R´ealisation pratique

∑

n=1 J_2n(ψ0)

2n [sin(npπ+ 2nθmod) − sin(n(p − 1)π+ 2nθmod)] − ^{TA sin(}φ) π ∞

∑

n=0 J_2n+1(ψ0) 2n+ 1 ×^³cos(π 2(2n + 1)(p − 1) + (2n + 1)θmod) −cos(π 2(2n + 1)p + (2n + 1)θmod)^´ (1.62)

o`u J_nest la fonction de Bessel d’ordre n. En formant les combinaisons lin´eaires

Σs= −(E1− E2− E3+ E4) = ^4TAπ ^Γssin(φ) (1.63)

Σc= −(E1− E2+ E3− E4) =^4TAπ ^Γccos(φ) (1.64)

avec Γs= ∞

∑

n=0 (−1)^nJ2n+1(ψ0) 2n+ 1 ^{sin((2n + 1)}θmod) (1.65) Γc= ∞

∑

n=0 J4n+2(ψ0) 2n+ 1 ^{sin(2(2n + 1)}θmod) (1.66) on peut ´ecrire tan[φ] = Γs Γc Σs Σc (1.67) On peut alors montrer ([34], annexe C) qu’il existe un couple(ψ0,θmod) qui permet de

minimiser l’influence d’un bruit gaussien additif en r´ealisant Γs

Γc = 1. On obtient alors les

param`etres optimauxψopt = 2.45 rad (pour lequel J1(ψ_{) ≃ J}2(ψ)) etθopt= 0.98 rad, qui

permettent d’´ecrire

tan[φ(l, m)] =^E1− E2− E3+ E4

E1− E2+ E3− E4

. (1.68)

2.3.2 R´ealisation pratique

Montages On utilise des modulateurs photo-´elastiques pour r´ealiser la modulation de phase. Un modulateur est compos´e d’un barreau de silice optiquement isotrope, sur lequel sont coll´ees deux c´eramiques piezo-´electriques (figure1.22). Le dispositif d’alimentation des c´eramiques permet de faire r´esonner le barreau sur son mode propre en traction-compression (l’´etat de contrainte dans le barreau est uniaxial). Le mode de contrainte pr´esente deux ventres : les c´eramiques sont coll´ees au niveau de l’un, tandis que le fais-ceau passe au niveau du second. L’´etat de contrainte variable dans le temps induit une

Mesure d’une topographie diff´erentielle 33

FIG. 1.22: Sch´ema de principe d’un modulateur photo-´elastique.

bir´efringence qui va introduire un d´ephasage suppl´ementaire lors de la travers´ee du bar-reau. On a ainsi r´ealis´e deux montages :

– Dans le montage d´ecrit sur la figure 1.23, le modulateur est travers´e deux fois, permettant d’imposer un d´ephasage suppl´ementaire d’amplitude plus importante (on doit pouvoir imposerψ0= 2.45 rad). Cette disposition, volumineuse, constitue

n´eanmoins un montage tr`es versatile.

– Dans le montage d´ecrit sur la figure1.24, le modulateur est travers´e une fois. Dans cette configuration tous les ´el´ements sont ins´er´es dans un statif de microscope. Le montage obtenu est beaucoup plus compact. Il est donc moins sensible aux vibra-tions, et permet cependant, comme le pr´ec´edent, l’utilisation d’une lentille-tube de plus grande distance focale.

Comme on dispose de modulateurs photo-´elastiques r´esonnant `a environ 50kHz, on ne peut pas r´ealiser l’int´egration sur un quart de p´eriode avec la seule obturation de la cam´era. Si f_CCDest la fr´equence limite d’utilisation de la cam´era, alors il faudra ´eclairer l’objet pendant ^T₄ une fois par p´eriode pendant Nc cycles, avec Nc > ^fmod

fCCD. Cet ´eclairage stro-boscopique est r´ealis´e `a l’aide d’un s´equenceur. Ce module est bas´e sur un processeur logique programmable Xilink associ´e `a une boucle `a verrouillage de phase. Il assure la synchronisation des diff´erents signaux :

– Le signal de modulation est g´en´er´e par une boucle d’auto-oscillation qui alimente les c´eramiques piezo-´electriques coll´ees sur le barreau de modulation. Il sert de signal de r´ef´erence pour l’ensemble du processus d’acquisition.

– Le signal de commande de l’´eclairage de la source : il s’agit d’un signal carr´e, de rapport cyclique ¹₄ et de mˆeme fr´equence que le signal de modulation. Du fait des fr´equences atteintes, on choisit comme source des diodes ´electro-luminescentes. Le d´ephasage entre ces signaux est r´eglable num´eriquement sur 8 bits, par pas de 1.4^◦.

– Le signal EXSYNC, permettant de piloter l’obturateur de la cam´era, `a la fin de chaque s´equence.

