Calibration de l’injection

Pour g´en´erer un champ coh´erent dans la cavit´e on exploite un couplage indirect par des canaux de perte par diffraction. Le couplage est donc extrˆemement faible, ce qui est indispensable pour que la cavit´e ait un long temps de vie, mais suffisant pour diffracter quelques photons dans le mode souhait´e. Mˆeme s’il est faible, ce couplage est constant, donc en g´en´erant un champ coh´erent dans l’environnement de la cavit´e, nous g´en´erons un champ coh´erent `a l’int´erieur du mode dont nous contrˆolons l’amplitude et la phase en contrˆolant l’amplitude et la phase de la micro-onde classique envoy´ee. L’amplitude α(tinj) du champ coh´erent pr´epar´e dans la cavit´e est ainsi proportionnel `a la dur´ee d’injection pour une puissance donn´ee. La loi de proportionnalit´e α(t_inj) = k · t_inj peut ˆetre calibr´ee de diverses mani`eres. Nous pr´esentons ici une premi`ere m´ethode bas´ee sur la mesure de la fr´equence des oscillations de Rabi d´etermin´ees en enregistrant une premi`ere p´eriode d’oscillation de Rabi (cf figure3.8) pour des dur´ees d’injection diff´erentes puis ajust´es par la formule th´eorique. Un ajustement plus fin sera r´ealis´e grˆace `a une analyse de Fourier du signal complet d’oscillations de Rabi dans un champ donn´e. Enfin, la section 3.4.3

donnera un ultime raffinement de la loi.

Nous utilisons la s´equence exp´erimentale 3.4 et enregistrons le d´ebut des oscillations de Rabi pour diff´erents temps d’injection t_inj. Th´eoriquement on s’attend `a avoir :

Pg(te) = cos(Ω0

√ ¯

n + 1te) ; (3.13) Or on a ¯n = h ˆN i = |α|2 = |k · t_inj|2 donc la p´eriode de ces oscillations d´epend directement du facteur de proportionnalit´e k. La figure 3.8(a) pr´esente les points exp´erimentaux du d´ebut des oscillations de Rabi Pg en fonction du temps effectif te. Avant l’interaction un champ micro-onde est inject´e `a r´esonance avec la fr´equence de la cavit´e ν_cav pendant une dur´ee t_inj = 7, 11 ,14, 16 et 18µs. L’ajustement de ces donn´ees exp´erimentales par une sinuso¨ıde amortie permet d’obtenir pour chaque tinj le champ coh´erent α correspondant (3.8(a)) et d’en tirer la loi de proportionnalit´e :

(a) (b)

Figure 3.8 – Calibration de l’injection micro-onde dans le mode de la cavit´e : (a) Points discrets : oscillations de Rabi P_g en fonction du temps effectif t_e pour diff´erentes dur´ees d’injections dans la cavit´e t_inj et ajustement par une sinuso¨ıde amortie (courbe continue) nous donnant pour chaque courbe un param`etre α. (b) α correspondant en fonction de t_inj. Un ajustement lin´eaire nous donne la loi de proportionnalit´e α(t_inj) = k · t_inj.

3.3.2 R´esultats exp´erimentaux

Le long temps d’interaction autoris´e par la manipulation d’atomes lents permet non seulement l’observation du d´ebut des oscillations de Rabi entre un champ coh´erent et un atome initialement pr´epar´e dans l’´etat |ei mais aussi de l’ensemble du processus d’effon-drement et de r´esurgence d´ecrit en d´etail dans la partie 1.3.3.3.

Nous pr´esentons dans cette partie une exp´erience lors de laquelle nous utilisons la s´equence exp´erimentale3.4 et enregistrons les oscillations de Rabi pour une dur´ee d’injec-tion t_inj = 14µs c’est-`a-dire un champ coh´erent β ≈ 3.5, correspondant `a ¯n ≈ 12.2 pho-tons. La figure 3.9 montre les donn´ees exp´erimentales ainsi que la simulation num´erique int´egrant les caract´eristiques de l’exp´erience et renormalis´ee par la loi homographique. L’accord entre les deux est tr`es satisfaisant. Nous voyons nettement l’effondrement rapide puis une r´esurgence des oscillations de Rabi autour de T_r= 146µs.

