L’activation ´electrique du cœur est initi´ee spontan´ement et p´eriodiquement au nœud sinusal situ´e `a cˆot´e de la jonction entre la veine cave sup´erieure et l’oreillette droite. Ce nœud consiste en un rassemblement de cellules appel´ees cellules “pacemaker”. Les signaux de d´epolarisation, aussi dits les potentiels d’action, sont g´en´er´es par le nœud sinusal `a une fr´equence de 60 `a 100 par minute. De ce nœud le potentiel d’action se propage d’une cellule `a une autre `a travers l’oreillette droite et puis l’oreillette gauche avec une vitesse de conduction de 1 m.s
1 jus-qu’`a ce qu’il atteigne le nœud auriculo-ventriculaire. Celui-ci est form´e de cellules pacemaker similaires `a celles du nœud sinusal, mais battant spontan´ement `a une vitesse plus lente, approxi-mativement 40 `a 50 battements par minute. Elles sont gouvern´ees par la propagation venant du nœud sinusal.
FIG. 1.14 – Syst`eme de conduction du cœur (Sands [81]).
La conduction `a travers le nœud auriculo-ventriculaire se fait `a une fr´equence plus lente (0,05 m.s
1environ) laissant le temps aux oreillettes de se contracter et pomper le sang vers les ventricules avant que le potentiel d’action arrive aux ventricules et d´eclenche leur contraction. Ce nœud est la seule connexion ´electrique entre les oreillettes et les ventricules. La propaga-tion ´electrique entre ensuite dans le faisceau de His qui est la partie sup´erieure du syst`eme de conduction ventriculaire et qui descend pr`es du cˆot´e droit du septum. Le faisceau se d´ecompose ensuite en deux branches, droite et gauche. La branche droite continue vers le bas du cˆot´e droit du septum, tandis que la branche gauche se d´ecompose en deux branches principales dans le cˆot´e gauche du septum. Toutes ces branches continuent `a se subdiviser en un r´eseau complexe de fibres appel´ees les fibres de Purkinje qui se propagent `a travers l’endocarde et les r´egions sous-endocardiques des deux ventricules. C’est dans le faisceau de His et le r´eseau de Purkinje que la conduction est la plus rapide, elle est approximativement `a 2 m.s
1ce qui fait que l’en-docarde est excit´e tout entier presque simultan´ement. Voir Figure 1.14.
Dans la partie ventriculaire, le septum est activ´e en premier et il pousse vers le ventricule gauche. Les muscles papillaires sont aussi activ´es tˆot et ainsi ils empˆechent les valves mitrale et tricuspide de s’ouvrir pendant le systole. L’excitation se propage `a l’ext´erieur `a travers le muscle ventriculaire avec une vitesse de 0,3 `a 0,4 m.s
1, et la premi`ere partie qui s’excite dans l’´epicarde est la portion fine du venticule droit. Les r´egions basales sont habituellement activ´ees en dernier.
−90 −80 +20 100 200 300 0 1 3 4 potentiel de repos plateau 2 repolarisation dépolarisation 4 Potentiel d’action (mV) Temps (msec) 0 0
FIG. 1.15 – Potentiel d’action cardiaque (Swynghedauw [87]).
Principe : Au repos, la cellule est polaris´ee et elle a un certain potentiel appel´e “potentiel de
repos” dont les modifications forment ce qu’on appelle le potentiel d’action qui consiste en une commande ´electrique transmise par un messager cellulaire, le calcium. Le potentiel d’action dure un peu plus de 300 msec et comporte cinq phases diff´erentes : La phase 0 est une brutale d´epolarisation augmentant la perm´eabilit´e de la membrane au sodium Na
. Ensuite, la phase 1, pour une courte dur´ee, est une repolarisation due `a la fermeture des canaux de sodium, suivie par la phase 2 qui consiste en un plateau qui est maintenu par un courant entrant de calcium. Cette phase peut durer 100 msec environ et elle apparaˆıt seulement dans les fibres de Purkinje et les cardiomyocytes. Le plateau est responsable de la longue dur´ee du potentiel d’action. La repolarisation, phase 3, est due `a de plusieurs courants sortant de potassium et elle remet le potentiel d’action `a son ´etat de repos, la phase 4. Voir Figure 1.15.
