Application : fermeture progressive d’une vanne

L’exercice [E22] propose de r´esoudre ce probl`eme en d´etaillant les ´etapes.

On consid`ere un ´ecoulement d’eau dans une conduite d’adduction gravitaire dont l’extr´emit´e est une vanne d´ebitant `a pression atmosph´erique (Fig. 3.22). L’´ecoulement

5. Si la d´epression devient importante, la pression absolue atteinte pour certaines abscisses pourrait descendre en-dessous de la pression de vapeur saturante. Dans ce cas, l’´ecoulement devient multiphasique, et une poche gazeuse se dilate en premier lieu pour se r´esorber lors du passage d’une surpression.

h

Figure 3.15: Repr´esentation des surpressions et d´epressions au niveau de la vanne, et des d´ebits au niveau du r´eservoir dans le cas d’une fermeture instantan´ee d’une vanne plac´ee `a l’extr´emit´e d’une conduite d’adduction.

au passage de cette vanne subit une variation de pression, ∆p (i.e., pertes de charges).

Nous supposerons qu’`a partir de l’instantt = 0, la vanne se ferme suivant la loi de ferme-ture suivante :

avec g l’acc´el´eration de pesanteur, t le temps en seconde, T le temps de fermeture de la vanne ´egal `a 4,1 s. Les chutes de pression pour des temps n´egatifs sont identiques `a celle pour t = 0, la vanne ´etant pour ces temps-l`a partiellement ferm´ee. Ainsi, on peut repr´esenter pour un instant t, la courbe caract´eristique de la vanne par une parabole.

D`es le d´ebut de fermeture de la vanne, l’´ecoulement permanent est perturb´e et des ondes de pression partent alors de fa¸con continue de la vanne (avec pour c´el´erit´e a = 1177 m/s). On utilisera alors la th´eorie de coup de b´elier d’ondes.

On se propose d’estimer, graphiquement par la m´ethode de Bergeron, les d´ebits et pressions sur la vanne au cours de sa fermeture. Afin de simplifier l’´etude, on ne s’int´eressera qu’`a des instants particuliers correspondant `a des temps multiples d’un aller-retour d’une onde dans la conduite.

Le r´eservoir est de grande taille, on peut donc consid´erer son niveau comme ´etant constant, les pertes de charge seront n´eglig´ees dans la conduite BC.

h = 160 m gravitaire (A, point de la surface libre ; B, point localis´e au d´ebut de la conduite ; C, point amont `a la vanne ; D, point aval `a la vanne).

D´etermination du d´ebit permanent

Le th´eor`eme de Bernoulli, pour l’´ecoulement permanent, entre les points A et D s’´ecrit : patm.

ρg + V_A²

2g +zA = patm.

ρg +V_D²

2g +zD+ ∆H

avec ∆H les pertes de charge g´en´er´ees par la vanne partiellement ouverte, estim´ees `a partir de l’expression (3.21). La vitesse de la surface libre du r´eservoir est suppos´ee nulle, de plus h=zA−zD, il vient alors : D´etermination des caract´eristiques de la vanne pour des temps particuliers

On ne s’int´eresse qu’aux caract´eristiques de la vanne aux instants 0, 2τ, 4τ, 6τ, etc.

correspondant `a des multiples de l’aller-retour de la premi`ere onde g´en´er´ee, avec 2τ = 2L/a = 1,3 s. Les caract´eristiques de la vanne sont rassembl´ees dans le tableau 3.2 et les courbes sont trac´ees sur la figure3.17 sur laquelle la condition du r´eservoir a ´et´e rajout´ee (h= 160 m).

Tableau 3.2: Courbes caract´eristiques de la vanne pour des temps multiples d’un aller-retour de la premi`ere onde g´en´er´ee.

Instant Caract´eristique

Application de la m´ethode graphique de Bergeron

La m´ethode graphique de Bergeron consiste `a faire partir des relayeurs des extr´emit´es de la conduite BD. L’orientation de l’axe des droites est de B vers C ´etant donn´ee l’orien-tation de l’´ecoulement permanent. La constante des relations port´ees par les relayeurs sera d´etermin´ee par les conditions de l’extr´emit´e de d´epart. Les conditions impos´ees par

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Q (m³/s) h (m)

t = 0 t= 2τ

t= 4τ

t= 6τ

R´eservoir

Figure 3.17: ´Evolution de la caract´eristique de la vanne en fonction de temps particuliers, et trac´e de la condition impos´ee par le r´eservoir.

l’extr´emit´e d’arriv´ee seront soit une hauteur (pour le r´eservoir), soit une valeur de perte de charge et de d´ebit (pour la vanne).

La r´esolution de ce probl`eme peut ˆetre totalement graphique ici et consiste alors `a tracer les diff´erents segments de droite de chacun des relayeurs. Une fois l’´epure finie, l’utilisateur estime finalement les valeurs de variation de pression. Ici, on traitera volontairement la r´esolution bas´ee sur les ´equations des relayeurs d’une part et sur le graphe d’autre part en parall`ele pour des raisons p´edagogiques.

