Rˆ ole de la roue - Charge d’Euler

On aborde ici une ´etape tr`es importante concernant les pompes. Il s’agit d’estimer la hauteur susceptible d’ˆetre communiqu´ee au fluide, c’est `a dire l’augmentation d’´energies cin´etique et potentielle du fluide, par la roue et donc exprim´ee `a partir du triangle des vitesses seul. Cette charge communiqu´ee sera appel´ee charge d’Euler, et sera not´ee HE. L’expression de la charge d’Euler sera d´etermin´ee `a partir de deux approches : (i) l’utilisation du th´eor`eme de l’´energie cin´etique, et (ii) l’application du bilan de quantit´e de mouvement.

En consid´erant une infinit´e d’aubes, ce qui revient `a consid´erer des aubes d’´epaisseur nulle, l’´ecoulement du fluide est constitu´e de lignes de courant parfaitement guid´ees par deux aubes cons´ecutives et adjacentes. L’´ecoulement suit alors via cette hypoth`ese une trajectoire identique `a celle de l’inclinaison des aubes et l’angle d’un filet avec la tangente est ´egale `a l’angle de l’aubage avec la tangente. Cette hypoth`ese revient `a consid´erer l’´ecoulement en bloc. En r´ealit´e, avec un nombre fini d’aubes, le filet moyen n’est plus parfaitement guid´e et les deux angles pr´ec´edents sont l´eg`erement diff´erents.

D´etermination de la charge d’Euler `a partir du th´eor`eme de l’´energie cin´etique

Le th´eor`eme de l’´energie cin´etique relie l’´energie cin´etique d’un syst`eme au travail des efforts auquel il est soumis. Nous verrons plus loin que l’application de ce bilan sur un volume de fluide sur un chemin ´el´ementaire −→

dl permet d’´ecrire l’´equation de Bernoulli en relatif. Il est tr`es important de comprendre les raisons d’´ecriture de ce bilan dans un rep`ere relatif. En effet, travailler dans ce rep`ere est une condition n´ecessaire pour observer un ´ecoulement permanent. Ceci n’est plus le cas dans un rep`ere absolu non li´e aux aubes en mouvement.

Consid´erons donc un volume ´el´ementaire de fluide parcourant pendant un temps dt un chemin ´el´ementaire −→dl (Fig. 2.41). Le th´eor`eme de l’´energie cin´etique s’´ecrit dans le rep`ere relatif de la fa¸con suivante :

dW²

2 =−dp

ρ −gdz+dwe+dwc

o`u dW²/2 est la variation ´el´ementaire de l’´energie cin´etique, et le membre de droite repr´esente respectivement les travaux des efforts de pression, de pesanteur, d’entraine-ment, et de Coriolis.

Le travail ´el´ementaire des efforts massiques d’inertie d’entraˆınement est ´evalu´e par le produit scalaire de ces efforts et du chemin ´el´ementaire parcouru par la particule de fluide,

−(−→ω ∧(−→ω ∧ −→r)).−→dl, et vaut dwe = rω²dr. Le travail ´el´ementaire des efforts massiques d’inertie de Coriolis, −2(−→ω ∧−W→).−→dl, est quant `a lui nul car (−→ω ∧−W→) est perpendiculaire

`a −→dl. D’o`u :

O

Figure 2.41: D´efinition du chemin

´el´ementaire

→

dl, et de l’angle gamma γ.

L’´equation de Bernoulli en mouvement relatif (fluide incompressible) est donc obtenue `a partir d’un bilan sur un filet de fluide :

W²−U²

2g +z+ p

ρg = constante

Cette quantit´e est conserv´ee entre l’entr´ee (indice 1) et la sortie (indice 2) des aubes mobiles, en consid´erant d’autre part la relationW²−U² =V²−2U V_u :

V₂²−V₁²

2g + p2 −p1

ρg +z2−z1 = U2Vu2 −U1Vu1

g

Le terme de gauche caract´erise des transferts d’´energies cin´etique (∆V²/2g) et d’´energie potentielle (∆p/ρg+ ∆z), lors du passage du fluide dans la roue mobile. Cette quantit´e correspond donc `a la charge d’Euler telle qu’elle a ´et´e d´efinie pr´ec´edemment. Par identi-fication le terme du membre de droite est une autre forme d’´ecriture, plus pratique, de la charge d’Euler :

HE = U2Vu2 −U1Vu1

g

D´etermination de la charge d’Euler `a partir du bilan de quantit´e de mouvement Le bilan de quantit´e de mouvement sera cette fois encore appliqu´e dans un rep`ere relatif, rep`ere dans lequel l’´ecoulement est permanent. Dans le cas o`u ce bilan est appliqu´e dans un rep`ere absolu, les termes d’instationnarit´es difficiles `a estimer dans ce cas doivent

ˆetre pris en compte (d´eriv´ee temporelle dans la relation (1.13) page10). La charge d’Euler traduisant la puissance communiqu´ee au fluide (ρgQH_E) par la roue, et cette puissance

´etant directement li´ee `a la puissance absorb´ee par l’arbre (Cω, si on consid`ere la puissance m´ecanique totalement transf´er´ee au fluide), il nous faut donc exprimer le couple via l’effort exerc´e par les aubes sur le fluide pour obtenir in fine la charge d’Euler.

Consid´erons le sch´ema de la figure2.42, et int´eressons-nous `a l’effort exerc´e par l’aube de gauche sur le fluide au point P. Dans le cas o`u les effets visqueux sont n´eglig´es, cet effort ´el´ementaire s’´ecrit

−p−→npdS

o`u−→np est la normale sortante `a la paroi, etdS la surface ´el´ementaire autour de ce point.

