Interpr´etation des r´esultats

FIG. 3.4 – La direction pr´edominante d’une cellule de r´ep´etitivit´e mod´elise celle d’une fibre cardiaque.

Les tractions uniaxiales que nous avons faites sont en incompressible, c’est-`a-dire, nous avons fait varier λf et pris λc f Ÿ λn f Ÿ 1 [¡ λf ce qui correspond `a tenir un volume constant pendant la traction. Voir paragraphe 3.3.7. Les graphes qui apparaissent dans la suite corres-pondent `a l’´energie de d´eformation en fonction du rapport d’extension de la fibreλf. La courbe en ligne continue repr´esente le r´esultat de la m´ethode d’homog´en´eisation, et les symboles cor-respondent aux donn´ees exp´erimentales.

3.6 Interpr´etation des r´esultats

Pour une mˆeme valeur de la rigidit´e des moments, les lois homog´en´eis´ees obtenues pour les deux formes polynomiale et exponentielle Eq2 de la loi de comportement du cardiomyocyte sont peu diff´erentes. Ce r´esultat est attendu parce que au niveau du cardiomyocyte, ces deux formes sont aussi peu diff´erentes, voir Figure 3.2. D’autre part, on remarque que pour des choix diff´erents de la rigidit´e des moments nous avons pu approcher les donn´ees macroscopiques des diff´erents ´echantillons (diff´erents sp´ecimens) `a l’´etat passif.

Pour mener une comparaison avec les lois ph´enom´enologiques propos´ees par Lin et Yin pour le muscle `a l’´etat actif, il faudrait disposer de donn´ees exp´erimentales sur le comportement en traction compression de cardiomyocytes isol´es activ´es. En l’abscence de ces donn´ees, il se-rait envisageable d’essayer de mod´eliser l’activation des cardiomyocytes en modifiant leurs lon-gueurs neutres tout en gardant la forme (3.8) de la loi en traction compression et, ´eventuellement, en changeant les raideurs des moments.

Chapitre 4

Application aux nanotubes de carbone

Introduction

Les nanotubes de carbone, que nous d´esignerons par NTC, sont des macromol´ecules cy-lindriques de carbone qui peuvent pr´esenter une ou plusieurs couches d’atomes, ils sont dits monofeuillets ou multifeuillets. En raison de leurs propri´et´es physiques remarquables, tant au plan ´electronique, thermique que m´ecanique, les nanotubes de carbone sont l’objet d’une re-cherche importante.

Un NTC monofeuillet peut ˆetre vu comme une feuille de graphite, ou graph`ene, enroul´ee sur elle-mˆeme en un cylindre ferm´e par une demi-sph`ere `a chaque extr´emit´e, voir Figure 4.1. Une feuille de graphite est form´ee d’atomes de carbone li´es par des liaisons atomiques et arrang´es de mani`ere `a former un r´eseau d’anneaux hexagonaux. Quand une feuille de graphite est enroul´ee sur elle-mˆeme, l’arrangement de carbone devient tr`es rigide, de haute r´esistance axiale et de forte flexibilit´e. La litt´erature fait mention de module d’Young de l’ordre de 1 TPa pour des NTC monofeuillets.

Depuis leur premi`ere d´ecouverte en 1991 par Ijima [45], de nombreux travaux tant exp´erimen-taux que th´eoriques ont ´et´e d´evelopp´es pour d´eterminer la structure des NTC, pour mesurer et pour calculer leurs propri´et´es physiques. Les mesures sont rendues tr`es d´elicates par la faible taille des nanotubes. Des mesures exp´erimentales ont ´et´e r´ealis´ees `a partir de la fr´equence de vibration thermique dans un microscope ´electronique en transmission, voir Treacy et al. [94], Krishnan et al. [51]. D’autres mesures ont ´et´e obtenues `a l’aide d’un microscope `a force ato-mique, voir par exemple Wong et al. [100], Yu et al. [105], [106].

