Principe de fonctionnement des pompes centrifuges
2.7 Analyse interne d’une pompe axiale
Les pompes axiales sont issues de la famille de pompes dˆıtes rotodynamique comme les pompes centrifuges. Elles sont appel´ees, aussi, pompes `a h´elices, ont un domaine d’utilisa-tion diff´erent de celui des pompes centrifuges. En effet, elles sont principalement utilis´ees dans le cadre de forts d´ebits (103 `a 105 m3/h) pour des faibles hauteurs manom´etriques (Hm ∼ 10 m). Cette plage des d´ebits est aussi couverte par les pompes centrifuges, mais la hauteur manom´etrique associ´ee est 10 voire 100 fois plus ´elev´ee. Nous supposerons par ailleurs que les vitesses d’entr´ees `a la pompe sont exemptes de toute composante giratoire.
2.7.1 Constitution
Une pompe axiale est compos´ee d’un convergent d’entr´ee, d’une roue `a aubes mobile, d’un redresseur et d’un diffuseur axial. Le convergent permet d’uniformiser les vitesses moyennes `a l’entr´ee tout en diminuant le taux de turbulence. Le redresseur est principa-lement destin´e `a ramener les filets fluides suivant l’axe de la pompe en permettant une r´ecup´eration et une transformation partielle en pression de l’´energie cin´etique. Diff´erentes coupes sont dessin´ees sur les figures 2.47 et2.48.
mobile
redresseur convergent
entr´ee sortie
diffuseur
−
→V e −→V 1
−→ W1
−
→U1 −→V 2
−→ W2
−
→U2 −→V 3 −→V s
ω
Figure 2.47: Composants d’une pompe axiale - ´evolution des vitesses.
ω
Figure 2.48: Vues frontale (a) et de dessus (b) des aubes mobiles d’une pompe axiale -d´efinition des vitesses.
Nous supposerons dans notre cas que les particules de fluide entrant dans la partie mobile de la pompe axiale conserveront leur distance radiale `a l’axe de rotation. Ainsi la composante radiale de la vitesse de ces particules est nulle. Il s’agit l`a de l’hypoth`ese d’´ecoulement en ´equilibre radial traduisant l’´equilibre entre les efforts centrifuges et les efforts de pression.
L’´ecoulement g´en´er´e par les aubes mobiles fait apparaˆıtre une vitesse d’entraˆınement (−→U), et une vitesse relative (−W→), toutes deux reli´ees par la composition des vitesses (relation 2.7).
Comme nous l’avons vu pr´ec´edemment, il est tr`es utile de d´ecomposer la vitesse d’une particule fluide en une composante d´ebitante ou axiale (Va), et une composante tangen-tielle (Vu) :
Va = V sinα =Wsinβ : Composante d´ebitante ;
Vu = V cosα =U +Wcosβ : Composante de transfert d’´energie.
Notons d’autre part que dans le cas des pompes axiales, la composante radiale est inexistente. Elle pourra ˆetre non-nulle dans le cas de faibles d´ebits pour lesquels un ph´enom`ene de recirculation existe. De ce fait, on consid`ere en premi`ere approximation que les filets de fluide restent `a la mˆeme distance radiale le long du trajet dans la pompe.
2.7.2 Invariance de la vitesse axiale
Contrairement aux pompes centrifuges pour lesquelles nous avions trait´e l’´ecoulement en bloc dans le canal que repr´esente les aubes, les filets de fluide des pompes axiales poss`edent des vitesses d’entraˆınement diff´erentes selon leur distance radiale, U = rω.
De ce fait l’´energie apport´ee par la paroi d´epend a priori de la distance radiale. Afin d’impliquer les particules fluides recevant la mˆeme quantit´e d’´energie, nous traiterons alors un filet de fluide traversant un cylindre (´el´ementaire) de rayon r et d’´epaisseur dr, et conservant la mˆeme ´epaisseur. Les indices 1 et 2 indiquent respectivement l’entr´ee et la sortie du domaine ´el´ementaire.
Le d´ebit ´el´ementaire, exprim´e par la relationdQ=VadS = 2πVardrest conserv´e entre l’entr´ee et la sortie de la roue :
dQ1 =dQ2 → 2πVa1rdr = 2πVa2rdr → Va1 =Va2
La conservation du d´ebit met en ´evidence le fait quela vitesse axiale est un invariant.