Nous utilisons la transform´ee de Fourier pour convertir le signal d’oscillations de Rabi vers le domaine fr´equentiel et obtenir une vision directe de la distribution des fr´equences de Rabi qui refl`ete directement la distribution du nombre de photons. Pour calculer la transform´ee de Fourier, nous proc´edons `a une interpolation du signal avec des points ´

equidistants de 0.1µs. Nous soustrayons ensuite sa valeur moyenne, le symm´etrisons par rapport au temps t_e= 0 et compl´etons les donn´ees en ajoutant des 0 jusqu’`a t<sub>e</sub> = ±3000µs. Toutes ces ´etapes interm´ediaires sont r´ealis´ees pour ´eliminer les artefacts li´es `a la fenˆetre d’´echantillonnage et obtenir en calculant ensuite la transform´ee de Fourier rapide avec une fenˆetre rectangulaire une transform´ee de Fourier avec un bon ´echantillonnage. En appliquant cette proc´edure aux donn´ees pr´ec´edentes, nous obtenons la courbe 3.10 qui montre tr`es nettement des pics fins et disjoints associ´es `a chaque nombre de photons. Les fr´equences de Rabi th´eoriques associ´ees `a chaque nombre de photon Ω<sub>n</sub>/2π sont repr´esent´ees par des traits verticaux bleus et se superposent parfaitement avec les pics de la transform´ee de Fourier calcul´es `a partir du signal exp´erimental. Comme attendu `a travers

Figure 3.9 – Oscillations de Rabi dans un champ coh´erent |βi avec β² = 13.2 ± 0.1. Les points noirs reli´es par un trait fin sont la probabilit´e P_g mesur´ee exp´erimentalement en fonction du temps effectif t_e. La courbe rouge est le r´esultat d’une simulation num´erique int´egrant les caract´eristiques de l’exp´erience et renormalis´ee par une loi homographique. L’insert pr´esente un zoom sur le r´esurgence des oscillations.

l’´equation (1.69) nous retrouvons que le signal temporel d’effondrement et de r´esurgence correspond au signal r´esultant de la superposition de sinuso¨ıdes associ´e `a chaque nombre de photons. Chaque ´etat de Fock contenu dans l’´etat coh´erent contribue par un signal d’oscillations pur `a la pulsation Ω_n, pond´er´e par son poids P (n).

Afin d’interpr´eter de fa¸con quantitative ces donn´ees nous ajustons la courbe de la transform´ee de Fourier par une somme de 13 gaussiennes de mˆeme largeur. Les param`etres de l’ajustement sont les positions et les hauteurs de ces gaussiennes. La fr´equence de ces pics en fonction du nombre de photons correspondant est trac´ee sur la figure 3.11(a). L’accord avec la formule th´eorique est tr`es satisfaisant, sauf pour le dernier pic qui en effet n’est pas vraiment r´esolu sur la transform´ee de Fourier. La hauteur de chacun des pics nous donne la distribution en termes de nombre de photons P (n) trac´ee sur la figure

3.11(b). En ajustant les points exp´erimentaux par une loi poissonnienne de la forme attendue (1.18) on obtient pour le champ coh´erent un param`etre β = 3.60. Ce champ est un champ coh´erent moyenn´e sur le temps d’interaction de 200µs pendant lequel le champ coh´erent subit un amortissement d’environ 1% de son amplitude due au temps de vie fini de la cavit´e. En prenant en compte cet effet, on peut en d´eduire le champ initialement inject´e :

Figure 3.10 – Transform´ee de Fourier de la courbe exp´erimentale P_g(t_e) (points noirs reli´es par un trait fin). La courbe rouge est un ajustement de la courbe pr´ec´edente sous forme de 13 gaussiennes de mˆeme largeur. La hauteur de chacun de ces pics nous donne la distribution en terme de nombre de photons P (n). Les traits verticaux bleus marquent la position des fr´equences de Rabi th´eoriques associ´ees `a chaque nombre de photon.

donc un nombre de photons moyen

¯

n = β² = 13.2 ± 0.1 . (3.16) En faisant suivre aux donn´ees simul´ees sur un ´etat coh´erent β = 3.63 la mˆeme proc´edure de transform´ee de Fourier, puis ajustement par des pics gaussiens et enfin ajustement de la hauteur par une loi de Poisson nous trouvons un param`etre β = 3.60 ´egalement, confir-mant ce raisonnement. La relation de calibration (3.14) pr´evoyait β ≈ 3.5 nous obtenons donc ici une mesure plus pr´ecise pour la calibration de champ coh´erent correspondant `a une injection de 14µs.