La pente des relations des relayeurs vaut : a

gS = 1177

9,81×0,20 ≈600 m/(m³/s) = 60 m/(0,1 m³/s) Les relayeurs courent sur des droites de pente ´egale `a ±60 m par 0,1 m³/s.

Relayeur 1: `A l’instantt = 0, le relayeur R1⁶quitte la vanne et se dirige vers le r´eservoir.

D’apr`es son orientation, il porte la relation : h− a

gSQ=−140

Le membre de droite correspond `a la valeur num´erique de la constante hin.−aQin./gS, soit ho−aQo/gS. `A l’instantτ, il arrive au pied du r´eservoir imposant une hauteur ´egale

`a 160 m. D’apr`es la relation de R1, le d´ebit vaut alors : Q= 0,5 m³/s

Ce relayeur trouve naturellement les conditions de l’´ecoulement permanent, l’onde ´etant derri`ere lui.

Relayeur 2 : `A l’instant τ, le relayeur R2 quitte le r´eservoir et se dirige vers la vanne, portant la relation :

h+ a

gSQ= 460

On trace cette demi-droite `a partir du point correspondant `a l’´ecoulement permanent jusqu’`a rencontrer la condition de la vanne, Q = 0,4 m³/s et h = 220 m (Cf. figure 3.18).

Il s’agit donc des conditions que trouve le relayeur R2. On note ainsi une surpression ´egale

`a

∆p=ρg(h−ho) = 1000×9,81×(220−160) = 6 bar

Relayeur 3 : `A l’instant 2τ, le relayeur R3 quitte la vanne et se dirige vers le r´eservoir, portant la relation :

h− a

gSQ=−20

On trace cette demi-droite `a partir du point correspondant aux conditions de la vanne (conditions de d´epart de ce relayeur) jusqu’`a rencontrer les conditions impos´ees par le r´eservoir, h = 160. On note h = 160 m et Q = 0,3 m³/s.

6. En fait, il part un temps infiniment petit avant t = 0. Nous adopterons ici ce vocabulaire pour ne pas surcharger le texte.

Relayeur 4 : `A l’instant 3τ, le relayeur R4 quitte le r´eservoir et se dirige vers la vanne, portant la relation :

h+ a

gSQ= 340

D’apr`es la caract´eristique de la vanne `a l’instant 4τ, ce relayeur trouve les conditions Q

= 0,21 m³/s et h = 212 m, soit une surpression ´egale `a 5,2 bar.

Relayeur 5 : `A l’instant 4τ, le relayeur R5 quitte la vanne et se dirige vers le r´eservoir, portant la relation :

h− a

gSQ= 86

Les conditions impos´ees par le r´eservoir entraˆıne Q = 0,12 m³/s et h = 160 m, que l’on retrouve graphiquement.

Relayeur 6 : `A l’instant 5τ, le relayeur R6 quitte le r´eservoir et se dirige vers la vanne, portant la relation :

h+ a

gSQ= 232

D’apr`es la caract´eristique de la vanne `a l’instant 6τ, ce relayeur trouve les conditions Q

= 0,03 m³/s et h = 216 m, soit une surpression ´egale `a 5,6 bar.

Relayeur 7 : `A l’instant 6τ, le relayeur R7 quitte la vanne et se dirige vers le r´eservoir, portant la relation :

h− a

gSQ= 198

Les conditions impos´ees par le r´eservoir entraˆıne Q = −0,06 m³/s et h = 160 m.

Relayeur 8 : `A l’instant 7τ, le relayeur R8 quitte le r´eservoir et se dirige vers la vanne, portant la relation :

h+ a

gSQ= 124

D’apr`es la caract´eristique de la vanne ferm´ee, ce relayeur trouve les conditions Q = 0 m<sup>3</sup>/s et h = 124 m, soit une d´epression ´egale `a −3,6 bar.

La suite du trac´e correspond `a celui obtenu lors d’une fermeture instantan´ee d’une vanne (Cf. exemple pr´ec´edent), `a savoir une courbe ferm´ee. L’´epure de Bergeron est enti`erement trac´ee sur la figure 3.18, sur laquelle les notions d’espace et de temps ont

´et´e rajout´ees pour les deux extr´emit´es. R et V correspondent respectivement au r´eservoir et `a la vanne, et le chiffre devant la lettre correspond au temps consid´er´e (i.e., 2V → t

= 2L/a sur la vanne). L’´evolution du d´ebit et de la pression au niveau de la vanne est donn´ee dans le tableau ci-dessous.

Tableau 3.3: ´Evolution du d´ebit et de la pression au niveau de la vanne.

Instant 0 2τ 4τ 6τ 8τ 10τ 12τ

Q (m³/s) 0,5 0,4 0,21 0,03 0 0 0

∆p (bar) 0 6,0 5,2 5,6 −3,6 3,6 −3,6

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−0.1

Q (m³/s) h (m)

t= 0 t= 2τ

t= 4τ t = 6τ

0V1R 2V

3R 4V

5R 6V

7R

8V

Figure 3.18: ´Etat de la pression et du d´ebit lors d’une fermeture progressive d’une vanne.