On a vu dans la partie 2.1 que l’utilisation d’un chargement sans contact pour sol-liciter des MEMS impose de devoir identifier l’h´et´erog´en´eit´e du champ de chargement pour pouvoir quantifier un champ de propri´et´es ´elastiques. Le nombre de param`etres `a identifier augmente alors sensiblement. Aussi, on propose un d´eveloppement sp´ecifique de la m´ethode de l’´ecart `a l’´equilibre dans le cas o`u le syst`eme form´e par les ´equations d’´equilibre n’est plus sur-d´etermin´e.
FIG. 2.3: Mod`ele de poutre h´et´erog`ene.
Bien que les id´ees qui vont ˆetre d´evelopp´ees sont valables pour toute (micro-)structure, on traite dans cette partie du cas de poutres. Une poutre d’Euler-Bernoulli est discr´etis´ee avec N ´el´ements.αrepr´esente le niveau de discr´etisation de la poutre en posant N = 2α
´el´ements. Le champ de propri´et´es ´elastiques est suppos´e h´et´erog`ene, et est repr´esent´e par un champ de contraste C multiplicatif, de sorte que EICn est la rigidit´e de flexion de l’´el´ement n, n∈ {1...N}. La poutre est soumise `a un champ de forces nodales F, de
sorte que Fmest la force appliqu´ee sur le nœud m, m∈ {1...N} (figure2.3). Si le charge-ment nodal et le champ de propri´et´es ´elastiques sont connus, le probl`eme direct consiste `a trouver le champ de d´eplacement nodal U= (v,θ), avec v le champ de d´eplacement
hors-plan, etθ le champ des rotations des sections droites. L’objectif est de r´esoudre le probl`eme d’identification, c’est-`a-dire de trouver les champs de raideur et de chargement quand le champ de d´eplacement hors-plan z est connu (mesur´e), tout comme sa projection sur une base cin´ematiquement admissible U.
3.1 M´ethode d’identification
On suppose que le niveau de discr´etisationαchoisi est susceptible de d´ecrire le com-portement de la poutre. Les quantit´es mesur´ees sont les champs de d´eplacements nodaux, qui sont d´eduits de la mesure du champ de d´eplacement hors-plan sur un grand nombre de points par une projection sur une base de champs compatibles avec les fonctions de forme retenues dans le mod`ele ´el´ements finis (voir paragraphe4 du chapitre 1). La lon-gueur de l’´el´ement est not´ee l. L’´equilibre de chaque nœud du maillage est ´ecrit comme la stationnarit´e de l’´energie potentielle de la structure
Ep= EI 2 N
∑
n=1 Cnf(vn−1, vn,θn−1,θn) − N∑
m=1 Fmvm (2.43) avec EI la rigidit´e de flexion, etf(vn−1, vn,θn−1,θn) = 12l3(vn− vn−1)2+4l(θ2
n+θ2
n−1+θn−1θn)
+12l2(vn−1θn−1+ vn−1θn− vnθn−1− vnθn) (2.44)
Il vient alors, pour le nœud n,
∂Epn,n+1 ∂vi = EI2 {Cng−+Cn+1g+} − Fi= 0 ∂Epn,n+1 ∂θi = EI 2 {Cnh−+Cn+1h+} = 0 (2.45) avec g−(vi, vi−1,θi,θi−1) =24l3(vi− vi−1) −12l2(θi−1+θi) g+(vi, vi+1,θi,θi+1) =24 l3(vi− vi+1) +12 l2(θi+θi+1) h−(vi, vi−1,θi,θi−1) =12l2(vi−1− vi) +4l(θi−1+ 2θi) h+(vi, vi+1,θi,θi+1) =12l2(vi− vi+1) +4l(2θi+θi+1) (2.46)
o`u v etθsont les composantes du champ de d´eplacement nodal Um. Ici, le champ de char-gement F est inconnu, tout comme le champ de contraste C. Les conditions d’´equilibre donnent 2(N + 1) ´equations `a 2(N + 1) inconnues. A l’´echelle α, le syst`eme de 2α+1
´equations s’´ecrit
M
L= 0 (2.47)avec le vecteur des param`etres `a d´eterminer
Lt= [C1, F1,C2, F2, . . . ,C2α, F2α] (2.48)
M