Quant aux ´etudes th´eoriques, la dynamique mol´eculaire a ´et´e utilis´ee avec diff´erentes formes du potentiel interatomique, voir Robertson et al. [77], Yakobson et al. [101], Cornwell et Wille [24]. D’autre part, Tu et Ou-Yang [96] ont obtenu l’expression compl`ete de l’´energie d’un na-notube d´eform´e `a partir du mod`ele d’approximation de la densit´e locale propos´e par Lenosky et al. [55], et ils ont ensuite exprim´e cette ´energie en ´elasticit´e classique. R´ecemment, Zhou

FIG. 4.1 – Un morceau d’un nanotube faisant apparaˆıtre un cylindre ferm´e par une demi-sph`ere `a l’une de ses extr´emit´es.

et al. [110] ont men´e une ´etude th´eorique bas´ee sur la combinaison lin´eaire des orbitales ato-miques et du faisceau orbital mol´eculaire. Il y a, cependant, tr`es peu d’´etudes en m´ecanique des milieux continus des NTC parce qu’on pense g´en´eralement que les th´eories de m´ecanique des milieux continus ne sont pas applicables `a l’´echelle atomique ou `a celle du nanom`etre. Dans ce cadre, les propri´et´es ´elastiques des NTC monofeuillets et multifeuillets sont obtenues en g´en´eral en couplant la m´ecanique quantique et la th´eorie ´elastique classique. La variation des ´energies ´electroniques microscopiques provoqu´ees par les d´eformations de la structure est d’abord calcul´ee, ensuite, l’´energie de d´eformation correspondante en th´eorie ´elastique clas-sique est ´ecrite afin d’obtenir les constantes ´elastiques telles que le coefficient de Poisson et le module d’Young. Dans les ´etudes en m´ecanique des milieux continus, un NTC est mod´elis´e soit par une coque cylindrique (par exemple, Yakobson et al. [101]), soit par une poutre (Liu et al. [58]), soit par un treillis (Odegard et al. [65]). Une ´etude de Zhou et al. [109] bas´ee sur l’´elasticit´e des milieux continus a permis de calculer l’´energie de d´eformation d’un NTC mo-nofeuillet directement `a partir de la structure de bande ´electronique des atomes sans introduire de potentiel empirique. L’´epaisseur du nanotube est calcul´ee de la bande des ´electrons et le module d’Young est obtenu en consid´erant `a la fois l’´energie de r´epulsion entre les ions et la d´ependance de l’´energie ´electronique en la longueur de liaison. R´ecemment, Zhang et al. [107] ont propos´e un mod`ele de milieu continu `a l’´echelle du nanom`etre incorporant directement le potentiel interatomique dans le mod`ele. Ils ont d´eduit la densit´e d’´energie de d´eformation du milieu continu de l’´energie stock´ee dans les liaisons atomiques en moyennant sur les orienta-tions et la distribution des liaisons. Ils se sont bas´es sur les potentiels interatomiques pour le carbone de Tersoff [91] et Brenner [13]. Ensuite, Zhang et al. [108] ont g´en´eralis´e cette th´eorie de milieu continu `a l’´echelle du nanom`etre sans faire d’hypoth`eses sur le potentiel d’interaction et sur la fonction densit´e de liaisons.

Des questions se sont pos´ees sur l’applicabilit´e de la th´eorie des milieux continus pour in-terpr´eter les r´eponses m´ecaniques des nanotubes. Govindjee et Sackman [36] ont examin´e la validit´e de l’utilisation des mod`eles de coques et de poutres ´elastiques. Ils ont montr´e que, pour qu’un mod`ele de poutre en flexion soit valide, il faut que le nanotube ait un grand nombre de

couches afin de supposer que la section est un milieu continu. R´ecemment, Harik et al. [39] ont identifi´e quatre classes pour les mod`eles des NTC : les mod`eles de coque mince et ´epaisse, le mod`ele de coque avec un rapport d’aspect tr`es grand (le rapport de la longueur du nanotube sur son rayon), et le mod`ele de poutre.

Nous avons abord´e une ´etude th´eorique des propri´et´es ´elastiques des NTC en utilisant la technique d’homog´en´eisation que nous avons d´evelopp´ee dans le cadre de la mod´elisation cardiaque. En effet, nous avons mod´elis´e le r´eseau de lisaisons de carbone dans les feuilles de graphite par un treillis bidimensionnel p´eriodique de barres ´elastiques li´ees entre elles par leurs extr´emit´es atomiques. Les interactions carbone-carbone sont mod´elis´ees par des tensions ´elastiques et la variation angulaire entre deux liaisons partageant la mˆeme extr´emit´e est mod´elis´ee par des moments. Tout d’abord nous avons ´etudi´e le mod`ele en grandes d´eformations et puis nous nous sommes int´eress´es aux d´eformations en petits d´eplacements. Dans la deuxi`eme mod´elisation, nous avons obtenu la solution analytique du syst`eme d’auto´equilibre ainsi que les expressions explicites du module d’Young et du coefficient de Poisson en fonction des rigi-dit´es des tensions et des moments, et de la longueur de liaison atomique.