Si le fluide `a l’entr´ee n’est pas anim´e de pr´e-rotation, l’´evolution du triangle des vitesses est alors donn´e par la figure2.49.
−→W2
Figure 2.49: ´Evolution des vi-tesses le long de la roue mobile.
On note bien le fait que la vitesse axiale reste constante, ainsi que la vitesse d’entraˆınement (si on demeure sur le cylindre de rayon constant). On remarque d’autre part que les variations des projections sur−→
U des vitesses absolues et relatives entre la sortie et l’entr´ee sont ´egales,
∆Vu = ∆Wu. (2.14)
2.7.3 D´ etermination de la charge d’Euler ` a partir d’un bilan de moment de quantit´ e de mouvement
Nous allons d´eterminer dans cette partie l’expression de la charge d’Euler `a partir de l’application du bilan du moment de quantit´e de mouvement. Il faut en premier lieu d´efinir le domaine de contrˆole. Ce dernier doit ˆetre construit de telle sorte que toutes les particules-fluides entrant dans ce domaine re¸coivent la mˆeme charge de la part des aubes. La vitesse tangentielle d´ependant de la distance radiale, la charge re¸cue par une particule-fluide entrant avec une distance radialer esta priori plus faible que celle d’une particule-fluide entrant `a une distance radialer′ > r. Ainsi pour isoler la contribution de la vitesse tangentielle, le domaine de contrˆole est un cylindre de rayon interner, d’´epaisseur dr, et de longueur identique `a celle des aubes. Toutes les particules-fluides entrant dans le volume de contrˆole ainsi d´efini recevront la mˆeme quantit´e de charge par les aubes mobiles. La cons´equence est l’application d’un bilan´el´ementaireet non plusglobalcomme cela ´etait le cas pour la pompe centrifuge. Ce bilan est obtenu en ˆotant les int´egrales de la relation (1.14) :
Comme plus haut les efforts de pesanteur seront n´eglig´es. L’expression pr´ec´edente devient
La contribution des termes agissant sur les surfaces deretr+dr sont nulles. L’hypoth`ese d’un fluide parfait ayant ´et´e pos´ee, le fluide glisse le long des parois sans adh´erence avec un vecteur−vitesse perpendiculaire `a la normale locale. Le troisi`eme terme du membre de gauche est donc nul. On introduit le d´ebit ´el´ementaire “dans le sens de l’´ecoulement”
dQ=−→ Wi.−→
NidSi
avec −→
N1 = −−→n1 et −→
N2 = −→n2. Les produits vectoriels impliquant les efforts d’inertie sont nuls. Enfin le troisi`eme terme du membre de droite correspond au couple ´el´ementaire exerc´e par les aubes sur le fluide dC et orient´e selon −→z. La relation (2.15) devient donc
ρdQ
La projection de cette ´equation selon −→z permet d’obtenir le couple ´el´ementaire : dC = ρdQr(Wu2 −Wu1)
= ρdQr(Vu2−Vu1) d’apr`es la relation (2.14)
dCω = ρdQU Vu2 si on consid`ere une vitesse d’entr´ee purement axiale ;
= ρgdQHE d’apr`es la d´efinition de la puissance utile ´el´ementaire.
Soit
HE = U Vu2
g (2.16)
la charge th´eorique d´elivr´ee (i.e., la charge d’Euler ) `a un filet de fluide situ´e `a une distance r de l’axe de rotation. On retrouve une expression similaire `a celle obtenue dans le cas des pompes centrifuges. Ceci est logique car les deux types de pompes font parti de la mˆeme famille des pompes rotodynamiques. Il n’est pas souhaitable cependant que la charge d´elivr´ee par les aubes d´epende de la distance radiale. En effet les gradients de pression dans la direction radiale seraient `a l’origine d’une d´eformation des lignes de courant et donc de pertes hydrauliques. Pour ´eviter cela, la charge doit ˆetre identique quelle que soit la distance radiale du filet de fluide. Il faut donc Vu2 =K/r, ´etant donn´e le fait que U =rω. Les aubes sont dessin´ees la plupart du temps pour satisfaire cette condition.