est construite `a partir des champs de d´eplacements nodaux, de la longueur de l’´el´ement et des diverses hypoth`eses de mod´elisation. L= 0 est la solution triviale. Comme leprobl`eme est r´esolu sous l’hypoth`ese des petites perturbations, le comportement de la structure est suppos´e lin´eaire. Si X est une solution, alors hX est ´egalement une solution
∀h ∈ℜ∗. Par cons´equent, on utilise une d´ecomposition en valeur singuli`ere de la matrice
M
Identification simultan´ee du chargement et des propri´et´es ´elastiques 79
Par d´efinition,
J
est une matrice diagonale,H
andK
sont des matrices orthogonales. Les ´el´ements diagonaux deJ
sont les valeurs singuli`eres deM
. Les colonnes deK
(resp.H
) sont les vecteurs singuliers droits (resp. gauche) [37]. La solution non-triviale L est le vecteur singulier droit associ´e `a la plus petite valeur singuli`ere deM
, qui devrait valoir 0, `a la pr´ecision de la machine pr`es. Aussi, la solution s’exprimeL=ϑv0 (2.50)
o`u v0 est la colonne de
K
(le vecteur singulier droit) correspondant `a la plus petite va-leur singuli`ere [37]. Le signe deϑ est choisi en imposant que l’´energie ´elastique totale de la structure doit ˆetre positive : Es > 0. Le chargement m´ecanique et les propri´et´es´elastiques sont identifi´ees `a une constante multiplicative pr`es (son signe est n´eanmoins d´efini), puisque seules des donn´ees cin´ematiques sont prises en compte. Dans la suite, on appellera contrastes de chargement et de propri´et´es ´elastiques les r´esultats correspon-dants. En pratique, les algorithmes de d´ecomposition en valeur singuli`ere ne permettent d’assurer qu’une pr´ecision absolue sur les valeurs singuli`eres et les vecteurs singuliers. Aussi, il peut ˆetre pr´ef´erable d’utiliser un algorithme comme celui propos´e par Demmel
et al. [82], appel´e d´ecomposition de Jacobi unilat´erale. La version de cet algorithme qui a ´et´e impl´ement´ee est d´ecrite dans l’annexeF.
3.2 L’effet d’un bruit de mesure sur les champs identifi´es
FIG. 2.4: Champ de rigidit´e et d´eform´ee de la poutre test.
Les r´esultats suivants sont obtenus avec une poutre discr´etis´ee avec 2α ´el´ements. La
ri-gidit´e de flexion est homog`ene par ´el´ement, et le champ de contraste est obtenu par des ti-rages successifs d’une variable al´eatoire de densit´e de probabilit´e uniforme sur l’intervalle
[0.1 . . . 0.9] (figure2.4). Le chargement m´ecanique consiste en un champ de forces nodales homog`enes. Le champ de d´eplacement z est calcul´e, puis d´egrad´e `a l’aide d’un bruit gaus-sien d´ecorr´el´e en espace, similaire au bruit affectant les dispositifs exp´erimentaux d´ecrits en3.1du chapitre 1. Pour quantifier l’erreur commise sur les champs recherch´es, on in-troduit l’erreur RMSηsur le champ Z (avec Z= C ou F) d´efinie par
η(Z) = 1 N N
∑
k=1 µ Zid(k) Zimp(k)− 1 ¶2 (2.51)L’influence de ce bruit ajout´e aux « mesures » obtenues par ´el´ements finis sur la qua-lit´e de l’identification est ´evalu´ee en moyennant l’indicateurηpour 100 tirages de bruit al´eatoire, avec un rapport bruit / signal impos´e. Le r´esultat de ces simulations est pr´esent´e
FIG. 2.5: Evolution des erreurs η(C) et η(F) en fonction du niveau de bruit pour
diff´erents niveau de discr´etisation.
