Reconstruction de surfaces

Il s’agit de construire des surfaces tangentes `a un champ de vecteurs tridimensionnelτ. Nous n’aborderons pas ici l’´etude d’existence de telles surfaces. Ce probl`eme appartient `a la th´eorie des syst`emes diff´erentiels compl`etement int´egrables pour lesquels des r´esultats th´eoriques existent (par exemple le th´eor`eme de Frobenius).

2.5.1 Principe de l’algorithme

Dans notre cas, les surfaces que nous cherchons sont des surfaces (nappes) de fibres. Donc nous cherchons des surfaces engendr´ees par des courbes tangentes au champ τ. Ceci nous ram`ene `a d´evelopper des algorithmes sp´ecifiques `a ce type de probl`eme bas´es sur l’algorithme de suivi de fibres que nous avons d´evelopp´e dans la section 2.3.2.

Notre id´ee est la suivante : partant d’un point donn´e du domaine, il sera appel´e point de d´epart, nous construisons `a l’aide de l’algorithme de suivi de fibres la courbe tangente au champ

τ. Nous pouvons ensuite calculer (num´eriquement) la normale principale n et le vecteur binor-male b `a cette courbe. Ceci veut dire qu’on peut d´efinir un champ de vecteurs binorbinor-males d´efini dans tout le domaine. Ensuite, `a partir du point de d´epart, nous pouvons construire `a l’aide de l’algorithme de suivi de fibres la ligne tangente au champ des binormales. Si maintenant nous supposons que cette ligne est une courbe de la surface recherch´ee, alors la surface sera obtenue en trac¸ant les courbes tangentes `aτet s’appuyant sur la ligne tangente au champ des binormales. Des variantes de cette m´ethode sont possibles, elles consistent `a tracer les courbes tangentes `a

Construire la surface revient donc `a d´eterminer une ligne de champ des binormales. La question qu’on se pose : comment calculer la binormale ? Pour r´epondre `a cette question, nous avons d´evelopp´e deux m´ethodes pour d´eterminer la normale principale n et la binormale b `a une courbe.

2.5.2 Calcul de la normale principale et de la binormale

(a) Premi`ere m´ethode : Consid´erons une courbe sTU φOsQ param´etr´ee par l’abscisse curviligne, et sTU τO sQ (resp. nO sQ , bO sQ ) ses tangentes unitaires (resp. normales principales, binormales). On a pour tout O s_iP s_i ª 1Q φOs_i ª 1Q@[ φOs_iQRK]Os_i ª 1[ s_iQ τOs_iQDX Os_i ª 1[ s_iQ 2 2 τW O s_iQhX o Œ Os_i ª 1[ s_iQ 2  et donc Œ φOs_i ª 1Q@[ φOs_iQ.bJ τOs_iQbK Osiª 1[ siQ 2 2 τW O s_iQDJ τOs_iQDX o Œ Os_i ª 1[ s_iQ 2  M OrτW O siQaKB[ nOsiQ RO s_iQ , par suite Œ φOs_i ª 1Qg[ φOs_iQ.aJ τOs_iQaK Os_i ª 1[ s_iQ 2 2 bO s_iQ ROsiQ X o Œ O s_i ª 1[ s_iQ 2  M

Ceci conduit `a d´efinir une valeur approch´ee b_ide bOs_iQ par

b_iK Œ φOs_i ª 1Qg[ φOs_iQ  J τO s_iQ „3„ Œ φOs_i ª 1Qg[ φOs_iQ\bJ τO s_iQ8„5„ M

Pour une courbe obtenue num´eriquement par l’algorithme de suivi de fibres `a partir d’un champ

τ, et M_i, M_i

ª 1deux points successifs de la courbe, nous posons

b_i K [Ê[…U M_iM_i ª 1J τi „5„ [8[…U M_iM_i ª 1J τi„3„ et n_iK b_iJ τiP

o`uτi, n_iet b_id´esignent respectivement le vecteur tangent, la normale principale approch´ee et la binormale approch´ee en M_i. Cette m´ethode est repr´esent´ee graphiquement sur la Figure 2.14 (a).

(b) Deuxi`eme m´ethode : Cette m´ethode consiste `a remplacer entre trois points successifs, M_iÁ 1,

M_i, M_i

ª 1, une courbe obtenue num´eriquement par l’algorithme de suivi de fibres `a partir d’un champτ, par une courbe param´etrique polynomialeΓpassant par ces trois points et qui soit tan-gente en chacun de ces points au champ τ. Pour cela nous cherchons l’´equation param´etrique de la courbe Γet ensuite nous calculons sa normale principale n_i au point M_i et sa binormale

b_iK τiJ n_i. Nous approchons en M_ila normale prinicpale de la courbe obtenue par l’algorithme de suivi de fibres par n_iet sa binormale par b_i. Voir Figure 2.14 (b).

τi b _i −τ i M _i M _i M _i+1 τ i+1 b_i τ i M _i+1 M _i−1 τi−1

(a) (b)

FIG. 2.14 – Les repr´esentations graphiques des m´ethodes de calcul de la normale principale et la binormale `a une courbe.

Validation Nous avons valid´e ces algorithmes sur le mod`ele abstrait du ventricule gauche pr´esent´e dans la section 1.5. Le mod`ele consiste en un ensemble de surfaces emboˆıt´ees sur chacune desquelles court un r´eseau de courbes g´eod´esiques. Nous savons, d’apr`es la d´efinition d’une g´eod´esique, que la normale `a la surface est ´egale `a la normale principale `a la g´eod´esique et que le plan tangent `a la surface est le plan contenant la tangente `a la g´eod´esique et sa binormale. Donc l’hypoth`ese que la ligne tangente au champ des binormales soit sur la surface est satis-faite. L’initialisation des algorithmes consiste `a donner les coordonn´ees d’un point de d´epart du domaine ´etudi´e, et l’on obtient ensuite un ensemble de courbes du r´eseau de g´eod´esiques appartenant `a la surface sur laquelle se trouve le point de d´epart. La Figure 2.15 montre trois surfaces obtenues en validant les diff´erentes m´ethodes de calcul des vecteurs n et b (dessins de gauche et au centre), ainsi qu’une variante de l’algorithme s’agissant de tracer les courbes tangentes au champτet s’appuyant sur la ligne du champτX µb dont la composante en z (axe

de r´evolution Oz) est nulle (dessin de droite).

Application aux donn´ees anatomiques L’algorithme de reconstruction de surfaces n’a pas fonctionn´e correctement lors de son application aux donn´ees anatomiques. Ceci est dˆu au probl`eme de la sensibilit´e de l’algorithme `a la pr´ecision des donn´ees anatomiques. En effet, d’un cˆot´e la pr´ecision des donn´ees anatomiques actuelles n’est pas suffisante pour pouvoir ap-pliquer cet algorithme et d’un autre cˆot´e l’algorithme n´ecessite le calcul de la normale principale et la binormale ce qui nous ram`ene `a approximer la d´eriv´ee seconde du vecteur position x.

FIG. 2.15 – Des surfaces obtenues en validant les m´ethodes de reconstruction de surfaces sur un mod`ele abstrait de r´evolution du ventricule gauche.