4.2 Spectroscopie de l’atome habill´ e
4.3.6 Reconstruction de l’´ etat |n = 2i
a la fin de la spectroscopie. Apr`es la phase de rotation `a grand d´esaccord δdnous laissons le syst`eme ´evoluer `a r´esonance pendant ti = 3µs. Nous enregistrons ensuite la probabilit´e Pg de d´etecter l’atome dans l’´etat |gi en fonction de ∆tpalier(figure4.14(b)). Le d´ephasage acquis pendant l’application de l’op´erateur σz change la direction de rotation du vecteur de Bloch lors de l’interaction r´esonante, ce qui modifie la valeur de Pg `a l’instant ti = 3µs. Nous superposons aux donn´ees exp´erimentales les valeurs simul´ees (en rouge) calcul´ees dans le cas simple d’une oscillation de Rabi r´esonante pendant une dur´ee ti. Nous prenons dans les simulations comme ´etat initial l’´etat |−, 2iδ dont la composante selon |gi est d´ephas´ee d’un angle ϕ et nous lui appliquons la loi de renormalisation homographique dont les param`etres sont r´eunis dans l’´equation (3.12). L’ajustement entre l’axe des abscisses exp´erimental exprim´e en temps et l’axe des abscisses simul´e initialement en phase nous permet d’obtenir la loi de calibration suivante :
∆tpalier (µs) = 0.493(1)ϕ
2π + 0.19(1) . (4.22) Le d´ecalage par rapport `a l’origine des phases s’explique par le temps de basculement entre les diff´erentes valeurs de champ ´electrique d’une dur´ee de quelques centaines de nanosecondes.
4.3.5.2 M´ethode du maximum de vraisemblance
Pour reconstruire l’´etat du syst`eme nous utilisons un algorithme de reconstruction par la m´ethode du maximum de vraisemblance. Cette m´ethode, d´ej`a utilis´ee dans notre ´
equipe afin de faire la tomographie de l’´etat du champ g´en´er´e dans la cavit´e supraconduc-trice [73], ne sera pas d´etaill´ee dans ce manuscrit. Pour une revue compl`ete sur le sujet ainsi que ses possibilit´es d’impl´ementation le lecteur est encourag´e `a lire la revue de A. I. Lvovsky et M. G. Raymer [74].
L’id´ee est la suivante : il s’agit de d´eterminer la matrice densit´e ρ du syst`eme {atome + champ} telle que ρ reproduise au mieux les r´esultats des mesures exp´erimentales. Pour cela la m´ethode du maximum de vraisemblance introduit une fonction de vraisemblance. Chaque mesure faite sur l’´etat du syst`eme donne un r´esultat probabiliste : si la mesure est r´ep´et´ee un grand nombre de fois alors la probabilit´e est ´egale `a la fr´equence d’occu-rence du r´esultat donn´e. La fonction de vraisemblance est d´efinie comme la probabilit´e de trouver les mˆemes fr´equences de r´esultats que celles de l’exp´erience lorsque le syst`eme est dans l’´etat ρ. La matrice densit´e optimale est celle qui maximise la fonction de vraisem-blance ainsi d´efinie. Il est possible de la d´eterminer par une m´ethode num´erique it´erative d´ecrite en d´etail dans [75]. Nous appliquerons dans la suite du manuscrit cette m´ethode num´erique pour reconstruire l’´etat de notre syst`eme exp´erimental `a l’issue de la spectro-scopie conditionnelle.
4.3.6 Reconstruction de l’´etat |n = 2i
En exploitant la rotation du dipˆole atomique abord´ee dans la section 4.3.5.1 il est possible de d´eterminer la phase relative entre les composantes |g, n + 1i et |e, ni de l’´etat du syst`eme form´e de l’atome et du mode ´electromagn´etique de la cavit´e. Le signal de Rabi ne d´epend cependant pas de la phase relative entre diff´erents ´etats de Fock donc nous n’avons aucune information sur les coh´erences de type |e, ni − |e, n + 1i. Nous pou-vons donc uniquement reconstruire une diagonale par blocs 2x2 de la matrice densit´e de
l’´etat g´en´er´e dans la cavit´e `a l’issue de la spectroscopie conditionnelle, o`u chaque bloc correspond au sous-espace {|e, ni , |g, n + 1i}. Nous fixons `a nouveau la fr´equence de la source micro-onde S `a la fr´equence de la transition T−,2afin de pr´eparer l’´etat |−, 2iδ, dont nous voulons sonder la puret´e. Nous enregistrons alors les oscillations de Rabi en r´egime r´esonant pour deux dur´ees ∆tpalier diff´erentes, c’est-`a-dire deux valeurs de ϕ : ϕ1 = 2.38 et ϕ2 = 4.93, dont la diff´erence est proche de π/2. Les deux courbes obtenues sont pr´esent´ees sur la figure 4.15.
Figure 4.15 – Oscillations de Rabi Pg(te) dans l’´etat obtenu `a l’issue d’une spectroscopie conditionnelle sur n = 2 puis d’une rotation du dipˆole atomique d’une phase ϕ. La courbe noire correspond `a un d´ephasage ϕ1 = 2.38 et la courbe rouge `a un d´ephasage ϕ2 = 4.93.
