Application aux r´esultats obtenus avec un chargement ´electrosta- ´electrosta-tique

On a termin´e le paragraphe 4.2 sur le constat que la premi`ere mod´elisation rete-nue n’est pas ad´equate pour repr´esenter les effets observ´es. On a alors propos´e, au pa-ragraphe 5 une mod´elisation incluant une description param´etr´ee du chargement. On a montr´e, en utilisant des champs g´en´er´es artificiellement, comment identifier un param`etre de mod´elisation, en exhibant une condition d’identifiabilit´e. On propose d’appliquer cette technique aux champs exp´erimentaux pr´esent´es sur la figure 2.9. Pour la mod´elisation donn´ee sur la figure2.14, on peut calculer, en utilisant les r´esultats de l’annexe1, le rap-port r

r= |^∂Fr

∂U| |^∂Fr

∂β|^{= 4.5 (2.67)}

d´emontrant ainsi l’identifiabilit´e de ce param`etre. On utilise alors un algorithme de re-laxation pour minimiser F_r(δU,β) (voir ´equation (2.61)) :

– on minimise F_r(0,β) par rapport `aβpour trouver une estimation β0 du param`etre de mod´elisation ; on minimise ensuite F_r(δU,β) `a l’aide d’un algorithme de type

Newton-Raphson, `a partir du point Fr(0,β0) et on d´etermine l’axe λ `a partir du calcul des jacobiens `a la solution, d´efinie telle que F_r(δU_p,βsol) = 0 ;

– la densit´e de probabilit´e des variablesκ puis β sont calcul´ees en post-traitement, en utilisant soit une mesure du niveau de bruitσ(voir paragraphe3.1 du chapitre 1), soit une estimation obtenue `a l’aide du r´esidu apr`es projection (voir paragraphe

4.2.3du chapitre 1).

β δU w_r(δU,β)

0 0 2.8

β0= −1.45 0 4× 10⁻¹⁴

TAB. 2.2: Valeurs du param`etreβet valeurs de l’indicateur w_r correspondantes.

Le tableau2.2 pr´esente les premi`eres valeurs de β obtenues au cours de la minimi-sation. On autorise alors une perturbation du d´eplacement suivant la direction U<sub>p</sub>, pour obtenir une valeur de w<sub>r</sub>proche d’un z´ero « num´erique ». La directionλest calcul´ee, et la densit´e de probabilit´e surβcorrespondante calcul´ee. La figure2.21pr´esente cette densit´e de probabilit´e calcul´ee, ainsi que les deux bornes correspondant `a

P[β>βlow= −1.53] = 0.95 (2.68)

P^£β<βhigh= −1.38¤ = 0.95 (2.69)

La figure 2.22 pr´esente les champs identifi´es, `a la fois pour les valeurs β0, βhigh et

Discrimination et identification de mod`eles 93

FIG. 2.21: Densit´e de probabilit´e calcul´ee pour le param`etreβ.

FIG. 2.22: Contrastes de raideur et de pression obtenus avec le champ de d´eplacement

corrig´e issu de celui pr´esent´e sur la figure 2.9 et le mod`ele d´ecrit sur la figure 2.14 avec

β=βsol.

avec β= 0, le champ de pression est ici attractif sur toute la poutre, ce qui correspond

ainsi au champ de pression attendu. On peut en outre calculer les valeur de l’indicateur d’erreur sur l’intervalle identifi´e.

β δU w_r(δU,β)

βlow= −1.53 0 4× 10⁻²

βhigh= −1.38 0 3.8 × 10⁻²

TAB. 2.3: Valeurs des bornes sur le param`etre βet valeurs de l’indicateur w_r correspon-dantes.

Ces r´esultats, regroup´es dans le tableau2.3, sont `a comparer avec ceux pr´esent´es dans le tableau2.2. Pour ces nouvelles valeurs deβ, w<sub>r</sub> est notamment de l’ordre de 10<sup>−2</sup>, ce qui ´etait attendu apr`es la discussion en3.2et4.2. On pense donc avoir effectivement iden-tifi´e de cette fac¸on un mod`ele ad´equat pour d´ecrire le chargement appliqu´e sur la struc-ture lors de l’exp´erience d´ecrite en4.1. La figure2.23pr´esente le champ de d´eplacement exp´erimental (points) et le champ de d´eplacement calcul´e (ligne) `a partir des r´esultats de

FIG. 2.23: Champs de d´eplacements exp´erimental et calcul´e `a partir des r´esultats de

l’identification avec le mod`ele d´ecrit sur la figure 2.14 avecβ=βsol.

l’identification avec le mod`ele d´ecrit sur la figure2.14 avec β=βsol. L’accord est tr`es bon, et montre le gain significatif obtenu sur la qualit´e de l’identification par rapport aux d´eplacements trac´es sur la figure2.11.

