Interaction dispersive

etats de Fock, ainsi qu’`a l’observation des ph´enom`enes quantiques d’effondrement et de r´esurgence pour de grands nombres de photons (tr ´etant proportionnel `a ¯n).

1.3.4 Interaction dispersive

On se place dans cette sous-partie dans le cas o`u la cavit´e et l’atome sont dans un r´egime dispersif, c’est-`a-dire que le d´esaccord δ est grand devant les pulsations de Rabi Ω_n. L’atome est `a nouveau consid´er´e statique au centre du mode (f (r) = 1) et on peut donc appliquer les r´esultats du paragraphe 1.3.2.

1.3.4.1 Niveaux d’´energie

Dans ce r´egime dispersif les ´etats propres du syst`eme sont physiquement ´equivalents aux ´etats propres non-coupl´es. On a en effet :

|+, ni ≈ |e, ni et |−, ni ≈ −i |g, n + 1i pour δ > 0

|+, ni ≈ i |g, n + 1i et |−, ni ≈ |e, ni pour δ > 0^{. (1.84)}

Par cons´equent les ´ev´enements qui impliquent l’absorption et l’´emission d’un photon sont n´egligeables. Une approche perturbative permet alors d’´etudier le syst`eme en d´eveloppant

les ´energies propres (cf eq.(1.59)) en fonction du param`etre Ω_n/δ qui est donc petit. Pour un d´esaccord donn´e δ que l’on supposera positif pour simplifier ces ´energies s’´ecrivent :

E_n^±= (n + 1/2)~ωc± ^~δ 2 s 1 + Ω_n δ 2 = (n + 1/2)~ωc± ^~δ 2 ±^~Ω 2 n 4δ = (n + 1/2)~ωc± ^~δ 2 ± ∆E± . (1.85)

Figure 1.22 – Diagramme ´energ´etique des deux premiers doublets et du niveau fonda-mental pour le syst`eme atome-champ dans le r´egime dispersif

Le diagramme ´energ´etique des deux premiers doublets et du niveau fondamental dans le r´egime dispersif sont pr´esent´es sur la figure1.22. L’effet principal de ce couplage disper-sif est une l´eg`ere variation des ´energies propres. Lorsque le couplage est non-nul, l’´energie du niveau sup´erieur |+, ni ≈ |e, ni s’´el`eve d’une quantit´e ∆E₊ et l’´energie du niveau inf´erieur |−, ni ≈ −i |g, n + 1i s’abaisse d’une quantit´e inverse ∆E−. Ainsi la fr´equence de la transition atomique |g, ni − > |e, ni est globalement augment´ee en raison du cou-plage entre l’atome et le champ. Ce ph´enom`ene s’appelle le d´eplacement lumineux. Cette modification de la fr´equence atomique s’obtient ais´ement des relations pr´ec´edentes et on a :

δω_at = (2n + 1)^Ω

2 0

4δ ^{. (1.86)}

On voit que ce d´eplacement est proportionnel au nombre de photons n pr´esents dans le mode de la cavit´e. Cette remarque fondamentale est `a la base de l’exp´erience d´ecrite dans la partie 4 et dont l’id´ee est introduite ci apr`es (1.3.4.2).

Au pr´ealable notons que la variation des ´energies propres peut aussi se voir de fa¸con sym´etrique comme un effet de l’atome sur le champ. Vu sous cet angle l`a la d´eplacement lumineux entraˆıne un changement de l’´energie associ´ee au mode de la cavit´e, donc de

l’´energie associ´ee `a un photon, selon l’´etat de l’atome :

δ_eω_c= ^Ω

2 0

4δ ^{si l’atome est dans |ei} δgωc= −^Ω

2 0

4δ ^{si l’atome est dans |gi .}

(1.87)

