Mod` ele de l’atome habill´ e

et´e transf´er´ee enti`erement dans l’´etat |gi. Enfin, pour Ω0t = 2π l’atome se retrouve `a une phase π pr`es dans l’´etat initial.

1.3.2 Mod`ele de l’atome habill´e

Nous consid´erons dor´enavant l’interaction atome-champ en prenant en compte la quan-tification des deux sous-syst`emes. Ce mod`ele fut introduit initialement par Jaynes et Cum-mings en 1963 et appliqu´e par la suite au domaine de l’´electrodynamique quantique en cavit´e.

1.3.2.1 Hamiltonien de Jaynes-Cummings

Le hamiltonien complet du syst`eme atome-cavit´e s’´ecrit de mani`ere semblable au ha-miltonien semi-classique (1.41) [61] :

H = H_at+ H_c⁰ + H_ac , (1.52) o`u Hat est le hamiltonien de l’atome seul introduit en1.3.1, H<sub>c</sub><sup>0</sup> = ~ωca<sup>†</sup>a est le hamiltonien de la cavit´e pr´esent´e dans la partie 1.1.1 (o`u on prend le vide comme z´ero de l’´energie), H_ac le hamiltonien d’interaction entre l’atome et la cavit´e, correspondant `a l’interaction dipolaire −d.E. Le champ E est cependant maintenant quantifi´e, et son expression en fonction des op´erateurs annihilation et cr´eation du champ se d´eduit de la partie1.1.1. On a donc :

H_ac = −d.E = −d_eg(σ₊+ σ₋).iE₀f (r)(a − a^†) . (1.53) En d´eveloppant le produit scalaire on obtient 4 termes faisant intervenir le produit d’un op´erateur du champ et d’un op´erateur atomique. Deux sont proportionnels `a σ<sub>−</sub>a et σ<sub>+</sub>a<sup>†</sup>. Le premier correspond `a la transition du niveau excit´e |ei vers le niveau |gi en mˆeme temps que la perte d’une excitation dans la cavit´e, c’est-`a-dire la perte de deux quanta d’´energie au total. Le second correspond au processus inverse. Dans les deux cas, lorsque ω<sub>c</sub> et ω<sub>at</sub> sont proches (|δ|  ω<sub>c</sub>, δ = ω<sub>at</sub> − ω<sub>c</sub>), ces deux termes sont particuli`erement non-r´esonnants. Ils jouent donc un rˆole mineur dans l’´evolution, et on peut donc les n´egliger : c’est l’approximation s´eculaire dans le cadre quantique. Le hamiltonien d’interaction se r´e´ecrit alors :

H_ac= −i~^Ω0

2 ^{f (r)(σ+a − σ−a}

†

o`u Ω₀ = E₀.d_eg/~ est la fr´equence de Rabi analogue au cas classique. Elle est appel´ee fr´equence de Rabi du vide car, comme nous le verrons dans la suite, elle caract´erise l’´echange d’un quantum d’´energie entre une cavit´e vide et un atome pr´epar´e dans l’´etat |ei.

Finalement, on obtient en r´eunissant tous les termes le hamiltonien de Jaynes-Cummings d´ecrivant l’interaction entre un mode du champ ´electromagn´etique quantifi´e et un atome ` a deux niveaux : HJ C = ^~ωat 2 ^σz+ ~ωca^†a − i~^Ω0 2 ^{f (r)(σ+a − σ−a} † ) . (1.55)

