Reconstruction num´erique des courbes - Description topologique de l'architecture fibreuse et m

Etant donn´e un champ de vecteurs τ:ΩTUµN

3, il s’agit de reconstruire des courbes qui y soient tangentes en tout point. Nous les cherchons sous forme paramétrée t TU xOtQ . Autrement dit, nous cherchons x solution de l’équation différentielle du premier ordre xWpOtQbK τ

xOtQ. .

2.3.1 Formulation math´ematique du probl`eme

Rappelons ici quelques résultats élémentaires sur les équations différentielles, voir par exemple Cartan [19] et Demailly [26].

FIG. 2.3 – Un exemple d’une courbe tangente `a un champ de vecteurs donn´e.

Soit U un ouvert deN»º¼N

met f : U U½N

m une application continue. On considère l’équation différentielle

K fOtP xQ*P OtPxQ

^ UM (2.2)

D´efinition 2.1 : Une solution de (2.2) sur un intervalle I ¾¿N est une fonction d´erivable x : IU

m telle que :V

t ^ I,OtPxOtQ-Q

^ U , et xWpOtQbK fOtP xOtQ-Q .

Définition 2.2 (Problème de Cauchy) : ´Etant donné un pointOt₀P x₀Q

^ U , le probl`eme de Cau-chy consiste `a trouver une solution x : IU:N

m de (2.2) sur un intervalle I contenant t0dans son int´erieur, telle que xOt₀QaK x₀.

Définition 2.3 : Une courbe intégrale de (2.2) est une courbe différentiableΓqui a pour tan-gente en chaque point MKÀOt0P x0Q

^ Γla droite DM d’´equation : x[ x₀K]Ot[ t₀Q fOt₀P x₀Q

Dans le cas 1D (mK 1), fOt₀P x₀Q est donc la pente de la tangente àΓau point M, et dans le cas général, fOt₀P x₀Q est le vecteur directeur de la tangente en M àΓ.

Revenons au problème de départ. On se donne un champ de vecteurs τ, on lui associe une équation différentielle autonome xW OtQRK τ

xOtQ et on suppose τassez régulier pour que cette équation différentielle admette une solution unique quand une valeur initiale est donnée. Les courbes qui sont tangentes en tout point à ce champ ne sont autres que les courbes intégrales de cette équation différentielle. Trouver ces courbes, c’est donc résoudre un problème de Cau-chy. Obtenir une solution exacte (analytique) du problème de Cauchy n’est pas généralement possible même lorsque f est donnée sous forme analytique et il existe de nombreuses méthodes de résolution numérique par discrétisation. Dans notre cas, le second membre τ n’est connu que sous forme d’une carte au départ discrète que nous étendons en une carte continue. Ces méthodes sont donc bien adaptées à notre étude.

Nous rappelons ici quelques méthodes usuelles. Pour l’étude de la stabilité, la consistance, la convergence et l’ordre d’approximation nous renvoyons aux ouvrages d’analyse numérique élémentaire. Citons par exemple Crouzeix et Mignot [25], Dieudonné [28], Demailly [26].

2.3.2 Résolution numérique du problème de Cauchy

Notre problème à résoudre s’écrit donc :

xW K τOxQ*P xOt₀QaK x₀M (2.3) Soit t₀ t₁ M.M-M

t_N K t₀X T une subdivision de dt₀P t₀X Te. Il s’agit de d´eterminer des valeurs approch´ees x0P x1P

M-M-M

P xN des valeurs xOtnQ prises par la solution exacte x. Soit

h_nK t_n

ª 1[ t_nP 0 n N[ 1 le pas à l’étape n, on le prend en général constant.

On distingue deux types de méthodes : méthodes à un pas et méthodes à plusieurs pas. Une méthode à un pas permet de calculer x_n

ª 1 à partir de la seule valeur antérieure x_n. Une méthode à r pas utilise les r valeurs antérieures x_nP

M.M-M

P x_nÁ rª 1 afin de calculer x_n

ª 1. La partie initialisation d’une méthode à deux pas, c’est-à-dire le calcul de x₁, peut s’effectuer en utilisant une méthode à un pas.