Ces d´eplacements s’interpr`etent comme l’action d’un indice de r´efraction diff´erent selon l’´etat de l’atome. La pr´esence de l’atome est en effet semblable `a un mat´eriau di´electrique qui modifie la la longueur effective de la cavit´e et donc la fr´equence du mode. On retrouve ici l’id´ee identique `a celle rencontr´ee lors de l’´etude du syst`eme `a r´esonance, o`u l’´etat du champ tourne `a une fr´equence diff´erente selon l’´etat atomique (c’´etait selon |±i dans le cas r´esonant, et ici selon |ei ou |gi dans le cas dispersif). Par analogie il est donc ´egalement possible de g´en´erer des ´etats chats de Schr¨odinger par interaction dispersive, ce qui a ´et´e le cas au d´ebut des exp´eriences de CQED de notre groupe [18] puis dans le milieu des circuits supraconducteurs [34, 33]. Notons que pour simplifier la description nous nous pla¸cons ici dans le cas du r´egime fortement d´esaccord´e, mais que qualitativement ces r´esultats restent valides lorsque le d´esaccord δ est de l’ordre de Ω₀.

1.3.4.2 Utilisation pour une mesure QND

Nous d´ecrivons ici le principe de l’exp´erience de spectroscopie qui sera pr´esent´ee dans le chapitre 4, exploitant le r´egime d’interaction dispersive afin d’adresser s´electivement un nombre de photons donn´e. En r´egime dispersif, le champ et l’atome n’´echangent pas d’´energie. L’´etat du champ n’est que tr`es faiblement perturb´e par l’interaction qui imprime n´eanmoins l’information du nombre de photons sur la fr´equence atomique. En sondant l’´energie des ´etats |e, ni il est donc possible de remonter au nombre de photons contenus dans la cavit´e, et ce sans d´etruire l’´etat du champ. Nous utilisons pour cela le troisi`eme niveau atomique |hi, non-coupl´e `a la cavit´e, `a l’aide duquel la fr´equence de la transition |hi − > |ei est sond´ee en r´egime dispersif. D’apr`es la partie pr´ec´edente, le niveau |ei est d´eplac´e et cette transition d´epend du nombre de photons n pr´esents dans la cavit´e. Dans le cas d’un r´egime largement d´esaccord´e o`u la relation (1.86) s’applique, le d´eplacement lumineux varie lin´eairement avec n et la diff´erence en terme de fr´equence angulaire entre la transition |h, ni → |e, ni et la transition |h, n − 1i → |e, n − 1i s’´ecrit :

ω_{|h,ni→|e,ni}− ω_{|h,ni→|e,ni} ≈ ^Ω

2 0

4δ2 . (1.88) La figure 1.23 d´etaille le principe de l’exp´erience men´ee en r´egime dispersif. En appli-quant une micro-onde classique `a la fr´equence de la transition |hi → |ei, et si la r´esolution spectrale est suffisante, il est possible d’adresser uniquement les situations o`u le champ de la cavit´e contient n photons. En se fixant par exemple `a la fr´equence |h, ni → |e, ni, alors l’atome ne sera transf´er´e dans l’´etat |ei que lorsque le mode de la cavit´e contient n photons. Pour parvenir `a ce degr´e de r´esolution, un long temps d’interaction est essentiel entre l’atome et la cavit´e afin d’obtenir les raies les plus fines possibles. De fa¸con analogue, il est important de prendre en compte la forme du mode et de limiter son impact, car une modification de Ω₀ entraˆıne un ´elargissement intrins`eque des raies spectrales. Ces deux points ont motiv´e le choix d’un syst`eme exp´erimental dans lequel l’atome est le plus lent possible.

Figure 1.23 – Diagramme ´energ´etique d´etaillant le principe de l’exp´erience men´ee en r´egime dispersif entre les niveaux non coupl´es |h, ni et les niveaux coupl´es |e, ni. L’´etat du syst`eme est repr´esent´e par un disque bleu. Les niveaux |h, ni sont espac´es r´eguli`erement car ils sont non coupl´es. En revanche les niveaux |e, ni sont modifi´es et ce proportionnel-lement `a n. En sondant la transition `a une fr´equence adapt´ee (en rouge) on peut adresser s´electivement la transition correspondant `a un nombre donn´e de photons.