K xnX h 2τnP xn ª 1K xnX hτn ª 1 2 M (2.17)
2.4 Conjecture de Streeter sur le ventricule gauche
En 1979, Streeter, [85] a obtenu des mesures partielles de l’orientation des fibres myo-cardiques et il a exprim´e l’hypoth`ese que les fibres courent comme des g´eod´esiques sur un ensemble de surfaces emboˆıt´ees. Il a v´erifi´e cette hypoth`ese sur la partie libre ´equatoriale du ventricule gauche en se servant de la propri´et´e de Clairaut.
Pour pouvoir utiliser les donn´ees anatomiques qui nous fournissent en un ´echantillon de points du muscle les composantes des vecteurs unitaires tangents aux fibres, nous avons exprim´e
r cosθ en fonction de ces donn´ees. En effet, soit OxPyPzQ les trois coordonn´ees d’un point et
τ KÉO τxPτyP τzQ le vecteur unitaire tangent `a la fibre en ce point. Le vecteur unitaire tangent au parall`ele en ce point a pour composantes tKnO[
y rP
x
rP0Q (o`u l’axe des z du r´ep`ere cart´esien consid´er´e est suppos´e ˆetre l’axe de r´evolution), ce qui fait que :
FIG. 2.8 – Des trajectoires obtenues par l’algorithme de suivi de fibres, deux positions diff´erentes du cœur.
Si la conjecture de Streeter est vraie pour le ventricule gauche tout entier, c’est-`a-dire que les fibres sont les g´eod´esiques d’un ensemble de surfaces toro¨ıdales emboˆıt´ees, alors pour tous les points d’une fibre donn´ee nous devons trouver la mˆeme valeur de la quantit´e de Clairaut. De plus, si pour une surface donn´ee les fibres recouvrent toute la surface, et que les fibres sont d´eduites l’une de l’autre par rotation autour de l’axe de r´evolution ce qui est une hypoth`ese naturelle, alors la quantit´e de Clairaut doit ˆetre constante sur la surface.
FIG. 2.9 – Isovaleurs de C obtenus sur des sections coronales. A gauche, chaque couleur cor-respond `a une valeur de C dont les traces sont des cercles concentriques. A droite, deux cercles qui correspondent `a la mˆeme valeur de C.
Notre id´ee est d’´evaluer la quantit´e de Clairaut C aux points de l’´echantillon de donn´ees en utilisant la formule pr´ec´edente (2.18) et ensuite de tracer les isovaleurs de cette quantit´e dans des plans de sections coronales (perpendiculaires `a l’axe de r´evolution du ventricule gauche) et dans des plans verticaux passant par l’axe du ventricule gauche, l’un parall`ele et l’autre ortho-gonal au septum, nomm´es sagittal et transversal respectivement.
Comme c’´etait pr´evu, pour des valeurs diff´erentes de C, les courbes d’isovaleurs dans une sec-tion coronale donn´ee sont des cercles concentriques, voir Figure 2.9. De plus, `a une valeur donn´ee de C correspondent deux cercles concentriques ce qui “prouve” que les fibres courent sur des surfaces toro¨ıdales en effectuant au moins une spire et qu’elles sont, sur chacune des surfaces, invariantes par rotation autour de l’axe de r´evolution. En parall`ele, en suivant les fibres point par point pour faire apparaˆıtre leurs trajectoires, on constate qu’une fibre donn´ee traverse les cercles d’isovaleurs qui correspondent `a une mˆeme valeur de C, ce qui confirme que le long de la fibre la quantit´e C est constante, voir Figure 2.10. Les isovaleurs de C dans des sections verticales sont des courbes m´eridiennes emboˆıt´ees ayant la forme de croissant, voir Figure 2.11. Par cons´equent, on peut dire que les fibres se trouvent sur des surfaces emboˆıt´ees.
FIG. 2.10 – Des trajectoires obtenues par l’algorithme de suivi de fibres. Elles traversent dans coupes diff´erentes les cercles qui correspondent `a la mˆeme valeur de C.
Reconstruction de nappes de fibres Nous avons trac´e les trajectoires des fibres issues d’un cercle d’isovaleur de la constante de Clairaut C. Nous avons remarqu´e que ces trajectoires forment une nappe de fibres qui restent parall`eles les unes aux autres. Cette nappe de fibres traverse bien dans les autres sections du cœur les cercles de la mˆeme valeur de C que celle du cercle des points de d´epart des fibres, voir Figure 2.12. Ces nappes montrent la structure toro¨ıdale du ventricule gauche et la forme h´elico¨ıdale que suit chacune des fibres.
Pour confirmer que les nappes ainsi construites correspondent bien aux surfaces toro¨ıdales emboˆıt´ees et que d’autres nappes qui ne correspondent pas `a des surfaces emboˆıt´ees ne peuvent pas exister, nous avons trac´e les trajectoires des fibres issues d’un ensemble de points qui n’ont pas n´ecessairement la mˆeme valeur de C. Le r´esultat obtenu montre bien que ces fibres ne res-tent plus parall`eles les unes aux autres. Par exemple dans le cas o`u les points sont choisis sur un segment de l’´epicarde `a l’endocarde traversant l’´epaisseur du ventricule gauche, les fibres s’enfoncent `a des niveaux diff´erents dans le muscle pour finir par s’´eloigner, voire diverger, les
FIG. 2.11 – Traces d’isovaleurs de C dans des sections longitudinales : parall`ele (gauche) et orthogonale (droite) au septum interventriculaire.
FIG. 2.12 – Deux posistions diff´erentes d’une image de nappes de fibres sont issues de points se trouvant sur un cercle d’isovaleurs de C.
unes des autres, voir Figure 2.13.
L’´etude du ventricule droit est plus compliqu´ee parce qu’il ne poss`ede pas une forme g´eom´etrique simple et il n’existe pas de quantit´es telles que la constante de Clairaut qui facilitent la v´erification de la conjecture. Pour cela nous sommes oblig´es de revenir `a la d´efinition d’une g´eod´esique : “c’est une courbe dont la normale principale en tout point co¨ıncide avec la normale `a la
sur-face”. L’id´ee est de reconstruire les surfaces, si elles existent, sur lesquelles courent les fibres,
de d´eterminer num´eriquement en tout point d’une fibre la normale principale et v´erifier si elle co¨ıncide avec la normale `a la surface qui est elle aussi d´etermin´ee num´eriquement.
FIG. 2.13 – Des trajectoires de fibres issues de points se trouvant sur un segment de l’´epicarde `a l’endocarde et n’ayant pas la mˆeme valeur de C.