivant un processus de Pitman-Yor et on a H (·) = ∞ X k=1 w_kδ e θk, eQk(·) o`u – w = w1, w2, . . . ∼ GEM(α, β),

– eθ = eθ₁, eθ₂, . . . sont les valeurs distinctes de θ₁, θ₂, . . . , et sont i.i.d suivant G₀ un mod`ele Normal-Inverse Wishart,

– eQ = eQ1, eQ2, . . . sont les valeurs distinctes de Q1, Q2, . . . et sont i.i.d suivant PT(A, Q0), un processus d’arbres de P´olya de param`etres A et de distribution de base Q₀.

La nature discr`ete de H implique que plusieurs (θ<sub>i</sub>, Q<sub>i</sub>) seront identiques et donc, plu-sieurs observations (x<sub>i</sub>, t<sub>i</sub>) vont partager la mˆeme composante k, c’est-`a-dire la mˆeme Gaussienne N (·|eθk) et la mˆeme cin´etique eQk(·). Cependant, puisque nous avons pour vocation d’identifier des volumes fonctionnels qui sont des zones spatiales ayant la mˆeme cin´etique, cela voudrait dire qu’intuitivement on devrait chercher `a avoir moins de com-posantes cin´etiques eQk que de clusters Gaussiens (d´efinis par le param`etre eθk). On devrait donc pouvoir permettre `a des clusters spatiaux de partager la mˆeme cin´etique. Cela se traduit par l’introduction d’un deuxi`eme niveau de hi´erarchie dans le mod`ele

5.13 et qui permettrait de clusteriser les distributions eQk elles-mˆemes.

Nous avons vu dans la section2.4.2que le processus de Dirichlet imbriqu´e (NDP) de Rodriguez et al. [RDG08] permettait de mod´eliser des distributions de probabilit´e et de

les clusteriser. On rappelle qu’un ensemble de distributions {G1, . . . , GJ} suit un NDP de param`etres α, β et H (o`u H est la mesure de base du processus) si

{G1, . . . , G_J} ∼ Q (5.14) Q ∼ DP(α, DP(β, H)).

Cette d´efinition signifie que

{G1, . . . , G_J} ∼ Q o`u Q=^d ∞ X k=1 π_kδ_G∗ k et G^∗_k(·)=^d ∞ X l=1 ω_lkδ_θ∗ lk(·)

avec θ^∗_lk ∼ H π_k∼ GEM(α) ω_lk ∼ GEM(β).

Nous adaptons cette d´efinition de fa¸con `a l’appliquer aux processus de Pitman-Yor par l’ajout d’un deuxi`eme param`etre dans le DP et d´efinir ainsi les processus de Pitman-Yor imbriqu´es. N´eanmoins dans notre probl`eme, contrairement `a celui de Rodriguez et al., le groupe de distributions que nous cherchons `a clusteriser n’est pas fini (ce sont les cin´etiques eQ_k). Par ailleurs dans la mod´elisation que nous proposons, la mesure de base de la distribution Q n’est pas un DP mais un arbre de P´olya. Nous d´efinissons alors un nouveau processus nomm´e processus de Pitman-Yor imbriqu´e d’arbres de P´olya, not´e NPY-PT (pour Nested Pitman-Yor process with a P´olya Tree as base distribution). D´efinition 10. Un ensemble de distributions { eQ₁, eQ₂, . . .} suit un NPY-PT de pa-ram`etres γ, ν, A et Q0 si

{ eQ₁, eQ₂, . . .} ∼ K0 (5.15) K0 ∼ PY(γ, ν, P T (A, Q0)).

Partant de cette d´efinition, nous pouvons maintenant d´ecrire le mod`ele hi´erarchique g´en´eratif que nous proposons pour les donn´ees TEP spatio-temporelles.

5.5.2 Mod`ele hi´erarchique pour les donn´ees TEP dynamiques

On rappelle que seulement les projections Y = (y₁, . . . , y_n) sont observ´ees en tomo-graphie d’´emission et donc que les lieux d’annihilation X = (x₁, . . . , x_n) sont introduits comme des variables cach´ees. Le mod`ele hi´erarchique g´en´eratif s’´ecrit :

y_i|xi ind ∼ P (yi|xi) x_i, t_i|θi, Q_i ^ind∼ N (xi|θi)× Qi(t_i) θ_i, Q_i|H ^iid∼ H H ∼ P Y (α, β, G0× K0) K0 ∼ P Y (γ, ν, PT (A, Q0)) (5.16)

H est un processus de Pitman-Yor de distribution H (·) = ∞ X k=1 w_kδ e θk, eQk(·) avec

Nouvelle m´ethode de reconstruction en TEP 4D

– w = w1, w2, . . . ∼ GEM(α, β),

– eθ = eθ₁, eθ₂, . . . sont les valeurs distinctes de θ₁, θ₂, . . . , et sont i.i.d suivant G₀ un mod`ele Normal-Inverse Wishart,

– eQ = eQ1, eQ2, . . . sont i.i.d suivant K0 distribu´ee suivant K0(·) = ∞ X j=1 π_jδ_Q? j(·) o`u – π = π₁, π₂, . . .∼ GEM(γ, ν), – Q? = Q? 1, Q?

2, . . . sont les valeurs uniques de eQ₁, eQ₂, . . . et sont ind´ependantes et identiquement distribu´ees suivant PT(A, Q0), un processus d’arbres de P´olya de param`etres A et de distribution de base Q0.

Ce mod`ele hi´erarchique peut ˆetre compris de la fa¸con suivante : chaque (x<sub>i</sub>, t<sub>i</sub>) est g´en´er´e suivant une GaussienneN (xi|θi) et une fonction temporelle Q<sub>i</sub>(t<sub>i</sub>). Puisque H(·) est discr`ete, cela induit un premier clustering des observations partageant les mˆemes param`etres spatiaux eθ et les mˆemes cin´etiques eQ. Le second niveau de clustering sur les cin´etiques est dˆu `a la nature discr`ete deK0(·), ce qui permet `a plusieurs eQ_k de prendre simultan´ement la mˆeme valeur Q^∗_j pour un certain j.

Le mod`ele 5.16 peut ˆetre r´e-´ecrit en introduisant des variables de classification la-tentes c et d repr´esentant respectivement l’appartenance aux clusters observationnels et distributionnels (cin´etiques).