Nous pr´esentons ici les r´esultats exp´erimentaux correspondant aux oscillations de Rabi entre un atome pr´epar´e dans l’´etat |ei et la cavit´e pr´epar´ee dans l’´etat vide, nous permet-tant entre autres d’´etalonner les param`etres qui nous serviront `a simuler l’exp´erience.
3.2.1 R´esultats exp´erimentaux
La figure 3.4 d´etaille la s´equence exp´erimentale utilis´ee dans les exp´eriences d’oscil-lation de Rabi. Apr`es le passage des s´equences absorbantes, une injection micro-onde peut ˆetre r´ealis´ee `a la fr´equence de la cavit´e pendant la dur´ee tinj pour pr´eparer un ´etat coh´erent dans la cavit´e (3.3) ou ne pas l’ˆetre pour laisser la cavit´e dans un ´etat vide (3.2). L’atome sonde est ensuite pr´epar´e dans l’´etat |52ci par excitation laser et circularisation. Une courte impulsion π micro-onde d’une dur´ee de 1µs au d´esaccord δ/2π = 1.4 MHz le transf`ere alors dans l’´etat |ei = |51ci. L’efficacit´e de cette impulsion est d’environ 80%. L’atome et la cavit´e sont ensuite brutalement mis `a r´esonance (δ = 0) en baissant le champ de la cavit´e en moins de 200 ns. La condition de r´esonance est maintenue pour un temps d’interaction variable not´e ti puis l’atome est rapidement mis hors r´esonance. On d´etecte alors les ´etats |ei et |gi pour estimer Pg(ti). La rapidit´e des transitions entre le
Figure 3.4 – S´equence exp´erimentale utilis´ee pour enregistrer les oscillations de Rabi entre un atome pr´epar´e initialement dans l’´etat |ei et la cavit´e. Dans le cas d’une cavit´e vide nous aurons tβ = 0
.
r´egime r´esonant et le r´egime compl`etement d´esaccord´e ne permet pas d’habillage ou de d´eshabillage adiabatique, l’´etat du syst`eme atome-cavit´e demeure donc fig´e dans l’´etat o`u il ´etait avant l’interruption de la condition de r´esonance.
Figure 3.5 – Oscillations de Rabi dans le vide. Les points noirs reli´es par un trait fin sont la probabilit´e Pg mesur´ee exp´erimentalement en fonction du temps d’interaction ti pass´e `a r´esonance entre l’atome initialement pr´epar´e dans l’´etat |ei et la cavit´e vide. La courbe rouge est un ajustement par une formule th´eorique prenant en compte les erreurs de d´etection.
La courbe obtenue est pr´esent´ee en figure3.5. On peut voir une vingtaine d’oscillations de Rabi, ce qui repr´esente une am´elioration consid´erable par rapport aux exp´eriences
pr´ec´edentes manipulant un jet d’atomes rapides dans laquelle l’oscillation de Rabi ´etait compl`etement amortie apr`es seulement 4 p´eriodes [43]. Aucune d´ecoh´erence n’est visible sur la courbe, signature d’un ´echange coh´erent d’´energie pendant un temps d’interaction d’environ 400µs. Les battements de faible amplitude visibles sur la courbe t´emoignent de la faible population de l’´etat `a 1 photon.
3.2.2 Mod´elisation des r´esultats
3.2.2.1 Ajustement par une formule th´eorique
Nous extrayons de cette courbe les param`etres de l’exp´erience grˆace `a un ajustement direct des donn´ees. D’apr`es la section 1.3.3.4, la probabilit´e th´eorique de d´etecter un atome dans l’´etat |gi Pgi s’´ecrit :
Pgi = (1 − p1) cos2(Ω0te/2) + p1cos2(√
2Ω0te/2) , (3.7) o`u p1 est la probabilit´e initiale d’avoir un photon dans la cavit´e, non nulle `a cause de la rethermalisation progressive 2.5 ms apr`es le passage des derni`eres s´equences absorbantes d´ej`a ´evoqu´ee. Nous avions estim´e p1 ≈ nth ≈ 0.1 (2.4.2.2). Le temps effectif te diff`ere un peu de celui introduit dans la partie th´eorique car il faut prendre en compte la position des atomes dans le mode au d´ebut de l’interaction. Le d´ebut de l’interaction a lieu alors que l’atome est d´ej`a au cœur du mode. On d´efinit z0 tel que z0 soit la position `a l’instant ti = 0 de l’atome selon l’axe vertical (Oz) par rapport au centre du mode. Le temps effectif te s’´ecrit alors en fonction de la fonction d’erreur erf1 selon :
te(ti) = w v √ π 2 erf (ti+ z0v) v w0 − erf z0v v w0 , (3.8)
o`u w0 = 5.96 mm est la demi-largeur du col du mode d´ej`a introduite et la vitesse moyenne des atomes v = 8.1 ± 0.1 m/s est d´etermin´ee `a partir de la distribution de vitesse tronqu´ee des atomes d´etect´es (figure 2.25(b)). Notons ici que la position z0 n’est pas pr´ecis´ement connue et sera d´etermin´ee par la proc´edure d’ajustement.