Méthode d’Euler explicite : C’est une méthode à un pas d’ordre 1.

x_n

ª 1K x_nX h_nτOx_nQ

M (2.4)

M´ethode du point milieu : Elle est d’ordre 2 et `a un pas.

uv v w v vx x_n ª 1 2 K x_nX hn 2τOx_nQ*P p_nK τO x_n ª 1 2 Q*P x_n ª 1 K x_nX h_np_nM (2.5)

Méthode du point milieu modifié : C’est une méthode à deux pas d’ordre 2. Elle se distingue de la méthode du point milieu par le calcul du point intermédiaire x_n

2 o`u au lieu d’utiliserτOx_nQ

dont le calcul est coˆuteux on utiliseτOx_n

1 2

Q qui est déjà calculé au pas précédent.

uv v w v vx x_n ª 1 2 K xnX hn 2 ^pⁿÁ 1P p_n K τO x_n ª 1 2 QP x_n ª 1K x_nX h_np_nM (2.6)

Examinons un aspect numérique que nous a semblé intéressant dans le tracé des courbes, en particuliers, dans l’utilisation de nos algorithmes par nos collègues de biologie-médecine. C’est

celui du tracé d’une courbe dans les “deux sens”. Soit OΓPxQ la courbe paramétrée où x : t ^

dt₀Pt₀X TeÂTU xOtQ est la solution du probl`eme (2.3). Posons x_T K xOt₀X TQ . Faisons maintenant un changement de param`etres de t en[ t. Pour t ^

dÃ[ t0[ TP-[ t0e, on note ˜xOtQgK xO[ tQ . Donc ˜x et x sont deux param´etrisations ´equivalentes de

Γ. De plus ˜x est sur dÃ[ t₀[ TP-[ t₀e, la solution du probl`eme suivant :

˜xW/KS[ τO ˜xQ*P

˜xO\[ t0[ TQaK xTM

(2.7) Maintenant du point de vue num´erique, on se demande si les valeurs approch´ees x₀P

M-M-M

P x_N de

x obtenues par la résolution numérique de (2.3) avec la condition initiale xOt₀QFK x₀ sont les mêmes que les valeurs approchées de ˜x obtenues par la résolution numérique de (2.7) avec la condition initiale ˜xO\[ t₀[ TQaK ˜x₀K x_N. Autrement dit, on construit tout d’abord en partant de

x₀notre suite (finie) de points x₀P M.M-M

P x_N, et ensuite en utilisant la valeur obtenue x_Non construit en partant de xN la suite ˜x0P

M.M-M

P ˜x_N. La question est donc, les deux suites de points sont-elles les mêmes ? Si la réponse est négative, on dit que la méthode numérique utilisée n’est pas réversible. La méthode d’Euler explicite, la méthode du point milieu et la méthode du point milieu modifié ne sont pas réversibles.

Méthode de Nyström : C’est une méthode d’ordre 2, à deux pas. Son schéma est le suivant :

x_n ª 1K x_nÁ 1X 2hτO x_nQ*P t_n ª 1 K t_nX hM (2.8) Montrons que cette m´ethode est r´eversible. En effet, soient x₀Px₁P

M.M-M

Px_N construites par la m´ethode de Nystr¨om sur

xWpOtQbK τO xOtQ-Q*P t₀ t t₀X TP xO t0QRK x0M (2.9) Considérons maintenant ˜xWsO ˜tQRKS[ τO ˜xO ˜tQ.Q*P [ t₀[ T ˜t=[ t₀P ˜xO\[ t0[ TQaK xNM (2.10) Posons ˜x₀K x_Net choisissons ˜x₁K x_NÁ 1. La méthode de Nyström sur le système (2.10) fournit

˜x₀K x_NP ˜x₁K x_NÁ 1 ˜x_p ª 1 K ˜x_pÁ 1X 2h [ τO ˜x_pQ.ÄP 1 p N[ 1M (2.11) Montrons que, pour tout 0 p N, ˜x_pK x_NÁ p. C’est vrai pour pK 0 et pK 1 par construction. Supposons que c’est vrai jusqu’`a p. Alors des ´equations

˜x_p

ª 1 K ˜x_pÁ 1[ 2hτO ˜x_pQP

x_NÁ pª 1 K x_NÁ pÁ 1X 2hτO ˜x_NÁ pQ*P

on tire ˜x_p

Validation num´erique

Les méthodes présentées ci-dessus ont été testées sur plusieurs exemples de champs de vec-teurs plans ainsi que volumiques.