Cet effort local cr´ee un couple ´el´ementaire autour de l’axe de rotation

−→dC =−→r ∧(−p−→np)dS

avec||−→r||la distance radiale au point P. Le couple total exerc´e par les aubes en mouvement sur le fluide s’´ecrit donc en int´egrant l’expression pr´ec´edente sur la surface des deux aubes en contact avec le fluide :

−

Le but de la d´emonstration ci-dessous est d’´ecrire cette expression en fonction de la cin´ematique de l’´ecoulement aux extr´emit´es des aubes.

− O

→np

P

Figure 2.42: Application des ef-forts de pression sur les aubes.

Nous nous pla¸cons dans cette d´emonstration dans l’hypoth`ese ´enonc´ee plus haut.

Toutes les particules fluides sont d`es lors soumises aux mˆemes efforts ext´erieurs quelle que soit leur position. Les effets que pourraient avoir le voisinage des aubes sont donc n´eglig´es. Ceux-ci ont une r´epercussion sur l’´ecoulement, et leurs cons´equences sont dis-cut´ees dans le paragraphe 2.6.7. Le bilan de moment de quantit´e de mouvement s’´ecrit dans notre cas : Ce bilan est appliqu´e sur le volume de contrˆole propos´e sur la figure2.43d´efini par la r´egion de passage des particules entre deux aubes cons´ecutives. L’entr´ee et la sortie du domaine sont caract´eris´ees respectivement par des indices 1 et 2 ayant des normales unitaires sortantes −→n1 et −→n2 purement radiales, la paroi ´etant identifi´ee par l’indice p. Le premier

terme de l’expression (2.8) repr´esente le moment du d´ebit de quantit´e de mouvement, alors que les termes du membre de droite sont respectivement les moments des efforts surfaciques, des efforts volumiques, et des efforts massiques d’inertie d’entraˆınement et de Coriolis d´efinis par les expressions suivantes :

−−−−→

Figure 2.43: Domaine de contrˆole.

Le premier terme du membre de droite de la relation (2.8) contient le couple total exerc´e par les parois sur le fluide. En effet, si on le d´eveloppe, nous obtenons l’expression :

Z avec les termes plac´es aux extr´emit´es du membre de gauche nuls car−→r colin´eaires `a−→n1 et

−

→n2. Le moment du d´ebit de quantit´e de mouvement de la relation (2.8) s’´ecrit, en tenant compte des notations de la figure2.43 :

Z

L’int´egrale en paroi devient nulle car la vitesse est tangente `a cette paroi. Les deux autres termes font apparaˆıtre la composante−→r ∧−→W_i =r_iW_ui−→z constante sur les surfaces d’int´egration S1 et S2. On fait apparaˆıtre d’autre part le d´ebit massique“dans le sens de l’´ecoulement” et d´efini par la relation suivante :

Qm =

Les moments des efforts d’inertie s’´ecrivent :

−−−−→

M(Fe) = −→0 et −−−−→

M(Fc) =−2ω Z

D

rWr−→z dm

Notons d’autre part que dm =ρdV =ρA(r)dr, avecA(r) la surface de r´evolution situ´ee

`a la distance radialer de l’axe de rotation (Wr est normale `a cette surface). L’expression du moment de quantit´e de mouvement projet´e selon z s’´ecrit finalement :

C =Qm(r2Wu2−r1Wu1) + 2ρω Z r2

r1

A(r)rWrdr

On remarque dans l’expression pr´ec´edente le d´ebit massique traversant la surface A(r), Qm =ρA(r)Wr. Apr`es quelques r´earrangements, en utilisant entre autres la composition des vitesses tangentielles (Vu =U+Wu), le couple devient :

C =Qm[r2Vu2−r1Vu1]

On peut maintenant introduire la puissance absorb´ee par l’arbre : Cω = Qm[U2Vu2−U1Vu1]

= QmgHE d’apr`es le transfert de puissance.

La charge d’Euler s’exprime donc par la relation :

HE = U2Vu2−U1Vu1

g (2.12)

Remarque sur la formulation de la charge d’Euler

Les parties pr´ec´edentes ont formul´e la charge d’Euler. On note en premier lieu que cette charge d´epend du triangle des vitesses `a travers des termes de transfert d’´energie uniquement. Il n’y a pas de composante m´eridienne li´ee uniquement au d´ebit traversant la pompe. Ceci est coh´erent avec la d´efinition de la charge d’Euler. D’autre part, le fluide entre g´en´eralement dans la partie mobile radialement et sans pr´e-rotation. De ce fait, la vitesse du fluide ne poss`ede pas `a l’entr´ee des aubes de composante orthoradiale (i.e.

Vu1 = 0). La charge d’Euler est donc simplifi´ee `a l’expression suivante : H_E = U2Vu2

g

La charge d’Euler est fonction de la forme des aubes, et finalement, ces derni`eres sont adapt´ees `a un point de fonctionnement correspondant `a un rendement maximum. En dehors de ce point, il y a d´ecollement, voire des recirculations qui font chuter le rendement.

L’accroissement de pression est utilisable imm´ediatement. Il n’en est pas de mˆeme pour l’augmentation d’´energie cin´etique. Celle-ci sera transform´ee en ´energie de pression par le diffuseur. D’autre part, l’expression de la charge d’Euler ne fait apparaˆıtre que des termes de vitesse projet´es dans la direction de la vitesse d’entraˆınement. Il n’y a donc que des termes de transfert d’´energie, n´ecessaire `a une augmentation de la charge de l’´ecoulement.