Il est `a souligner que notre m´ethode n’est pas limit´ee aux NTC monofeuillets, elle peut aussi ˆetre appliqu´ee `a d’autres nanostructures une fois connus le potentiel interatomique et la structure atomique du mat´eriau.

4.1 Description g´eom´etrique et m´ecanique d’un graph`ene

4.1.1 G´eom´etrie du graph`ene et configuration de r´ef´erence

La structure dont nous cherchons un mod`ele continu ´equivalent n’est pas un nanotube de carbone, c’est la structure bidimensionnelle appel´ee graph`ene consid´er´ee par Odegard et al. [65] dont la configuration neutre (configuration d’´equilibre en l’abscence de chargement) est un plan. Dans la configuration neutre, que nous prendrons par la suite comme configuration de r´ef´erence, les atomes de carbone sont situ´es aux nœuds d’un r´eseau hexagonal dont les cˆot´es mesurent 0,14 nm. Sur la Figure 4.2, on peut voir que le r´eseau hexagonal peut ˆetre g´en´er´e par la r´ep´etition p´eriodique suivant les vecteurs y¹ et y² d’une cellule ´el´ementaire constitu´ee de 2 atomes de carbone. En adoptant la num´erotation des atomes de carbone ˜n”

™nν1

 ν2

š d´ecrite dans la section 2.2.1 o`u ™ν1

 ν2

š num´erote les cellules ´el´ementaires et n l’atome dans la cellule, nous voyons que la position des atomes dans l’´etat neutre du graph`ene sont donn´ees par

RR™n˜š ” ν1

y¹– ν2

y²– Rⁿ_R— (4.1)

Les vecteurs de base i¹et i²´etant ceux de la Figure 4.2, nous avons yⁱ” rYⁱavec

Y¹”2¢ 3i¹ et Y² ” ¢ 3 2 ⁱ 1 – 3 2ⁱ 2  (4.2) R¹_R” 0 et R²_R ” r™ ¢ 3 2 ⁱ 1 – 1 2ⁱ 2 š  (4.3)

O noeud 2 1 1 2 barre 3 y 2 y i i noeud 1 barre 2 barre 1

FIG. 4.2 – Treillis mod´elisant un graph`ene. La p´eriode ´el´ementaire g´en´erant le treillis est repr´esent´ee en gras. Elle consiste en deux nœuds, trois barres et six couples de barres.

o`u r ” 0 14 nm.

4.1.2 Mod`ele m´ecanique du graph`ene

Nous utilisons des donn´ees dues `a Allinger et al. [1] sur la rigidit´e des liaisons atomiques et sur la rigidit´e de la variation angulaire entre deux lisaisons partageant un mˆeme atome. Ces donn´ees ont ´et´e utilis´ees par Odegard et al. [65] qui ont mod´elis´e la feuille de graphite, comme nous l’avons fait, par un treillis de barres ´elastiques. Dans leur mod`ele, la variation angulaire entre deux liaisons atomiques partageant un mˆeme atome n’a pas ´et´e mod´elis´ee par des moments. Pour cela, ils ont introduit dans le treillis de nouvelles barres qui ont des pro-pri´et´es m´ecaniques diff´erentes de celles mod´elisant les liaisons atomiques. Notre m´ethode d’ho-mog´en´eisation permet de prendre en compte sans le modifier le mod`ele de Allinger et al. [1].

Dans le mod`ele m´ecanique propos´e par Allinger et al. [1], la tension N d’une liaison inter-atomique est donn´ee en fonction de la distance interinter-atomique l par

N ” 652™ l• rš

 (4.4)

et l’intensit´e du couple entre deux liaisons partageant un mˆeme atome est

M” 876œ 10› 19 1 £ 1• p2™ Arccos™ pš • 2π 3 š  (4.5)

o`u p est le produit scalaire des vecteurs unitaires des deux liaisons.