Nous voyons sur la courbe 3.5 que les donn´ees exp´erimentales n’oscillent pas par-faitement entre 0 et 1. Les raisons justifiant cette diminution du contraste mesur´e sont multiples. Nous pouvons par exemple citer l’efficacit´e de la sonde |50ci → |48ci, l’efficacit´e de l’impulsion RF utilis´ee pour nettoyer le fond de |52ci, la contamination de |51ci vers les |50ci en raison de l’´emission spontan´ee entre l’interaction et la d´etection quelques millise-condes plus tard, la contamination des |50ci vers les |51ci due `a l’absorption de photons thermiques durant la mˆeme p´eriode, ou encore l’efficacit´e de d´etection diff´erente entre le niveau |48ci et le niveau |50ci. Si nous avons utilis´e diff´erentes m´ethodes pour limiter leur impact, ces erreurs de d´etections ne sont pas n´egligeables et doivent ˆetre int´egr´ees dans l’ajustement des donn´ees. S’il est d´elicat de les estimer individuellement, toutes ces erreurs peuvent ˆetre contenues dans une simple loi homographique transformant la probabilit´e id´eale Pi
g dans celle mesur´ee Pg. En effet, pour N r´ep´etitions de l’exp´erience, le nombre d’atomes effectivement d´etect´es dans l’´etat |ei ou |gi, Nd
e,g peut s’´ecrire en fonction des comptes id´eaux, Ne,gi , selon :
Ne,gd = Ae,gNe,gi + Be,gNg,ei + Ce,g , (3.9)
1. La fonction erf est d´efinie par : erf(x) = π2Rx 0 e−t2dt
o`u les coefficients Ae,g, Be,g, Ce,g sont des inconnues repr´esentant les contaminations di-verses et fonds possibles sur le nombre d’atomes mesur´es. En utilisant Ngi + Nei = N et apr`es quelques lignes de calcul on arrive finalement `a :
Pg = N d g Nd g + Ne g = aP i g + b cPi g+ d , (3.10) o`u a = Ag− Bg , c = Ag− Bg+ Ae− Be b = Bg+ Cg , d = Bg+ Cg+ Be+ Ce , (3.11) qui prend donc la forme d’une loi homographique. On utilise cette loi pour transformer la probabilit´e id´eale Pi
g dans celle mesur´ee Pg. La fonction r´esultante est utilis´ee pour faire un ajustement des points exp´erimentaux, trac´e en rouge sur la figure 3.5, et en tirer tous les param`etres inconnus :
Ω0 = 2π × (49.88 ± 0.03) kHz, z0 = −1.72 ± 0.02 mm, p1 = 0.094 ± 0.014
a = 1, b = 0.133 ± 0.02, c = 0.297 ± 0.07, d = 1.136 ± 0.08 . (3.12)
La valeur de Ω0 est tr`es proche de celle attendue selon la g´eom´etrie de la cavit´e (2π × 50 kHz). Un d´ecentrage de la zone d’excitation des atomes selon l’axe de la cavit´e (Ox) peut ˆetre responsable de la l´eg`ere diff´erence observ´ee. La valeur de p1 est en accord avec le nombre de photons thermiques nth d´ej`a sond´e par spectroscopie dans la section
2.4.2.2 et dus `a la rethermalisation de la cavit´e pendant la plage temporelle entre les s´equences absorbantes et la s´equence de mesure.
