Description d’un treillis r´ep´etitif et num´erotation

D´ecrivons tout d’abord un treillis infini. Nous consid´erons des treillis dont les configurations de r´ef´erence (ensembles de nombres dans notre mod´elisation) sont obtenues par la r´ep´etition sur

8

3d’une cellule ´el´ementaire (un ensemble fini de nombres dans notre mod´elisation), que nous appelons cellule de r´ef´erence. Cette cellule contient des “nœuds” et des “barres”. Leurs num´eros appartiennent `a des sous-ensembles finis

:9 et  9 de ; . A tout ν  êν1  ν2 ν3 ë þ 8 3, on associe la celluleνqui contient Card

 9

nœuds et Card

9

barres. Donc les nœuds et les barres du treillis infini tout entier sont maintenant num´erot´es par des quadruplets ˜n

ênν1  ν2  ν3 ë dans  92< 8 3, ˜b  êb ν1  ν2 ν3 ë dans  95< 8

3. Ceci veut dire que le nœud (respectivement barre) r´ef´er´e par ˜n (respectivement ˜b) est le nœud (respectivement barre) ayant le num´ero n

(respectivement b) dans la celluleν. Soient ˜

 ∞   9=< 8 3et ˜ ∞   9=< 8

3, nous disons que ˜



∞_{(respectivement ˜}

∞_{) est l’ensemble des nœuds (respectivement barres) du treillis infini.}

b b1 b2 b3 b4 b₅ O_Rêbë n₁ n₂ n₂ n₃ n₃ ERêbë n2 n1 n3 n1 n1 δ1 êbë 0 1 0 0 1 δ2 êbë 0 0 0 1 1

FIG. 2.2 – En gras, une cellule ´el´ementaire `a trois nœuds colori´es en rouge et cinq barres :  9 Ôÿ n₁ n₂ n₃
,  9 Hÿ b₁ b₂ b₃b₄ b₅
. Il y a douze interactions :  9  ÿ c₁ c₂ c₃c₄ c₅ c₆c₇ c₈ c₉ c₁₀ c₁₁ c₁₂
.

Tableau 1 : Num´erotation des barres.

c c₁ c₂ c₃ c₄ c₅ c₆ c₇ c₈ c₉ c₁₀ c₁₁ c₁₂ P_Rê cë b₁ b₁ b₂ b₃ b₃ b₄ b₁ b₁ b₁ b₂ b₂ b₄ D_Rêcë b₂ b₃ b₃ b₄ b₅ b₅ b₂ b₄ b₅ b₄ b₅ b₅ γ1 êcë 0 0 0 0 0 0 -1 0 -1 1 0 -1 γ2 êcë 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1 0 Tableau 2 : Num´erotation des interactions entre barres.

Nous allons maintenant expliquer comment les nœuds se connectent entre eux. Tout d’abord nous supposons que chaque barre de ˜



∞ _{joint deux nœuds. A chaque barre ˜b nous associons}

un nœud origine Oê ˜bë et un nœud extr´emit´e Eê ˜bë . D’apr`es notre description ci-dessus, chaque nœud Oê ˜bë et chaque nœud Eê ˜bë peut ˆetre ´ecrit sous la forme d’un quadruplet. Nous supposons que le nœud origine Oê ˜bë de la barre ˜b

êb ν1  ν2 ν3 ë associ´ee `a la cellule êν1  ν2 ν3 ë appar-tient `a cette cellule. Donc, il existe un entier n tel que Oê-êbν1

 ν2  ν3 ë-ë  ênν1  ν2  ν3 ë . De plus, afin d’exprimer la r´ep´etitivit´e du treillis, nous imposons que l’entier n d´epend uniquement de b. Il coincide avec le num´ero du nœud origine de la barre b dans la cellule de r´ef´erence et il peut ˆetre d´esign´e par O_Rê bë . Au contraire, le nœud extr´emit´e Eê ˜bë qu’on peut ´ecrire sous la forme

êm µ¹µ² µ³ë n’appartient pas n´ecessairement `a la mˆeme cellule que ˜b. Dans tous les cas, il ap-partient `a une cellule qui peut ˆetre num´erot´ee parêν1