1- Cercle plan : On considère dans le plan (Oxy) le champ de vecteurs défini par l’équation

suivante : uv w vx xW KS[ y ± x2 X y2 P yW K x ± x2 X y2 M (2.12)

La solution de (2.12) pour la condition initiale O xO 0QFK R₀P yO 0QFK 0Q est donn´ee par

xO sQ§K R₀cosO s R0 Q*PyOsQRK R₀sinO s R0

Q. . Sa courbe int´egrale est le cercle de centre l’origine et de rayon

R₀: x²X y²K R²₀. SoitO x_nP y_nQ le point obtenu `a l’it´eration n, on note R_nK

x2 nX y2

n. L’erreur à cette itération est égale à R_n[ R₀

R₀ ^{et l’erreur globale est max}ⁿ

R_n[ R₀

R₀ ^{, c’est-`a-dire, l’erreur} L∞_relative.

2- Courbe plane en forme de croissant : Cet exemple correspond aux courbes m´eridiennes

emboˆıtées utilisées dans la modélisation abstraite du ventricule gauche dans la partie 1.5. Dans le plan (Oxz), chacune de ces courbes méridiennes est obtenue à partir de la plus externe entre elles par une homothétie de rapportλ ^

e0P 1e et son équation paramétrique dans ce plan est OxλO sQP zλO sQ-Q . Si un point O xP zQ est à l’intérieur de la courbe la plus externe, alors il ap-partient à une courbe qui est complètement définie par une valeur réelle λ ^

e0P1e, soit Γ_λ

cette courbe. Le champ de vecteurs en ce point correspond au vecteur unitaire tangent `a Γ_λ,

τOxP zQbK]OτxOxPzQ*PτzOxP zQ-Q . En terme d’équation différentielle, cet exemple s’écrit :

xW K τxOxPzQ*P zW K τzO xP zQ M (2.13) La courbe int´egrale de (2.13) pour la condition initiale OxO0QbK x₀PzO0QfK z₀Q , o`u O x₀P z₀Q

^ Γ_λ₀, est la courbe Γ_λ₀. A l’it´eration n, on obtient le point O x_nP z_nQ auquel correspond une valeur

λn ^

d0P1e. Nous choisissons comme mésure de l’erreur à cette itération la quantité λn[ λ0

λ0

et l’erreur globale est max_nλn[ λ0

λ0

3- Géodésiques du modèle abstrait du ventricule gauche : C’est le modèle construit dans

la partie 1.5. Il s’agit d’un ensemble de surfaces toro¨ıdales emboˆıtées sur lesquelles on a tracé des réseaux de géodésiques périodiques. Chaque point OxP yP zQ du domaine appartient à une surface définie par un nombre réel λ ^

d0P1e, notée Sλ, et il se trouve sur une géodésique périodique dont la constante de Clairaut est notée Cλ^{. On définit le champ de vecteurs en un point}

par ce point,τOxP yPzQKO τxOxP yP zQ*PτyO xP yP zQ*P τzOxP yP zQ.Q . En terme d’équation différentielle, cet exemple s’écrit : u w x xW K τxO xP yP zQ*P yW K τyOxPyPzQ*P zW K τzO xP yP zQ M (2.14)

Pour une condition initiale O xO 0Q§K x₀P yO 0QFK y₀P zO0QK z₀Q , o`u Ox₀P y₀Pz₀Q

^ Sλ0, correspond comme courbe intégrale de (2.14) la géodésique tracée sur Sλ0 et qui passe par Ox₀P y₀P z₀Q . A l’itération n, on obtient le point OxnP ynPznQ à qui correspond une valeurλn ^

d0P 1e. L’erreur me-surée à cette itération est égale à λn[ λ0

λ0

et l’erreur globale est max_nλn[ λ0

λ0

4- Champ de vecteurs sous forme discrétisée : Pour se rapprocher du cas de données

ana-tomiques, le champ de vecteurs correspondant au modèle du ventricule gauche considéré ci-dessus est alors considéré sous forme discrétisée. Ensuite, nous avons reconstruit un champ de vecteurs défini en tout point du domaine par interpolations trilinéaires des valeurs du champ dis-cret aux points voisins du point considéré. Avec ce nouveau champ de vecteurs nous sommes dans le même cas que celui de l’exemple précédent.

