Evolution de la pression dans une conduite lors d’une fermeture ´ instantan´ ee d’une vanne

On consid`ere la conduite AB de longueur L repr´esent´ee sur la figure 3.5, avec en A l’embouchure d’un r´eservoir et en B une vanne. En r´egime permanent, la vanne est ouverte et l’´ecoulement poss`ede une vitesse uo et une pression po (ou ho exprim´ee en m`etre de colonne d’eau). Nous poserons τ =L/a, le temps mis par l’onde pour traverser enti`erement la conduite.

Figure 3.5: Sch´ema pour la description du coup de b´elier.

# A` t = 0, on ferme brusquement la vanne sur laquelle s’´ecrase la premi`ere tranche.

La diminution de vitesse de cette premi`ere tranche provoque une augmentation de la pression et ainsi une dilatation de l’´el´ement de conduite en contact avec celle-ci. Une fois

la d´eformation ´elastique de la premi`ere tranche termin´ee, la deuxi`eme tranche est arrˆet´ee

`a son tour. Son ´energie de vitesse est `a son tour absorb´ee par le travail de compression de l’eau et de dilatation des parois. L’onde cr´e´ee est une onde r´egressive, f dont la c´el´erit´e vauta. Les solutions d’Allievi s’´ecrivent :

p−po=f

L’onde r´egressive est donc une onde de surpression f = ρauo remontant le long de la conduite (Fig.3.6.a). La pression dans la conduite en amont de l’onde vaut p=po+ρauo.

# A` t =τ, l’onde arrive en A et arrˆete sa progression et tout le liquide contenu dans la conduite est arrˆet´e (Fig.3.6.b). Il n’y a pas ´equilibre car le fluide est en surpression compa-rativement au r´eservoir. Il y a alors naissance d’une onde progressive. D’apr`es l’expression des solutions d’Allievi

cette onde progressive est une onde de d´epression (F =−ρauo). D’autre part, l’eau (en trop) dans la conduite repart dans le r´eservoir (u = −uo). L’onde de surpression vient d’ˆetre r´efl´echie en une onde de d´epression qui se propage alors vers la vanne avec toujours la vitessea(Fig.3.6.c) :l’onde de pression change de signe lors de sa r´eflexion sur le plan d’eau. L’´ecoulement g´en´er´e, quant `a lui, se produit vers le bassin (le fluide “en trop” retourne dans le bassin). De proche en proche, les tranches de liquide et le tuyau retrouvent leur ´etat d’origine.

# A` t = 2τ, l’onde de d´epression arrive sur la vanne (Fig. 3.6.d). La pression du fluide est en ´equilibre avec celle du bassin, la conduite n’est pas dilat´ee. Cependant l’eau a un mouvement vers le bassin avec une vanne ferm´ee. Il y a alors cr´eation d’une onde f sur la vanne :

0−(−u_o) = 1

ρa(−f) ⇒ f =−ρau_o p−po =f ⇒ p=po−ρauo

L’onde r´eflechie, reste une onde de d´epression se propageant `a la c´el´erit´ea vers le bassin (Fig. 3.6.e) l’onde de pression conserve son signe lors d’une r´eflexion sur la vanne.

# A` t = 3τ, l’onde r´egressive atteint le r´eservoir (Fig. 3.6.f). Toute la conduite est en d´epression, et l’´ecoulement s’arrˆete. Une d´epression r´egnant dans la conduite, l’eau du bassin rentre dans la conduite. Il y a naissance d’une onde progressive au niveau du bassin :

Il s’agit d’une onde progressive de surpression, associ´ee `a un mouvement du fluide vers la vanne (Fig. 3.6.g).

# A` t = 4τ, le cycle est fini, l’onde progressive atteint la vanne. Un nouveau cycle prend place.

Le ph´enom`ene est donc p´eriodique, il se produit `a l’identique avec la p´eriode :

T = 4L

a (3.16)

L’ensemble de ce qui vient d’ˆetre dit est r´esum´e sur la figure 3.7. Pour connaˆıtre les conditions de pression et de vitesse dans la canalisation au point P d’abscissex`a l’instant t, il faut se souvenir que celles-ci correspondent `a la superposition d’ondes progressive et r´egressive. La premi`ere est partie du r´eservoir `a l’instant t −x/a avec une vitesse +a, et la deuxi`eme de la vanne `a l’instant t+ (L−x)/a avec une vitesse −a. La r´esolution de ce probl`eme passe par l’´ecriture des deux ´equations d’onde et de leur condition limite respective. On pourra pour cela utiliser la m´ethode de Bergeron, introduite au paragraphe 3.8 (p. 114).

En r´ealit´e, on observe une att´enuation de ce ph´enom`ene cons´ecutivement aux pertes de charge et aux imperfections de l’´elasticit´e de la conduite (figure 3.8). N´eanmoins cette d´ecroisance est lente car la transformation d’´energie en chaleur de frottement suite aux ph´enom`enes pr´ec´edents est peu importante, et les variations de pression sont alors per-sistantes.

Rappelons les diff´erentes hypoth`eses :

– Nous avons consid´er´e des r´eflexions d’ondes uniquement en bout de conduite, en r´ealit´e on observe des r´eflexions en pr´esence d’une singularit´e dans l’´ecoulement (changement de section,...) ;

– La conduite a ´et´e consid´er´ee comme un empilement d’anneaux qui se dilataient au fur et `a mesure des passages de l’onde de pression. En fait, l’inertie et l’´elasticit´e de la conduite entraˆınent des oscillations de celle-ci. N´eanmoins la th´eorie ´el´ementaire du coup de b´elier correspond assez bien `a ce qui est observ´e exp´erimentalement ;

– La fermeture n’est pas r´ellement instantan´ee et la pression ne varie pas brus-quement mais progressivement. En particulier, si le temps de fermeture vaut tf >2τ, le coup de b´elier est diminu´e car pour t >2τ il y a superposition de l’onde de pression et de d´epression ;

– L’expression pr´ec´edente peut de mˆeme ˆetre utilis´ee en cas de fermeture d’une vanne : si le d´ebit passe de Q0 `a Q1, il vient alors :

∆p=ρaQ0−Q1

S (3.17)

ho

uo u= 0 0< t < τ (a)

a ∆h

ho

u= 0 t =τ (b)

∆h

h_o

u= 0

−uo

τ < t <2τ (c)

−∆h

a

h_o

−uo

t= 2τ (d)

ho

−uo u= 0 2τ < t <3τ (e)

−a

ho

u= 0 t= 3τ (f )

−∆h

ho

uo

u= 0

3τ < t <4τ (g)

∆h a

ho

uo

t= 4τ (h)

Figure 3.6: Coup de b´elier lors d’une fermeture instantan´ee de la vanne situ´ee `a l’extr´emit´e de la conduite.

t t

Figure 3.7: Descriptif du comportement des ondes au cours du coup de b´elier (notation : h=p/(ρg).) la pression au cours du coup de b´elier.