FIG. 1.23: Sch´ema d’un interf´erom`etre de Nomarski o`u le modulateur photo-´elastique

est travers´e deux fois.

d´ebut d’une s´erie de quatre s´equences.

– En utilisant ´eventuellement, en fonction des cam´eras, un signal FVAL ´emis par la cam´era pour indiquer qu’une nouvelle int´egration peut commencer.

Ces diff´erents signaux, ainsi que les divers retards `a prendre en compte (capteur DALSA CA-D1, 8 bits) sont pr´esent´es sur la figure 1.25. En pratique, la r´ealisation de l’´eclairage repr´esente la principale difficult´e dans la mise en oeuvre de ce montage. Il est en effet difficile, avec les technologies disponibles commercialement, d’avoir des sources incoh´erentes spatialement `a la fois rapides, quasi monochromatiques et suffisam-ment puissantes pour saturer des cam´eras avec des nombres de photoporteurs par pixel de plus en plus importants. L’emploi d’une source avec un temps de mont´ee non n´egligeable devant la p´eriode de modulation rend le calcul pr´esent´e au paragraphe 2.3.1 caduque. N´eanmoins, si les temps de mont´ee caract´eristiques de la source restent du mˆeme ordre de grandeur que la p´eriode de modulation, on peut prendre en compte ce temps de mont´ee et trouver les nouveaux param`etres de modulationψ0 etθmod qui permettent de calculer simplement tan[φ] sur le mˆeme principe. Le calcul correspondant est d´etaill´e dans

l’an-nexeC.

R´eglages Une fois la mise au point sur l’objet effectu´ee, les seuls r´eglages `a r´ealiser sont la mise en position du prisme de Wollaston et l’ajustement des param`etres de modulation.

Mesure d’une topographie diff´erentielle 35

FIG. 1.24: Sch´ema d’un interf´erom`etre de Nomarski o`u le modulateur photo-´elastique

est travers´e une fois.

arri`ere de l’objectif. On a montr´e dans la partie2.2.3qu’un d´efaut de mise en posi-tion introduit une phase suppl´ementaire, lin´eaire dans le champ suivant la direcposi-tion de d´edoublement. Le prisme est donc translat´e et orient´e de mani`ere `a minimiser cette composante.

– La principale difficult´e pour ajuster les param`etres de modulation est de prendre en compte les divers d´ephasages introduits dans la chaˆıne de modulation. Ceux-ci d´ependent d’un grand nombre de param`etres, difficiles `a ´evaluer s´epar´ement (visco-sit´e de la colle entre les c´eramiques piezo-´electriques et le barreau de modulation, hysteresis des mat´eriaux piezo-´electriques, etc). Aussi, on utilise une m´ethode glo-bale portant sur le signal optique et bas´ee sur l’utilisation de l’indicateur

ϒ=Σ2

c+Σ2

s (1.69)

En effet, l’examen des ´equations (1.65) montre que si θmod = 0, alors ϒ= 0. La

FIG. 1.25: Chronogramme des diff´erents signaux utilis´es.

minimiseϒ. Cette valeur constitue alors le z´ero pour θmod, incorporant les divers d´ephasages introduits dans la chaˆıne de modulation. On peut alors ajuster la valeur optimaleθmod=θ0+θopt et r´egler l’amplitude de modulationψ0=ψopt. La valeur optimale de celle-ci est obtenue quand Γs =Γc. On remarque alors que, dans ce cas,ϒ ne d´epend plus de la phaseφ (voir les ´equations (1.63)). Par cons´equent, le contraste deϒest minimal quandψ0=ψopt.

FIG. 1.26: Exemple d’une s´erie de quatre images stroboscopiques obtenues `a la surface

d’un acier dual phase, apr`es avoir ´et´e soumis `a un chargement de fatigue.

Carte de phase Pour comparaison avec l’illustration 1.8, la figure 1.26 pr´esente les images stroboscopiques obtenues `a la surface d’un acier dual phase, apr`es que celui-ci ait ´et´e soumis `a un chargement de fatigue. On discerne une texture assez marqu´ee `a la surface, et la carte de phase obtenue par inversion directe de l’´equation (1.68) est pr´esent´ee sur la figure 1.27. Cette phase, comprise entre −π et π, pr´esente des discontinuit´es, que l’on

Mesure d’une topographie diff´erentielle 37

FIG. 1.27: Carte de phase obtenue par inversion directe de l’´equation 1.68 pour les images

stroboscopiques 1.26.

appelle « sauts de phase », puisque l’information contenue dans les figures d’interf´erence est li´ee aux fonctions trigonom´etriques de la phase cherch´ee.

Dans le document Mesure de champs à l'échelle micrométrique pour l'identification d'effets mécaniques surfaciques : vers une nouvelle instrumentation pour la biologie (Page 47-52)