M

_i−1 i i+2 i+1 i+3

τ

_i i+1 i+2

2h

FIG. 2.4 – Cette figure correspond `a la m´ethode de Nystrom. On voit clairement les oscillations dans l’allure du polygone M_iÁ 1M_iM_i

ª 1M_i

ª 2M_i

ª 3.

Donnons maintenant nos conclusions. Bien que nous ayons au départ retenu la méthode de Nyström pour sa réversibilité, nous avons constaté que le tracé de trajectoires présentait des oscillations, voir Figure 2.6. Ce phénomène est expliqué sur la Figure 2.4. Dans le cas du champ de vecteurs discret, la méthode du point milieu est la meilleure en terme de précision, voir Figure 2.5. Pour cela, la méthode du point milieu a été utilisée dans la suite pour la reconstruction de fibres myocardiques.

FIG. 2.5 – L’erreur L∞ _{relative est trac´ee en fonction du pas h. En haut, `a gauche le cas du}

cercle plan et à droite le cas de courbes méridiennes emboˆıtées. En bas le modèle du ventricule gauche, à gauche le champ de tangentes défini en tout point du modèle et à droite le champ de tangentes discret.

FIG. 2.6 – Une trajectoire d’une fibre obtenue par la m´ethode de Nystr¨om. On remarque les oscillations que fait cette trajectoire.

2.3.3 Algorithme de suivi de fibres

Afin de reconstruire les trajectoires des fibres myocardiques à partir de données anatomiques, nous avons développé des algorithmes basés sur les méthodes numériques présentées dans la partie 2.3.2, permettant à partir de ces données de suivre chaque fibre point par point le long de sa trajectoire.

Formulation du probl`eme :

Nous disposons d’un champ discret de vecteurs unitaires tangents aux fibres. Les points où ce champ est défini sont les nœuds d’un maillage tridimensionel parallélipipédique uniforme. Pour obtenir un champ de vecteurs unitaires défini en un point quelconque M du muscle, nous interpolons, avec pour coefficients de pondération les coordonnées barycentriques, les directions des fibres aux points voisins Mi du maillage et puis nous normalisons le vecteur obtenu. La formule d’interpolation peut être écrite sous la forme suivante :

uv v v v w v v v vx τ© KSO1[ γQgÅÆO 1[ βQ O1[ αQ τ1X ατ2 X β O 1[ αQ τ4X ατ3kÇ X γÅÈO 1[ βQ O1[ αQ τ5X ατ6 X β O 1[ αQ τ8X ατ7kÇ P τK τ© 5τ© 5 P (2.15)

avecτiK τO M_iQ*P iK 1M-M-M 8 etτK τOMQ . Les valeursαPβetγ^

d0P1e et elles sont les coordonn´ees barycentriques du point M, voir Figure 2.7.

M

3 7 6 8 5

M

₄

β

γ

α

1 2

FIG. 2.7 – Les points M_i sont les sommets du parall´elipip`ede du maillage contenant M et

αPβetγ ^

d0P1e sont les coordonn´ees barycentriques du point M.

Si on cherche les trajectoires des fibres comme des courbes paramétrées par l’abscisse cur-viligne, ces courbes sont alors les courbes intégrales de l’équation différentielle (2.16)

xW K τOxQ

M (2.16)

Pour résoudre l’équation (2.16), nous avons sélectionné parmi les méthodes numériques présentées dans la section 2.3.2, celle du point milieu. Désignons parτile vecteurτOx_iQ et par h un pas constant. L’algorithme de suivi de fibres est donc :

u w x x_n ª 1

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