Premi`ere partie
Mod´elisation G´eom´etrique
Introduction
La premi`ere partie de notre travail est consacr´ee `a tester `a partir de donn´ees anatomiques la conjecture de Streeter selon laquelle les fibres courent comme des g´eod´esiques sur des sur-faces emboˆıt´ees, et `a reconstruire les fibres et les sursur-faces sur lesquelles elles courent. Nous d´efinissons les fibres comme des courbes tangentes en chaque point `a un champ donn´e de vec-teurs et nous cherchons s’il existe des surfaces dont ces fibres seraient des g´eod´esiques.
Dans le premier chapitre, nous pr´esentons une introduction `a la g´eom´etrie des courbes et des surfaces et nous nous int´eressons en particulier `a l’´etude des g´eod´esiques p´eriodiques des surfaces de r´evolution. Ensuite, nous construisons un mod`ele abstrait du ventricule gauche qui consiste en des surfaces toro¨ıdales emboˆıt´ees recouvertes par des r´eseaux de g´eod´esiques p´eriodiques. Ce mod`ele est utilis´e pour valider les algorithmes num´eriques de reconstruction de courbes et de surfaces.
Pour la mod´elisation du ventricule droit dont la stucture est plus complexe, nous utilisons des outils de conception g´eom´etrique assist´ee par ordinateur, plus pr´ecis´ement, les courbes et surfaces B-splines. Ces mod`eles sont pr´esent´es dans l’annexe B.
Dans le deuxi`eme chapitre, on passe au traitement de donn´ees exp´erimentales. Nous pr´esentons quelques m´ethodes num´eriques qui sont utilis´ees comme algorithmes de suivi de fibres pour en reconstruire les trajectoires. Ensuite, nous v´erifions la conjecture de Streeter sur le ventricule gauche en utilisant l’invariance de la quantit´e de Clairaut le long des g´eod´esiques des surfaces de r´evolution. Finalement, nous proposons un algorithme de reconstruction de surfaces.
Chapitre 1
G´eom´etrie des courbes et des surfaces
Nous pr´esentons dans ce chapitre des notions de base pour la g´eom´etrie des courbes et des surfaces, pour plus de d´etails voir Lelong-Ferrand et Arnaudi`es [54], Braemer [12], Do Carmo [29], Berger et Gostiaux [6], Klingenberg [49] et Schwartz [82]. Ensuite, nous obtenons un r´esultat sur les g´eod´esiques p´eriodiques des surfaces toro¨ıdales.
1.1 Courbes param´etr´ees
1.1.1 Repr´esentation param´etrique
D´efinition 1.1 : On appelle courbe param´etr´ee de
3 une application continue φ : t I
φ
t
3, I ´etant un intervalle de .
Une courbe param´etr´ee φ est de classe Cr (r entier 1) si φ poss`ede des d´eriv´ees successives jusqu’`a l’ordre r, continues dans l’int´erieur de I.
Deux courbes param´etr´ees φ : I
3 et ψ : J
3 sont dites ´equivalentes s’il existe une bijectionθ: I J telle queφ ψ θ. On remarque que deux courbes param´etr´ees ´equivalentes ont la mˆeme image dans
3, mais la r´eciproque n’est pas vraie. Consid´erons par exemple les courbes param´etr´ees suivantes :φ: t 0 2π
cos t sint0 etψ: t 0 4π !
cost sint0 . Ces deux courbes ont la mˆeme image qui est le cercle du plan Oxy, de centre l’origine O et de rayon 1, pourtant ces deux courbes ne sont pas ´equivalentes.
D´efinition 1.2 : Une courbe g´eom´etrique de
3 est une classe Γ de courbes param´etr´ees ´equivalentes.
Une courbe param´etr´ee φde la classeΓ est dite une repr´esentation param´etrique deΓ. La va-riable r´eelle t qui parcourt l’ensemble I est dite un param`etre deΓ.
Dans la suite de ce chapitre, on d´esignera une repr´esentation param´etriqueφ d’une courbe 27
Γpar le couple
Γφ .
Si la repr´esentation param´etriqueφd’une courbeΓest injective, on dit que
Γφ est une courbe
param´etr´ee simple. Dans l’hypoth`ese contraire, un point M deΓtel queφ
1
M contienne plus d’un ´el´ement est un point multiple de la courbe param´etr´ee
Γ φ dont la multiplicit´e est le cardinal deφ
1
M .