Nous utiliserons dans toute la suite de ce manuscrit ces caract´eristiques, ajout´ees aux caract´eristiques de la cavit´e tcav, nth et de l’atome Γ pour simuler l’exp´erience au plus pr`es des conditions r´eelles. Les simulations sont faites sous Python `a l’aide de la librairie Qutip calculant l’´evolution du syst`eme atomique `a deux niveaux {|ei, |gi} sous l’effet du hamiltonien d’interaction entre un atome `a deux niveaux et le mode harmonique de la cavit´e. Plus pr´ecis´ement nous calculons l’´evolution de la matrice densit´e associ´e au syst`eme complet {atome+champ}. L’int´erˆet de cette simulation est la prise en compte de l’amortissement de la cavit´e par rapport `a la formule analytique 3.7.
La figure3.6trace sur les points exp´erimentaux le r´esultat de ces simulations num´eriques pour l’interaction entre un atome pr´epar´e initialement dans l’´etat |ei et la cavit´e m´elange statistique de l’´etat |0i et |1i pond´er´es respectivement par 1 − p1 et p1.
Les donn´ees pr´esent´ees dans ce manuscrit sont la r´eunion de plusieurs mois de prise de donn´ees. Certains des param`etres exp´erimentaux sont susceptibles d’ˆetre l´eg`erement modifi´es entre les diff´erentes courbes, comme par exemple la position initiale z0 si les lasers d’excitation bougent ou encore les coefficients de renormalisation si l’efficacit´e des sondes ou la distribution de vitesse varie. Nous ne pouvons cependant pas tous les ´etalonner facilement avant chaque nouvelle courbe donc nous garderons dans toutes les simulations de ce chapitre le jeu de param`etres exp´erimentaux d´ecrit dans l’´equation (3.12). Des mesures pr´ecises r´ep´et´ees `a intervalle r´egulier montrent toutefois que ces param`etres sont rest´es relativement stables au cours des mois de prises de mesure, une recalibration ´etant men´ee lorsque l’´ecart ´etait important.
(a) (b)
Figure 3.6 – (a) Oscillations de Rabi dans le vide. Les donn´ees exp´erimentales, en noir, sont maintenant repr´esent´ees en fonction du temps d’interaction effectif te. La courbe rouge est le r´esultat d’une simulation num´erique int´egrant les caract´eristiques de l’exp´erience et renormalis´ee par une loi homographique. (b) Zoom sur le d´ebut et la fin de la courbe mettant en ´evidence le bon accord entre les donn´ees exp´erimentales et la simulation num´erique.
Figure 3.7 – Simulation des oscillations de Rabi du vide dans les conditions de l’exp´erience pour diff´erentes extensions spatiales ∆x selon l’axe de la cavit´e (Ox).
3.2.2.2 Rˆole des dispersions
Le signal d’oscillation de Rabi est sensible aux dispersions en position et en vitesse. En effet, en raison de la d´ependance spatiale du profil du mode, deux atomes pr´epar´es `a deux endroits diff´erents ne verront pas le mˆeme Ω0 `a un instant donn´e et ne produiront pas le mˆeme signal d’oscillations de Rabi, entraˆınant un brouillage de celui-ci moyenn´e sur toutes les positions et vitesses initiales. Il est ainsi int´eressant d’introduire dans les simulations des dispersions en position et en vitesse afin de justifier les choix du volume
d’excitation et de la classe de vitesse.
En raison du terme en cosinus qui caract´erise les nœuds et les ventres du mode, le signal est le plus sensible aux dispersions selon l’axe de la cavit´e (Ox) donc perpendiculairement au trajet des atomes. L’extension atomique suivant cet axe est d´etermin´ee par le diam`etre des lasers d’excitation, que nous avons estim´e dans la partie 2.2.3`a 250µm. La figure3.7
pr´esente une simulation des oscillations de Rabi du vide dans les conditions de l’exp´erience pour diff´erentes extensions spatiales selon l’axe de la cavit´e (Ox). Les dispersions induisent clairement un brouillage du signal nettement visible lorsque ∆x > 500µm. Lorsque ∆x = 250µm une tr`es l´eg`ere baisse de contraste est visible apr`es un long temps d’interaction. Nous n´egligerons donc les dispersions dans la suite. Ce choix d’extension spatiale n’est pas le fruit du hasard : nous avons successivement r´eduit la taille de la zone d’excitation en modifiant la taille des faisceaux laser pour ne plus observer d’att´enuation sur le signal exp´erimental, ce qui est donc consistant avec les simulations pr´esent´ees ici.