Les forces sont mesur´ees en Newton, les longueurs en m`etre, les moments en N.m.

Avec le choix de la loi de comportement du moment ci-dessus, il est exclu d’avoir de couples form´es de deux barres align´ees (p ¤

parce qu’il semble physiquement impossible d’atteindre une telle situation, c’est-`a-dire d’ali-gner trois atomes de carbones li´es entre eux par deux liaisons atomiques.

4.1.3 Description et num´erotation des ´el´ements du graph`ene

Compte tenu de la mod´elisation m´ecanique du graph`ene d´ecrite dans la section 4.1.2, les ´el´ements du graph`ene sont les atomes de carbone et les liaisons entre carbone, ce sont les mˆemes ´el´ements que ceux pris en compte au chapitre 2. Pour mettre en œuvre la m´ethode d’homog´en´eisation de ce chapitre, nous devons d´ecrire la cellule ´el´ementaire (ou cellule de r´ep´etitivit´e) du graph`ene conform´ement au syst`eme d´ecrit dans la section 2.2.1.

La cellule n’est pas un hexagone, elle rassemble les ´el´ements qui, par r´ep´etition spatiale, g´en´erent la structure de la feuille de graphite, voir Figure 4.2. Dans notre ´etude, nous choisis-sons la cellule ´el´ementaire d´efinie sur la Figure 4.2. Cette cellule contient deux nœuds, trois barres et six couples de barres dont les num´eros sont donn´es dans les tableaux suivants :

Tableau 1 b 1 2 3 O_R™bš 1 1 1 ER™bš 2 2 2 δ1 ™bš 0 -1 0 δ2 ™bš 0 0 -1

Num´erotation des barres.

Tableau 2 c 1 2 3 4 5 6 PR™ cš 2 3 1 2 3 1 D_R™cš 3 1 2 3 1 2 γ1 ™ cš 0 0 0 -1 0 1 γ2 ™ cš 0 0 0 1 -1 0

Num´erotation des couples de barres.

Voir chapitre 2 pour les notations et la fac¸on de d´ecrire la “topologie” d’une cellule ´el´ementaire. Nous avons donc : ¦i§

”¨ 12©  ª § ”D¨ 1 2 3©  « § ”¨ 1 2 3 4 5 6© —

4.1.4 Application de l’homog´en´eisation au graph`ene

Ainsi qu’il est expliqu´e au chapitre 2, la technique des d´eveloppements asymptotiques de l’homog´en´eisation suppose qu’on ´etudie une suite de structures param´etr´ee parε.

Il est n´ecessaire en particulier de pr´eciser la d´ependance vis-`a-vis deεdes lois de compor-tement pour les tensions et les moments de la suite de structures que nous consid´erons dans le processus d’homog´en´eisation.

En reprenant en dimension 2 l’argument d´evelopp´e dans la section 2.2.2, nous choisissons la loi de comportement des tensions de fac¸on `a ce qu’elle soit d’ordre¦ ε:

ε˜b

™lš

o`u L est une longueur de r´ef´erence.

De mˆeme, pour respecter les ordres de grandeur relatifs entre tensions et moments nous choisissons ­ εc˜ ™ pš ” ε2 k_p£ ¹ 1• p2™ Arccos™ pš • 2π 3 š — (4.7)

Les d´eveloppements (2.32) et (2.33) deviennent

¦ ε˜b ™ lε˜b š ” εkl™l^b0• Lš]– ε2®°¯U¯P¯V± – ¯P¯P¯ ¬ (4.8) ­ εc˜ ™ pεc˜ š ” ε2 kp 1 £ 1• ™ pc0 š 2™ Arccos™ p^c0š • 2π 3 š]– ε3®°¯P¯U¯V± – ¯P¯P¯ — (4.9)

Les lois de comportement (2.71) intervenant dans le probl`eme sur la cellule de r´ep´etitivit´e de la section 2.2.4 sont donc

¦ b0 ™lš ” k_l™l• Lš¬ (4.10) ­ c0 ™ pš ” kp 1 £ 1• p2™ Arccos™ pš • 2π 3 š — (4.11)

Par coh´erence avec les ordres de grandeur choisis pour les tensions et les moments, nous choisissons des efforts ext´erieurs d’ordre 2 par rapport `aε:

fεn˜

” ε2 f^e n

™λ^εš

— (4.12)