Il est int´eressant ici d’´evoquer les niveaux dits non-coupl´es, c’est-`a-dire les ´etats propres du hamiltonien H<sub>at</sub>+H<sub>c</sub><sup>0</sup> sans prendre en compte le terme de couplage. Il s’agit des niveaux |e, ni et |g, ni, produit tensoriel d’un ´etat de l’atome |ei ou |gi et d’un ´etat de Fock du champ |ni. Leur ´energie est ~(ωat + nωc) et ~(−ωat + nωc). Lorsque le d´esaccord δ est nul, les niveaux |e, ni et |g, n + 1i sont donc d´eg´en´er´es. En dehors de l’´etat fondamental |g, 0i qui est isol´e, les ´etats propres du hamiltonien H<sub>at</sub> + H<sub>c</sub><sup>0</sup> sont donc organis´es par doublets Dn = {|e, ni , |g, n + 1i}, s´epar´es les uns des autres par un quantum d’´energie ~ωc. Ces sous-espaces D<sub>n</sub> restent stables sous l’action du hamiltonien d’interaction H<sub>ac</sub> (l’´etat particulier |g, 0i demeure inchang´e par le couplage). En effet, l’approximation s´eculaire ne laisse que des termes qui gardent le nombre d’excitations constant. La repr´esentation sous forme matricielle de H<sub>J C</sub> dans la base standard est donc une matrice diagonale par blocs de dimension 2 correspondant aux doublets D<sub>n</sub>. Il suffit donc d’´etudier le syst`eme dans chacun de ces sous-espaces. En appelant H_n la restriction du hamiltonien de Jaynes-Cummings au sous-espace D_n on a : H_n = ~^{nωc+ δ/2 −i} Ωn 2 f (r) i^Ωn 2 f (r) nω_c− δ/2  ; (1.56) o`u Ω_n = Ω₀√

n + 1 est la pulsation de Rabi `a n photons.

1.3.2.2 Diagonalisation dans le cas f=1

Dans le cas d’un atome en mouvement dans la cavit´e, la pr´esence du facteur f (r) dans les termes non-diagonaux implique une d´ependance temporelle du hamiltonien H_n, puisque la position r de l’atome est amen´ee `a changer. Afin de simplifier l’´etude th´eorique nous nous pla¸cons dor´enavant dans le cas d’un atome immobile au centre du mode : f = 1. Cela peut ˆetre fait sans perte de g´en´eralit´e, comme nous le verrons dans la sous-partie

1.3.3.4 o`u l’effet de la forme du mode sur l’´evolution temporelle sera ´etudi´e.

H_n est alors ind´ependant du temps et peut ˆetre diagonalis´e pour trouver les ´etats propres du syst`eme coupl´e :

|+, ni = cos(θ_n) |e, ni + i sin(θ_n) |g, n + 1i

|−, ni = sin(θ_n) |e, ni − i cos(θ_n) |g, n + 1i^{. (1.57)} Les ´etats propres |±, ni sont g´en´eralement intriqu´es, c’est-`a-dire qu’on ne peut pas les factoriser en un ´etat du champ par un ´etat de l’atome. Ils sont appel´es ´etats habill´es de l’atome par le champ. L’angle dit de m´elange θn est d´efini par :

tan(2θ_n) = ^Ωn

δ ^{0 ≤ θn} ≤ ^π

En plus de permettre d’exprimer les ´etats habill´es simplement en fonction d’un seul pa-ram`etre, cet angle de m´elange permet de tracer sur la sph`ere de Bloch (|e, ni , |g, n + 1i) les vecteurs correspondant aux ´etats habill´es |±, ni (cf figure1.15(b)). De mani`ere semblable `

a l’interaction avec un champ classique caract´eris´e par Ω_eff d´ecrite dans la partie 1.3.1, le vecteur d’´etat va alors, sous l’effet du hamiltonien de Jaynes-Cummings, pr´ecesser au-tour du vecteur correspondant `a l’´etat |+, ni. Enfin, les ´energies propres des ´etats habill´es sont : E_n^±= (n + 1/2)~ωc± ^~ 2 p δ2+ Ω2 n . (1.59)

Le diagramme ´energ´etique de E_n^± au sein d’un doublet Dn en fonction de δ est trac´e sur la figure 1.15 (a). Il est int´eressant de s´eparer ici deux types de r´egimes de fonctionne-ment : dans le cas d’un d´esaccord tr`es important, les ´energies propres et les ´etats propres co¨ıncident pratiquement avec les ´energies et les ´etats du syst`eme non-coupl´e. En revanche, dans le cas r´esonnant (δ = 0) les ´energies non coupl´ees se croisent, alors que le couplage entre l’atome et la cavit´e force une lev´ee de cette d´eg´enerescence. La distance minimale entre l’´energie des deux ´etats habill´es est donn´ee par ~Ωn. Nous reviendrons dans la suite en d´etail sur ces deux r´egimes de fonctionnement.