D´efinition 1.3 : Soit
Γφ une courbe param´etr´ee telle queφest d´efinie sur un intervalle ferm´e
a b". Si φ
a φ
b , on dit que la courbe Γ est ferm´ee. Si, en outre, la courbe param´etr´ee
Γ φ#%$
a&b$' est simple,Γest appel´ee une courbe de Jordan. D´efinition 1.4 : Soit
Γ φ une courbe param´etr´ee telle que l’intervalle de d´efinition deφ est
. La courbeΓest dite p´eriodique siφest une fonction p´eriodique.
Soit T ( 0 la p´eriode deφ,φ#%$
0&T)
est une repr´esentation param´etrique de Γqui est une courbe ferm´ee. Si, de plus,
Γ φ est de classe Cr, alors : φ
0 φ T* φ+ 0 φ+ T*-,-,.,/ φ0 r1 0 φ0 r1 T .
1.1.2 Longueur d’une courbe - Abscisse curviligne
D´efinition 1.5 : Une courbe param´etr´ee
Γ φ de classe C1 est dite r´eguli`ere si pour tout t dans l’int´erieur de I on a 232φ+
t4252/6
0.
Dans la suite on consid`ere des courbes param´etr´ees r´eguli`eres au moins de classe C1.
D´efinition 1.6 : Soit
Γ φ une courbe param´etr´ee et a et b appartenant `a I. On appelle lon-gueur de Γ φ de a `a b, l’int´egrale7 b a 252φ+ t8232 dt9
On v´erifie directement que siφ: I:
3 etψ: J:
3 sont deux repr´esentations param´etriques ´equivalentes de classe C1d’une courbeΓ, alors7
I 232φ+ t8252dt 7 J252ψ+ t8232 dt. D´efinition 1.7 : Si
Γ φ est une courbe param´etr´ee, on d´efinit l’abscisse curviligne de Γ `a partir d’un point t0appartenant `a I par :
; t I s t =< t t0 252φ+ u8252du9 Le pointφ
t0 deΓest l’origine de l’abscisse curviligne s.
Il est clair que s
t est la longueur de
Pour que le param`etre t co¨ıncide, `a une constante additive pr`es, avec la longueur de la courbe entre un point de param`etre t0 et le point de param`etre t, il faut et il suffit que, pour tout t I,
252φ+ t8232 1. Dans ce cas, s t
t0. On dit alors que l’on a param´etr´e par l’abscisse curviligne. Si Γest une courbe g´eom´etrique etφ une param´etrisation de Γpar l’abscisse curviligne s qui appartient `a l’intervalle
a b , alors ψ d´efinie sur
b a par ψ u φ
u est une autre param´etrisation de Γ par l’abscisse curviligne, mais elle est d´ecrite dans la direction oppos´ee de celle de φ. On dit que
Γφ et
Γ ψ sont deux courbes param´etr´ees qui diff`erent par le changement d’orientation. Ici, l’intervalle
ab peut ˆetre ferm´e, ouvert ou bien semi-ouvert.
Proposition 1.1 : Toute courbe g´eom´etrique Γ de
3 admet des param´etrisations par l’abs-cisse curviligne. Siφen est une, toute autre est de la forme s φ
s a ou s φ s a , avec a r´eel quelconque.
D´emonstration. voir Berger et Gostiaux [6]. >
La proposition suivante d´ecoule imm´ediatement de la d´efinition de la longueur.
Proposition 1.2 : Soit
Γ φ une courbe param´etr´ee par l’abscisse curviligne. Si
Γ φ est p´eriodique de p´eriode T ( 0, alors T est la longueur de la courbe de 0 `a T .
1.1.3 Tangente et normale `a une courbe
Soit
Γ φ une courbe param´etr´ee de classe C2. La tangente `a Γau point M φ
t est la droite passant par M et de vecteur directeurφ+
t . Le vecteur unitaire tangent `aΓest donc d´efini par τ t φ+ t ? φ+ t ? 9 Commeτ t est de norme 1, on a; t I,τ t@, τ+ t 0. Par d´efinition, la courbure en t est donn´ee par k
t ? τ+ t ?
, et le rayon de courbure (´eventuellement infini) par R t k tA
1. En tout point o`u la courbure est non nulle, on d´efinit la normale prin-cipale unitaire n t et le vecteur binormale b t par τ+ t B n t R t et b t τ tDC n t*9