ý δ1 ν2 ý δ2 ν3 ý δ3 ë , o`u êδ1 δ2  δ3 ë þ 8 3. A nouveau, comme le treillis est r´ep´etitif, m, δ1, δ2 et δ3 d´ependent uniquement de b et ils peuvent ˆetre d´esign´es par E_Rêbë ,δ1b,δ2betδ3b. Autrement dit,

Oê-êb ν1  ν2 ν3 ë-ë  êORêbë>ν1  ν2 ν3 ë Eê-êbν1  ν2  ν3 ë-ë  êERêbëν1 ý δ1b  ν2 ý δ2b ν3 ý δ3b ë é

Un exemple d’une telle num´erotation pour l’exemple bidimensionnel de la Figure 2.2 est donn´e dans le Tableau 1.

Remarquons que nous pourrions d´ecrire le treillis de la fac¸on ´equivalente suivante. Consid´erons deux sous-ensembles finis

 9

et 

9

de ; , appel´es respectivement l’ensemble des nœuds de r´ef´erence et l’ensemble des barres de r´ef´erence. Choisissons deux applications O_R E_R:

9 ')  9 et une applicationδ:  9 ') 8

3telles que pour tout bþ



9

, êORêbë>0ë@?



êERêbëδêbë-ë et telles que l’application O_R

<

êE_Rδë soit injective. Ensuite, l’ensemble des nœuds (respective-ment barres) du treillis associ´e est d´efini par ˜

 ∞   9 < 8 3 ÿ n˜  ê n νë ; n þ  9  ν þ 8 3
(respectivement ˜  ∞   9A< 8 3 =ÿ ˜b êb νë ; bþ  9  νþ 8 3
). Toutνþ 8

3est suppos´e d´efinir une celluleνdont l’ensemble des nœuds (respectivement barres) est donn´e parÿ

ê n νë ; nþ  9B
(respectivementÿ êb νë ; bþ  9

). Les applications globales O E : ˜

∞')

˜



∞_{sont d´efinies par}

# ˜b êbνë þ ˜  ∞  Oê-êbνë-ë  êO_Rêbëνë Eê-êbνë-ë  ê-êE_Rêbëνý δêbë-ë é

Quand une barre appartient `a une cellule num´erot´e parν, son origine appartient `a cette mˆeme cellule.

Avec les num´erotations des nœuds et des barres ci-dessus, une configuration de r´ef´erence d’un treillis infini est bien d´efinie. Introduisons maintenant une fac¸on de num´eroter les inter-actions entre les barres. Une telle num´erotation peut naturellement ˆetre ´ecrite en termes des d´efinitions pr´ec´edentes mais afin d’avoir des rotations plus l´eg`eres, nous la d´efinissons directe-ment. Nous supposons dans la suite que deux barres partageant un nœud commun interagissent m´ecaniquement. A partir de la r´ep´etitivit´e de la configuration de r´ef´erence, chaque barre êbνë

de ˜

∞_{interagit avec un nombre fini de barres, et ce nombre ne d´epend pas de}ν. Il d´epend de

b uniquement. De plus, si une barre êb νë interagit avec êbù νù

ë , alors pour tout µ de8

3, êb µë

interagit avecê bù µý νù

è νë . Par cons´equent, l’ensemble global de toutes les interactions entre les barres connect´ees peut ˆetre d´efini par

˜  ∞ Bÿ êc νë ; cþ  9  ν þ 8 3
o`u chaque c þ  9DC

; r´ef`ere `a l’interaction entre des barres qui peuvent ˆetre ´ecrites ê bê cë νë

et ê bù

êcëνý γêcë-ë . Dans une telle num´erotation, nous prenons garde `a ne pas tenir compte d’une interaction globale deux fois. Pour cela, il est convenable de consid´erer que toutes les interactions ˜c dans le treillis apparaissent entre une premi`ere barre Pêc˜ë et une deuxi`eme barre

Dêc˜ë . Une interaction r´ep´et´ee r´ef´er´ee par c fonctionne entre une premi`ere barre êPRêcëνë et une deuxi`eme barre êD_Rê cë νý γêcë-ë . En r´esum´e, toutes les interactions ˜c 