Nous int´egrons ces donn´ees exp´erimentales `a un algorithme de maximum de vraisem-blance afin de d´eterminer la matrice densit´e ρexpdu syst`eme {atome+champ}. Notons que dans la suite du manuscrit tous les r´esultats de reconstruction d’´etat sont des r´esultats pr´eliminaires.
Comme expliqu´e pr´ec´edemment, dans le cas de la reconstruction de l’´etat |2i, les donn´ees recueillies ne nous donnent aucune information sur les coh´erences sauf sur celles entre les composantes |g, n + 1i et |e, ni. En dehors de la diagonale par blocs `a d´eterminer nous fixons ainsi les autres ´el´ements de matrice `a 0 dans l’´etat utilis´e pour initialiser l’algorithme de reconstruction. Nous choisissons N = 10 pour la taille de l’espace de Hil-bert et nous d´ecrivons l’´etat du syst`eme exp´erimental dans deux bases diff´erentes pour mettre en ´evidence l’habillage de l’´etat g´en´er´e. L’´etat est reconstruit dans la base cano-nique {|g, ni , |e, ni}n≤N dans laquelle nous noterons ses coordonn´ees ρkl. Les vecteurs de la base sont organis´es selon {|g, 0i , |e, 0i , |g, 1i , |e, 1i , . . .}. Nous exprimons ´egalement la matrice densit´e reconstruite dans la base des ´etats habill´es au d´esaccord δ par changement de base. Ses coordonn´ees seront alors not´ees ˜ρkl. Les vecteurs de base sont organis´es de
sorte que ρ s’´ecrit dans cette derni`ere base selon : ˜ ρ =
|g,0i |−,0iδ |+,0iδ |−,1iδ |+,1iδ |−,2iδ ··· |g,0i ρ˜11 . . . . . |−,0iδ . ρ˜22 ρ˜23 . . . |+,0iδ . ρ˜32 ρ˜33 ρ˜34 . . |−,1iδ . . ρ˜43 ρ˜44 ρ˜45 . |+,1iδ . . . ρ˜54 ρ˜55 ρ˜56 |−,2iδ . . . ρ˜66 .. . . .. , (4.23)
Nous chercherons ainsi `a d´eterminer les coefficients ˜ρkl. L’algorithme prend en compte chaque valeur de Pg pour un temps d’interaction donn´e ti et une phase donn´ee ϕj afin de reconstruire l’´etat du syst`eme le plus susceptible de mener aux r´esultats des oscillations de Rabi r´esonnantes enregistr´ees.
(a) (b)
Figure 4.16 – Valeur absolue des coordonn´ees de la matrice densit´e de l’´etat du syst`eme reconstruit par maximum de vraisemblance : (a) exprim´ee dans la base canonique. (b) exprim´ee dans la base des ´etats habill´es au d´esaccord δ.
L’´etat obtenu par reconstruction est pr´esent´e sur la figure 4.16(a) sous forme d’histo-gramme, o`u la hauteur de chaque barre verticale aux coordonn´ees (k, l) vaut |ρkl|. Sur la figure 4.16(b) est repr´esent´e le mˆeme ´etat exprim´e cette fois dans la base des ´etats ha-bill´es au d´esaccord δ. Nous voyons sur cette derni`ere que le poids relatif des ´etats |+, niδ est compl`etement n´egligeable : la proportion et la phase de la contamination des ´etats |g, n + 1i mis en ´evidence par l’algorithme de maximum de vraisemblance correspond exactement `a l’habillage attendu au d´esaccord δ.
Nous pouvons d´eduire de la tomographie de l’´etat exprim´e dans la base des ´etats habill´es la puret´e de l’´etat ainsi g´en´er´e en regardant plus attentivement les ´el´ements diagonaux de la matrice densit´e (figure4.17(a)). A l’aide de la spectroscopie conditionnelle sur la transition T−,2 nous pr´eparons donc majoritairement (`a 74.1%) l’´etat |2i, assimil´e `
a |−, 2iδ en admettant la possibilit´e de le d´eshabiller.
Nous pouvons estimer la fid´elit´e de l’´etat g´en´er´e par rapport `a l’´etat cible |−, 2iδ d´efinie par
(a)
(b) (c)
Figure 4.17 – (a) El´ements diagonaux de la matrice densit´e de l’´etat du syst`eme re-construit par maximum de vraisemblance. (b) Comparaison des oscillations de Rabi exp´erimentales obtenues pour ϕ1 (points noirs) et des oscillations de Rabi calcul´ees pour l’´etat ρexp reconstruit (ligne rouge). (c) Comparaison des oscillations de Rabi exp´erimentales obtenues pour ϕ2 (points noirs) et des oscillations de Rabi calcul´ees pour l’´etat ρexp reconstruit(ligne rouge).
qui est ici simplement ´egale `a la population dans l’´etat habill´e |−, 2iδ c’est `a dire 74.1%. Cette valeur est proche de celle obtenue par la simple transform´ee de Fourier (78.7%), mais apparaˆıt comme plus pr´ecise : les principales contaminations pouvant s’expliquer par des raisons physiques et non des limites num´eriques. Ces contaminations sont en revanche tr`es proches de celles d´etermin´ees par l’ajustement temporel du signal qui paraˆıt donc plus fiable. Nous pr´esentons enfin sur les figures4.17(b) et (c) la comparaison entre les mesures exp´erimentales utilis´ees pour la reconstruction et le r´esultat calcul´e de ces mesures pour l’´etat reconstruit, montrant la consistance de l’algorithme utilis´e.