(a) (b)

Figure 1.15 – (a) Energie des ´etats habill´es en fonction du param`etre δ/Ω<sub>0</sub>. Les ´energies des ´etats propres du syst`eme d´ecoupl´e sont repr´esent´ees en pointill´e. Le 0 de l’´energie est fix´e sur l’´energie (n + 1/2)~ωc. (b) Repr´esentation des ´etats habill´es sur la sph`ere de Bloch pour un choix arbitraire (δ, Ω₀).

1.3.2.3 Dissipation

Avant de d´etailler les diff´erents r´egimes de fonctionnement, mentionnons bri`evement ce qu’il advient lorsqu’on inclut les m´ecanismes de dissipation dans la r´esolution th´eorique du syst`eme. En effet, le syst`eme atome-cavit´e n’est jamais compl`etement isol´e et il faut consid´erer le rˆole que peut jouer l’environnement sur l’interaction. Le mode ´etudi´e de la cavit´e peut par exemple se coupler avec d’autres modes `a travers une mauvaise r´eflectivit´e des miroirs ou des processus de diffusion sur des imperfections de la cavit´e. Sans d´etailler la th´eorie de la relaxation [61] nous r´eunissons ici les id´ees principales qui en d´ecoulent.

Sans relaxation, l’´evolution du syst`eme est d´ecrite par un vecteur d’´etat |Ψ(t)i solution de l’´equation de Schr¨odinger :

i~^{d |Ψ(t)i}

dt ^{= HJ C}|Ψ(t)i . (1.60) En prenant en compte la relaxation, la matrice densit´e d´ecrivant l’´etat du syst`eme ρ(t) est solution d’une ´equation maˆıtresse appel´ee ´equation de Lindblad, r´eunissant deux parties : d’un cˆot´e la partie hamiltonienne semblable `a la pr´ec´edente, et de l’autre une somme sur tous les processus de relaxation possible faisant intervenir des op´erateurs de saut d´ecrivant par exemple la perte d’un photon du mode ou la d´esexcitation de l’atome vers un environnement ext´erieur :

dρ dt ^{= −} i ~[H_{J C}, ρ] +^X µ (L_µρL^†_µ− ¹ 2^L † µL_µρ − ¹ 2^ρL † µL_µ) , (1.61) o`u les L_µ sont les op´erateurs de saut.

Dans le cadre des exp´eriences d´ecrites dans ce manuscrit trois principaux m´ecanismes de relaxation interviennent : l’´emission spontan´ee de l’atome dans un mode de l’environ-nement, l’´emission d’un photon du mode ´etudi´e dans un mode de l’environnement, et enfin l’absorption d’un photon de l’environnement par le mode de la cavit´e. Le premier processus est caract´eris´e par le temps de vie du niveau circulaire, inverse du taux associ´e que l’on a not´e Γ (cf ´equation (1.37)) et l’op´erateur de saut associ´e est L1 = √

Γσ−. Les deux autres processus sont reli´es au temps de vie du mode de la cavit´e (dont le taux associ´e est not´e κ) et au nombre de photons thermiques n_th. Leurs op´erateurs de saut associ´es s’´ecrivent L2 = κ(1 + nth)a et L3 = κntha^†. La r´eunion des termes induits de ces trois op´erateurs de saut et de la partie hamiltonienne donne l’´equation finale r´egissant l’´evolution de l’´etat du syst`eme atome-champ. Si la dissipation n’est pas n´ecessaire pour appr´ehender la th´eorie et sera donc n´eglig´ee dans les parties suivantes, il sera pour autant indispensable de la prendre en compte lors des simulations de l’exp´erience.