sur la figure 2.5. Quand le rapport bruit / signal tend vers 0, les erreurs d’identification s’annulent, prouvant ainsi le raisonnement d´evelopp´e au paragraphe3.1. Pour un niveau de discr´etisation donn´e, le champ de chargement identifi´e est plus sensible au bruit de me-sure que le champ de rigidit´e. Ces simulations permettent ´egalement d’estimer le niveau de discr´etisation acceptable pour un rapport bruit / signal donn´e. Ainsi, quand ce rap-port atteint 1%, on ne peut d´epasser 2 ´el´ements, introduisant ainsi une erreur de quelques pourcents sur les champs identifi´es. Le niveau de bruit acceptable d´ecroˆıt `a 0.1% si l’on
souhaite utiliser une discr´etisation `a 4 ´el´ements. On peut d´efinir ainsi, pour chaque niveau de discr´etisation et pour une tol´erance sur les champs identifi´es impos´ee, le niveau de bruit acceptable sur les mesures. Quelques valeurs caract´eristiques sont rassembl´ees dans le tableau2.1.
Identification simultan´ee du chargement et des propri´et´es ´elastiques 81 α= 1 α= 2 α= 3 p η(C) = 10−2 6× 10−3 4.2 × 10−5 4.6 × 10−6 p η(C) = 10−3 5× 10−4 4.2 × 10−6 4.5 × 10−7 p η(C) = 10−4 5× 10−5 5× 10−7 4.6 × 10−8
TAB. 2.1: Valeurs du rapport bruit / signal acceptables pour un niveau de discr´etisation et
une erreur admissible donn´es.
3.3 Qualification a posteriori de la qualit´e de la solution
Quand la solution exacte est inconnue, il est n´ecessaire de d´efinir un indicateur d’er-reur adapt´e. Si la d´ecomposition en valeurs singuli`eres est r´ealis´ee avec un algorithme assurant une erreur relative acceptable sur le r´esultat, il est raisonnable de calculer l’´ecart `a l’´equilibre Frd´efini comme le r´esidu de l’´equation (2.47)
M
v0= Fr (2.52)Ce r´esidu est un estimateur de l’erreur locale. Pour donner une mesure de la qualit´e de l’identification, on peut d´efinir l’estimateur global Wr comme le travail de l’´ecart `a l’´equilibre dans le champ de d´eplacement local Um±(c’est-`a-dire le champ de d´eplacement mesur´e duquel est soustrait, `a un nœud donn´e, le d´eplacement de corps rigide des ´el´ements adjacents)
Wr=
∑
i
|Fr(i)Um±(i)| (2.53)
Comme cet indicateur inclut une ´echelle de contrainte, il doit ˆetre compar´e `a l’´energie ´elastique de la structure Es
wr=Wr
Es (2.54)
L’indicateur wrest alors ind´ependant de l’´echelle de contrainte, et mesure la qualit´e glo-bale de l’identification. Cet indicateur est li´e `a l’erreur RMSηcommise sur les champs, comme le montre la figure2.6avec le contraste de propri´et´es ´elastiques. On obtient des r´esultats identiques avec le contraste de chargement, si bien que wr est consid´er´e comme un indicateur global de la qualit´e de l’identification, utilisable pour ´evaluer la qualit´e des r´esultats obtenus quand le mod`ele de structure choisi pour la construction de la matrice
M
est ad´equat. La relation entre l’erreur commiseηet l’indicateur wr est bijective, de sorte que si le mod`ele choisi est suffisant, la valeur de wr est une mesure des erreurs d’iden-tification. Il convient de souligner ici que ce raisonnement, comme les calculs men´es au paragraphe3.2, ne sont valables que si le mod`ele choisi pour d´ecrire la structure est sa-tisfaisant pour d´ecrire les mesures. Cette hypoth`ese n’est plus v´erifi´ee si, par exemple, la discr´etisation choisie est trop grossi`ere ou si le chargement m´ecanique est mal d´ecrit.FIG. 2.6: Evolution de l’indicateur wren fonction de l’erreur commise sur le champη(C)
pour diff´erents niveaux de discr´etisation.