6 Sur les liens entre la m´ethode des champs virtuels et la

m´ethode de l’´ecart `a l’´equilibre

On a vu au paragraphe 2.2que la m´ethode de l’´ecart `a l’´equilibre et la m´ethode des champs virtuels utilisent une forme faible des ´equations d’´equilibre pour construire le probl`eme d’identification. On a pr´ecis´e ´egalement que les relations de comportement ´etaient v´erifi´ees de mani`ere faible pour l’´ecart `a l’´equilibre (du fait de la construction de l’´energie potentielle `a partir de l’erreur en relation de comportement), quand ce com-portement est v´erifi´e de mani`ere exacte dans la m´ethode des champs virtuels, `a partir des ´equations de Ritz (2.10). On a enfin distingu´e les deux m´ethodes par leur capacit´e `a distin-guer le champ cin´ematique solution du probl`eme direct associ´e `a la solution du probl`eme d’identification du champ cin´ematique mesur´e. Ces deux champs diff`erent du fait des erreurs et bruits de mesure. Si on choisit de travailler en d´eformation, on d´ecompose le champ mesur´eεmes en une partie exacteεvet un bruitδε

εmes =εv+δε (2.70)

On suppose que la repr´esentation choisie pour d´ecrire le comportement est ad´equate, de sorte que le comportement r´eel de la structure et le comportement identifi´e s’expriment

Sur les liens entre la MCV et la m´ethode de l’´ecart `a l’´equilibre 95

sur la mˆeme base

C

_id =

∑

i p^id_i

C

i (2.71)

C

v=

∑

i p^v_i

C

i (2.72)

L’´equation (2.9) appliqu´ee aux champs mesur´es donne

½ ∀u⋆

∈

U

_AD R

ΩσMCV:ε[u^⋆]dV =R

StT_mes.u^⋆dS ^(2.73)

ou alors, en introduisant la relation de comportement identifi´ee (en ´elasticit´e lin´eaire)

½ ∀u⋆∈

U

_AD

∑ip^id_i R

Ωεmes:

C

i:ε[u^⋆]dV =R

S_tT_mes.u^⋆dS ^(2.74)

Cet ensemble d’´equations lin´eaires est la base de la m´ethode des champs virtuels. On remarquera que l’on vient d’´ecrire le principe des travaux virtuels pour un champ de contrainte∑ip^id_i

C

i:εmes qui n’appartient pas, en g´en´eral, `a l’espace

S

_AD, contrairement au champ∑ip^v_i

C

i:εv. Celui-ci v´erifie donc

½ ∀u⋆∈

U

_AD

∑ip^v_iR

Ωεv:

C

i:ε[u^⋆]dV =R

StT_v.u^⋆dS ^(2.75)

Par diff´erence des ´equations (2.74) et (2.75), on obtient

½ ∀u⋆∈

U

_AD ∑i¡ pid i − p^vi ¢R Ωεv:

C

i:ε[u^⋆]dV =R St(Tmes− Tv) .u^⋆dS−∑ip^id_i R Ωδε:

C

i:ε[u^⋆]dV (2.76) Le second membre de l’´equation (2.76) apparaˆıt comme le travail virtuel de l’´ecart `a l’´equilibre introduit en3.1. L’´equation (2.76) montre par ailleurs l’erreur introduite sur les propri´et´es identifi´ees du fait soit d’une erreur sur la mesure de la distribution des efforts sur S_t, soit d’une erreur de mesure sur le champ de d´eformation δε. Deux strat´egies sont alors possibles si l’on souhaite r´eduire les effets du bruit de mesure :

– On augmente autant que possible le nombre de champs virtuels pour construire un syst`eme lin´eaire tr`es largement sur-d´etermin´e. On cherche alors `a minimiser le r´esidu associ´e au syst`eme, minimisant ainsi les effets d’une perturbation sur les propri´et´es identifi´ees. C’est ce type de strat´egie qui est utilis´e dans la m´ethode de l’´ecart `a l’´equilibre telle qu’elle a ´et´e introduite par Claire et al.dans [79], ou dans les cas non-lin´eaires trait´es avec la m´ethode des champs virtuels [63].

– Une autre strat´egie consiste `a chercher `a minimiser l’influence du bruit de mesure sur les ´equations2.74. C’est la strat´egie sous-jacente aux d´eveloppements propos´es par Avril et al. [67].

– Dans le cadre de la m´ethode de l’´ecart `a l’´equilibre, on a cherch´e, en l’absence de sur-d´etermination, `a proposer une autre strat´egie. Celle-ci s’attache `a qualifier un

bruit exp´erimental et `a maˆıtriser ses effets sur la proc´edure d’identification pour per-mettre l’identification d’un nombre de param`etres sup´erieur au nombre de degr´es de libert´es. Le cas d’un param`etre de mod´elisation suppl´ementaire a ´et´e trait´e. N´eanmoins, l’extension `a un plus grand nombre de param`etres requiert d’autres connaissance a priori, la relation d’´equilibre et le crit`ere cin´ematique ne permettant que de restreindre l’espace des solutions admissibles `a une bande de l’hyper-espace des param`etres exp´erimentaux. Dans ce cas, les r´esultats pr´esent´es sur les figures

2.11 et 2.23 sugg`erent fortement d’utiliser un crit`ere explicite sur la distance au champ de d´eplacement mesur´e : les conditions d’´equilibre construites sur le champ mesur´e d´efinissent l’admissibilit´e statique de la solution ; on pourrait, en ajoutant un terme de p´enalisation li´e `a la distance entre le champ de d´eplacement mesur´e et le champ de d´eplacement calcul´e `a partir des param`etres identifi´es, d´eterminer un nombre plus important d’´el´ements de mod´elisation.

Dans le document Mesure de champs à l'échelle micrométrique pour l'identification d'effets mécaniques surfaciques : vers une nouvelle instrumentation pour la biologie (Page 107-111)