ê c νë s’´ecrivent ˜ c êPêc˜ë> Dê c˜ë-ë avec Pêc˜ë  ê P_Rê cë ν1 ν2 ν3 ë Dê c˜ë  ê D_Rêcëν1 ý γ1c  ν2 ý γ2c ν3 ý γ3c ë é

Un exemple d’une telle num´erotation est donn´e dans le Tableau 2. Remarquons que notre m´ethode s’´etend facilement `a d’autres cas. Par exemple, nous pourrions supposer que quelques connections entre barres sont activ´ees et d’autres ne le sont pas. Dans la mesure o`u ce mod`ele est r´ep´etitif, il peut ˆetre facilement inclus dans la d´efinition de l’ensemble

92C ; et les appli-cations P_RD_R: 9 ')  9 etγ: 9 ') 8 3.

FIG. 2.3 – Un exemple de trois structures p´eriodiques obtenues `a partir d’une mˆeme cellule de r´ef´erence avec un nombre diff´erent de p´eriodes ´el´ementaires. De gauche `a droite, structures avec 10, 50 et 150 cellules ´el´ementaires respectivement.

Nous retournons maintenant au cas des treillis finis que nous consid´erons dans le reste de ce travail. Suivant la technique d’homog´en´eisation g´en´erale, nous introduisons une suite de confi-gurations de r´ef´erence param´etr´ee parε. Soitωun domaine de$

3. Pour toutε, nous d´efinissons un sous-ensemble Zε_de8 3par Zε rÿ ν êν1  ν2  ν3 ë þ 8 3;ενþ ω
é (2.18) Ceci d´efinit les cellules d’un r´eseau fini. Nous d´efinissons une configuration de r´ef´erence as-soci´ee `a ε par l’ensemble de ses nœuds ˜



ε



 9E<

Zε _{et par l’ensemble de ses barres ˜}

ε  ÿ ˜b êbνë þ  97< Zε_{; E} ê ˜bë þ ˜  ε

. Les interactions globales sont alors d´ecrites par ˜

ε  ÿ c˜ êc νë þ  9 < Zε_{; D} êc˜ë þ ˜  ε

. Remarquons que les cellules “proches de la fronti`ere” de ω ne sont pas une r´ep´etition exacte de la cellule de r´ef´erence. Quelques barres et quelques interac-tions sont ignor´ees. Ceci n’a pas de cons´equence sur le processus d’homog´en´eisation qui traite les cellules int´erieures et ne tient pas compte des conditions aux bords.

Dans la suite, nous utiliserons la notation λε



êεν1

 εν2

εν3

ë . Les cellules d’un ε-treillis sont, selon la terminologie de Truesdell [95], d´esign´ees par ν þ Zε _{ou par}λε

þ ω. Donc, ν ou

λε_{jouent le rˆole de variables lagrangiennes discr`etes. La configuration lagrangienne du milieu}

continu qu’il faut d´efinir seraωet sa variable lagrangienne seraλ êλ1

λ2

 λ3

ë .

La Figure 2.4 montre un exemple d’un treillis obtenu par la r´ep´etition d’une cellule ´el´ementaire. Ce mod`ele correspond `a des surfaces toro¨ıdales emboˆıt´ees. Le dessin `a gauche repr´esente une surface toro¨ıdale recouverte par un r´eseau de barres o`u une direction privil´egi´ee peut ˆetre dis-tingu´ee, c’est celle qui correspond aux fibres. Donc une fibre est repr´esent´ee par un arrangement de cellules ´el´ementaires suivant une certaine direction. A droite, on repr´esente trois surfaces emboˆıt´ees sur chacune d’elles on a trac´e une seule fibre. Les fibres sont choisies de fac¸on `a cou-rir comme des g´eod´esiques p´eriodiques et `a avoir une variation progressive de leurs directions en passant d’une couche `a une autre.

FIG. 2.4 – Mod`ele d’un treillis de barres repr´esentant des surfaces toro¨ıdales emboˆıt´ees.