d’une colonne mesure le gain marginal qu’apporterait l’introduction de cette colonne dans le PLMR. Le coût réduit d’une colonne j est calculé par la formule suivante :
rj = cj − m X
i=1
aijπ?i. (3.12)
Une colonne de coût réduit négatif permettra de diminuer la valeur de la fonction objectif lors de sa prochaine résolution. Le sous problème consiste donc à trouver une ou plusieurs colonnes de coût réduit négatif. Le problème d’optimisation correspondant consiste à minimiser le coût réduit.
La résolution du PLMR et du sous-problème sont répétés jusqu’à ce que le sous-problème ne trouve plus de colonnes au coût réduit négatif. Si le sous-problème est résolu de façon optimale, cela signifie que la résolution du x?du PLMR est optimale pour le PLM. Notons que la génération de colonnes néces- site au préalable un ensemble de colonnes formant une solution réalisable pour le PLMR et permettant une première résolution, afin de récupérer les valeurs des variables duales.
Cette technique est généralement utilisée pour résoudre unProgramme Linéaire en Nombres Entiers
(PLNE) par branch-and-bound dans lequel la borne inférieure est calculée par génération de colonnes. Cette méthode est appelée branch-and-price.
Dans les problèmes d’optimisation des transports où les colonnes représentent des trajets dans le réseau, minimiser le coût réduit revient à trouver un plus court chemin. Selon les caractéristiques du problème, le sous-problème comprend parfois certaines contraintes additionelles, dites contraintes de ressources, sur le plus court chemin (horaires de visite des sommets, durée des tournées, chargement du véhicule, etc.). C’est le cas dans les chapitres6et7, qui décrivent des méthodes de résolution basées sur la génération de colonnes. Un tutoriel sur la génération de colonnes pour les problèmes de tournées de véhicules est proposé par Feillet [40].
Les méthodes exactes permettant de résoudre de manière optimale un problème de plus court chemin avec ou sans contraintes de ressources sont des algorithmes de programmation dynamique comme par exemple l’algorithme de Bellman-Ford [9] [42], qui a donné lieu à de nombreuses extensions pour l’algorithme de plus court chemin avec contraintes de ressources ([41]).
On classifie en deux catégories les méthodes heuristiques résolvant un sous-problème d’une géné- ration de colonnes : les méthodes tirées d’algorithmes de résolution exacte rendus heuristiques, et les méthodes issues des algorithmes de recherche locale ou métaheuristique. Parmi les métaheuristiques utilisées pour résoudre le sous-problème d’une génération de colonnes, on utilise dans cette thèse une méthode de recherche tabou, méthode fréquemment utilisée dans ce cas (voir Desaulniers et al. [36]). La section suivante décrit le fonctionnement de cette méthode.
3.5
La recherche tabou
La recherche tabou [44][50] est une métaheuristique provenant d’une extension de la recherche locale. Dans une recherche locale, la solution courante est remplacée à chaque itération par une meilleure solu- tion dans son voisinage. La recherche se termine généralement en un optimum local, lorsque la solution ne peut plus être améliorée. Le désavantage de ce type de méthode est le risque qu’elle aboutisse à un optimum local qui ne corresponde pas à l’optimum global. Une amélioration possible est de sélectionner non pas une meilleure solution que la solution courante, mais la meilleure solution du voisinage, tout en
36 CHAPITRE 3. CADRE SCIENTIFIQUE DE LA THÈSE conservant la meilleure solution trouvée en mémoire. Ainsi il devient possible de détériorer la solution courante afin de trouver un autre optimum local. Cependant, cette technique risque de faire cycler l’al- gorithme autour d’un minimum local. C’est ici qu’intervient le principe de la recherche tabou : une liste tabougarde en mémoire les transformations de la solution récemment effectuées et interdit de réaliser les transformations inverses pendant un certain nombre d’itérations.
4
État de l’art : problèmes de conception de
réseau logistique et tournées riches de
véhicules
Ce chapitre d’état de l’art a pour but d’identifier les principales publications scientifiques, modélisa- tions et méthodes de résolutions concernant les problèmes d’optimisation dans les chaînes logistique possédant des caractéristique communes avec notre domaine de recherche, à savoir :
• un réseau de distribution à plusieurs échelons ;
• multiplicité des tarifs, notamment tarificationLTLetFTL;
• opérations logistiques complexes : consolidation, transferts et synchronisation entre le réseau amont et le réseau aval.
• contraintes opérationnelles : merge-in-transit, contraintes riches sur les tournées de véhicules, etc. Crainic et al. [31] classifient les problèmes de transport de marchandises en trois catégories. Les problèmes stratégiques, liés à des décisions à long terme, comme l’implantation d’une nouvelle plate- forme dans un réseau. Les problèmes tactiques, qui représentent des décisions à moyen terme comme l’ouverture de lignes de transport dans un réseau de plateformes existantes. Les problèmes opérationnels qui traitent des décisions à court terme comme l’optimisation des tournées de véhicules ou du planning des chauffeurs au jour le jour.
Dans cette thèse, nous abordons principalement des problématiques tactiques ou opérationnelles, à savoir la conception de lignes/d’un réseau de transport (Crainic et Laporte [31]), l’acheminement des commandes dans un réseau et l’optimisation des tournées de véhicules (Toth et Vigo [93]). Cet état de l’art est divisé en quatre parties. La section 4.1 traite des problèmes de conception de réseaux de transport. La section 4.2 étudie les problèmes de planification opérationnelle des transports dans un réseau. Les deux dernières sections abordent deux points particuliers des problèmes de tournées de
38CHAPITRE 4. ÉTAT DE L’ART : PROBLÈMES DE CONCEPTION DE RÉSEAU LOGISTIQUE ET TOURNÉES RICHES DE VÉHICULES véhicules : les problèmes de tournées avec transferts (section4.3) et les problèmes riches de tournées de
véhicules (section4.4).