Afin de v´erifier que les fibres myocardiques sont organis´ees en surfaces dont elles sont les g´eod´esiques, il est utile de disposer d’un mod`ele abstrait pour valider les diff´erents algorithmes que nous d´eveloppons dans le chapitre suivant.
D’apr`es les observations anatomiques, le ventricule gauche pourrait ˆetre mod´elis´e par une forme toro¨ıdale. Nous avons donc construit un mod`ele de r´evolution form´e de surfaces toro¨ıdales emboˆıt´ees, voir Figure 1.4. Ces surfaces sont g´en´er´ees par la rotation autour de l’axe de r´evolution de courbes m´eridiennes en forme de croissant. La courbe m´eridienne de la surface la plus ex-terne est une courbe B-spline de classe C2 polynomiale de degr´e 3 obtenue avec cinq points de contrˆole, voir annexe B. La distance de cette courbe `a l’axe de r´evolution est proche de 0, mais n’est pas ´egale `a 0. Elle est minimale au niveau de l’apex o`u les fibres peuvent passer de l’´epicarde `a l’endocarde. Les courbes m´eridiennes des autres surfaces sont d´eduites de celle de la surface la plus externe en lui appliquant une homoth´etie de rapportλ, 0 λ 1 et de centre choisi de fac¸on `a ce que les courbes obtenues ne se croisent pas. Donc `a chaque valeur de λ
correspond une surface qu’on note Sλ.
Nous avons construit sur chacune des surfaces ainsi d´efinies un r´eseau de g´eod´esiques p´eriodiques qui se d´eduisent l’une de l’autre par rotation autour de l’axe de r´evolution. Par cons´equent, les g´eod´esiques de chaque r´eseau ont une mˆeme constante de Clairaut. Les g´eod´esiques sont choisies de fac¸on `a effectuer un seul tour autour de l’axe de r´evolution et, une spire pour les surfaces non profondes et deux spires pour les surfaces profondes (c’est-`a-dire pourλpetit). La structure du ventricule droit est assez complexe. Les outils classiques de g´eom´etrie ne semblent pas tr`es puissants pour en construire un mod`ele. La disponibilit ´e de nouvelles
ma-FIG. 1.4 – Le mod`ele abstrait du ventricule gauche. A gauche, des courbes m´eridiennes emboˆıt´ees qui g´en`erent des surfaces emboˆıt´ees (au centre) en les faisant tourner autour de l’axe de r´evolution. A droite des g´eod´esiques p´eriodiques qui se d´eduisent l’une de l’autre par rotation autour de l’axe de r´evolution.
chines et de nouveaux outils permet la repr´esentation de formes 3D `a partir de courbes et de sur-faces param´etr´ees. Nous pr´esentons dans l’annexe B des mod`eles pour les formes g´eom´etriques des deux ventricules `a l’aide des surfaces B-splines sur lesquelles nous pouvons tracer des g´eod´esiques en utilisant un algorithme d´evelopp´e par Val´erie Pham-Trong [73] pour tracer des plus courts chemins sur ce type de surfaces.
Chapitre 2
Outils num´eriques - Application au
myocarde
2.1 Introduction
Selon Streeter [85], les fibres myocardiques sont organis´ees en surfaces toro¨ıdales emboˆıt´ees dont elles sont les g´eod´esiques. Partant de donn´ees exp´erimentales, obtenues par la technique de microscopie en lumi`ere polaris´ee d´evelopp´ee par Jouk et al. [47], nous voulons d’un cˆot´e reconstruire les fibres et les surfaces sur lesquelles courent les fibres, et d’un autre cˆot´e ten-ter de v´erifier la conjecture de Streeten-ter. La technique exp´erimentale mesure pour un nombre de points se trouvant dans des sections diff´erentes dans le myocarde deux angles `a partir des-quels l’orientation de la fibre peut ˆetre d´eduite. Autrement dit, le travail exp´erimental fournit un champ discret tridimensionnel des directions des fibres.
Dans notre travail nous supposons que le ventricule gauche a une structure de r´evolution. Plus pr´ecis´ement, nous voyons sa surface externe g´en´er´ee par rotation autour d’un axe de r´evolution d’une courbe m´eridienne qui a la forme d’un croissant. Ce mod`ele simplifi´e nous permet d’utiliser l’invariance de la constante de Clairaut le long des g´eod´esiques des surfaces de r´evolution. La propri´et´e de Clairaut a d’ailleurs ´et´e utilis´ee par Streeter qui disposait de me-sures dans la partie ´equatoriale libre du ventricule gauche.
Dans ce chapitre, nous pr´esentons tout d’abord le cadre math´ematique dans lequel se situe notre probl`eme ainsi que quelques m´ethodes num´eriques qui sont utilis´ees dans la suite pour d´evelopper des algorithmes de suivi de fibres et de reconstruction de surfaces. Ensuite, nous construisons des mod`eles abstraits pour les formes g´eom´etriques des deux ventricules pour pouvoir valider les diff´erents algorithmes que nous avons d´evelopp´es.
Afin de v´erifier la conjecture de Streeter, nous calculons en tout point du ventricule gauche la quantit´e de Clairaut et nous trac¸ons ses isovaleurs dans des sections horizontales et verticales. De plus, nous utilisons l’algorithme de suivi de fibres pour obtenir une information sur chaque
fibre s´epar´ement. Nous remarquons que le long d’une fibre donn´ee la quantit´e de Clairaut reste invariante. Enfin, nous utilisons l’algorithme de suivi de fibres pour visualiser les surfaces d’iso-valeurs du nombre de Clairaut. Les surfaces obtenues montrent clairement la structure toro¨ıdale du ventricule gauche et la forme h´elico¨ıdale des trajectoires des fibres.
La structure relativement simple du ventricule gauche n’est plus valable pour le ventri-cule droit, les algorithmes de reconstruction de surfaces s’av`erent sensibles `a la pr´ecision des donn´ees anatomiques, tout cela a limit´e nos r´esultats au ventricule gauche uniquement.